北京市重点中学密云二中2012-2013学年度第一学期9月月考高二数学

密云二中2012-2013学年度第一学期9月月考
高二数学试卷 2012年9月
命题人：周跃鑫 审核人：王保东
注意：
1.选择题填在机读卡上
2.解答题必须答在相应题号所在位置，否则不予计分，选做题10分记入总成绩，但100分至110分一律记为100分。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列求导数运算正确的是 (　　)
A．(x＋)＝1＋ B．(log2x) ＝ C．(3x) ＝3xlog3e D．(x2cosx) ＝－2xsinx
2.下列结论中正确的是 ( )
A. 导数为零的点一定是极值点
B. 如果是极大值，那么在附近的左侧，右侧
C. 如果是极小值，那么在附近的左侧，右侧
D. 如果是极大值，那么在附近的左侧，右侧
3. 函数在(其中)的平均变化率为（ ）
A. B. C. D.
4. 关于函数,下列说法正确的是 （ ）
A．有极大值，没有极小值 B．有极小值，没有极大值
C．既有极大值也有极小值 D．既无极大值也无极小值
5. 已知直线经过（，0），（0，1）两点，且与曲线切于点，则的值为（ ）
A. B. C. D. 2
6. 若函数的导函数f ’(x)的图象如右图所示,则函数的图象可能是( ) y=f ’(x)
二、填空题：共6题，每题5分，总计共30分.
7. 函数在点处的切线方程是__________.
8．函数的极值点为_________．
9. （理科）若,则_________
（文科）若，则=________.
10.若函数f(x)=x3+ax-2在区间(1,+ ∞)内是增函数，则实数a的取值范围是________
11．已知函数f(x)＝x3－3x的图象与直线y＝a有相异三个公共点，则a的取值范围是________．
12.已知f（x）=x -6x +9x-abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0.现给出如下结论： ①f（0）f（1）＞0；②f（0）f（1）＜0；③f（0）f（3）＞0；④f（0）f（3）＜0.其中正确结论的序号是_________
第Ⅱ卷
三、解答题：本大题共5小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
13．（满分10分）已知函数.
( I ) 求的单调区间；(II) 求在区间上的最大值和最小值.
14．（本小题满分10分）设函数.
（Ⅰ）若曲线在点(2，f(2) )处与直线相切，求的值；
（Ⅱ）求函数的单调区间与极值.
15．（满分10分）已知函数，.
（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）当时，都有成立，求实数的取值范围.
16．（满分10分）已知函数.
（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线垂直，求函数的单调区间；
（Ⅱ）若对于都有成立，试求的取值范围；
（Ⅲ）记.当时，函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围.
17（选做10分）. 设函数若对所有的都有成立，求实数的取值范围
密云二中2012-2013学年度第一学期9月月考
高二数学试卷答题纸
核分栏
累分题号 一 二 三 总分
13 14 15 16 17
分数
阅卷人
第Ⅰ卷
选择题答案涂在机读卡上！
第Ⅱ卷
填空题 7 8 9 10 11 12
答案
三、解答题：本大题共5小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
13．（满分10分）
14．（本小题满分10分）
15．（本小题满分10分）
16．（满分10分）
17（选做10分）
密云二中2012-2013学年度第一学期9月月考
高二数学试卷答案 2012年9月
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6
答案 B B D D C D
二、填空题：共6题，每题5分，总计共30分.
题号 7 8 9 10 11 12
答案 x-y=0 2cos2-sin2(理科) 2（文科） a≥-3 -2注：填空题第8题答案写成坐标形式扣3分,写成x=不扣分；第12题只给出②或③不含其它编号的给2分，写全编号给满分，其它情况一律不给分.
三、解答题：本大题共5小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
13. （本小题共10分）
解: ( I ) 因为 ………1分
令, 解得 ………1分
令, 解得 ………1分
所以的单调递增区间为， ………1分
的单调递减区间为 ………1分
注：没答成单调区间的扣1分
（II）由（I）知，在区间上单调递增，在区间上递减，
所以在区间上的极大值也是最大值为 ………2分
又
所以在区间上的最小值为 ， ………3分
所以在区间上的最大值为
注：列表给3分，最大值和最小值各给1分.
14．（本小题满分10分）
（Ⅰ）, ………1分
∵曲线在点处与直线相切，
∴ ………2分
………1分
（Ⅱ）∵, ………1分
当时，，函数在上单调递增，即f(x)的单调增区间为（-∞，+∞），无单调减区间，此时函数无极值. ………1分
当时，由， ………1分
当x变化时，y’与y关系如下
x (-∞,) (,) (,+∞)
f ’(x) + 0 - 0 +
f(x) ↑ 2a+b ↓ -2a+b ↑
………1分
所以函数单调增区间为(-∞,)，(,+∞)，减区间为(,) ………1分
当x=时，f(x)有极大值2a+b
当x=时，f(x)有极小值-2a+b ………1分
15．（满分10分）
解：（Ⅰ）的定义域是， ………1分
. ………1分
（1）当时，成立，的单调增区间为； ………1分
（2）当时，
令，得，则的单调增区间是. ………1分
令,得，则的单调减区间是. ………1分
综上所述，当时，的单调增区间为；当时，的单调减区间是，的单调增区间是.
注：没写成单调区间的扣1分
（Ⅱ）法一：当时，成立，. ………1分
当时，成立，
即时，成立. ………1分
设，
所以=. ………1分
当时，，函数在上为减函数；
时，，函数在上为增函数.
则在处取得最小值，. 则. ………1分
综上所述，时，成立的的范围是. ………1分
法二：由（Ⅰ）可知，，故
当a≤0时，
>0, ∴f(x)在定义域上单调递增， ∴f(x) ≥f(0)>0,满足题意.………1分
⑵当a>0时，令=0，得x=lna，
令>0，得x>lna,令<0，得0≤x在[lna，+∞)上单调递增.在x=lna处取最小值 ………1分
在区间[0，+∞)上，都有f(x) ≥0,故
当≥0时满足题意，解得0当<0时，需满足，无解 ………1分
综上所述，时，成立的的范围是. ………1分
16. 解: (I) 直线的斜率为1.
函数的定义域为， ………1分
因为，所以，所以. ………1分
所以. .
由解得；由解得.
所以的单调增区间是,单调减区间是. ………1分
(II) ， ………1分
由解得；由解得.
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减.
所以当时，函数取得最小值，. ………1分
因为对于都有成立，
所以即可. ………1分
则. 由解得.
所以的取值范围是.
(III)依题得，则.
由解得；由解得.
所以函数在区间为减函数，在区间为增函数. ………1分
又因为函数在区间上有两个零点，所以 ………1分
解得.
所以的取值范围是. ………1分
选做：解法一：
令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，
对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a ………1分
∵x≥0, ∴ln(x+1) ≥0
(i)当a≤1时，对所有x＞0，g′(x)＞0，所以g(x)在[0，＋∞)上是增函数，
又g(0)＝0，所以对x≥0，都有g(x)≥g(0)=0，即当a≤1时，对于所有x≥0，都有　f(x)≥ax ( http: / / wxc. / ) ………4分
(ii)当a＞1时，令g′(x)＝0，解得x＝ea－1－1，
当x变化时y’与y关系如下：
x 0 (0, ea－1－1) ea－1－1 (ea－1－1,+ ∞)
y’ - 0 +
y 0 ↓ a-ea-1 ↑
………2分
对于0＜x＜ea－1－1，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，ea－1－1)是减函数，
又g(0)＝0，所以对0＜x＜ea－1－1，都有g(x)＜g(0)，
即当a＞1时，不是对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立 ………2分
综上，a的取值范围是（－∞，1] ( http: / / wxc. / ) ………1分
解法2：⑴当x=0时，f(0)=0≥a×0,此时，a∈R ………2分
当x>0时，由(x+1)ln(x+1) ≥ax
∴在(0,+ ∞)上恒成立 ………2分
令，x>0
= ………2分
令h(x)=x-ln(x+1)，则 ………2分
∵x>0, ∴h’(x)>0, ∴h(x)在（0，+ ∞)上单调递增，
∴h(x)>h(0)=0,即x-ln(x+1)>0
∴g’(x)>0，∴g(x)在（0，+ ∞)上单调递增，∴g(x)>1
∴a的取值范围是（－∞，1] ………2分
A B C D