2021-2022学年数学 人教A版（2019）选择性必修第一册第2章直线与圆单元测试卷（Word含解析）

直线与圆单元测试卷
姓名：___________班级：___________
一、单选题（每题5分，共40分）
1．斜率为，且在轴上截距为2的直线的一般方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列直线中，与直线垂直的是（ ）
A．直线 B．直线
C．直线 D．直线
3．已知圆C的圆心坐标为（2，3），半径为4，则圆C的标准方程为（ ）
A．(x-2)2+(y-3)2 =4 B．(x+2)2+(y+3)2 =16
C．(x+2)2+(y+3)2=4 D．(x-2)2+(y-3)2 =16
4．已知直线与直线平行，则实数的值为（ ）
A．-8 B．2 C．-2 D．8
5．已知，两点到直线的距离相等，则实数的值为（ ）
A． B．或3 C． D．或1
6．已知圆的圆心与点关于直线对称，直线与圆相交于、两点，且，则圆的方程为（ ）．
A． B．
C． D．
7．若直线经过圆的圆心，则的最小值是（ ）.
A．16 B．12 C．9 D．8
8．已知点，．若直线与线段相交，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（每题5分，共20分）
9．已知直线，则直线（ ）．
A．过点 B．斜率为
C．倾斜角为60° D．在轴上的截距为1
10．下列说法正确的是（ ）
A．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
B．点关于直线的对称点为
C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2
D．经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为
11．已知直线：与：相交于 两点，若为钝角三角形，则满足条件的实数的值可能是（ ）
A． B．1 C．2 D．3
12．已知点是直线上一定点，点、是圆上的动点，若的最大值为，则点的坐标可以是
A． B． C． D．
三、填空题（每题5分，共20分）
13．过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是______.
14．圆与圆的公共弦所在直线为______.
15．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2 +y2- 4y= 0所截得的弦长为__________.
16．若直线与直线交于点，则到坐标原点距离的最大值为______．
四、解答题（共70分）
17．已知直线经过点，，直线经过点，.
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的值.
18．已知的顶点，，.
（1）求边的高线所在直线的方程；
（2）求的面积
19．已知圆C过点A（6，0），B（1，5）.
（1）求线段AB的垂直平分线所在的直线方程；
（2）若圆C的圆心在直线2x-7y+8=0上，求圆C的方程.
20．已知圆：与圆：相交.
（1）求交点所在直线方程；
（2）若点P是圆C：上任意一点，求P点到（1）中交点所在直线的最大值和最小值.
21．在某海礁A处有一风暴中心，距离风暴中心A正东方向200km的B处有一艘轮船，正以北偏西a（a为锐角）角方向航行，速度为40km/h．已知距离风暴中心180km以内的水域受其影响．
（1）若轮船不被风暴影响，求角α的正切值的最大值？
（2）若轮船航行方向为北偏西45°，求轮船被风暴影响持续多少时间？
22．已知椭圆：，设直线：是椭圆的一条切线，两点和在切线上.
（1）若，，，中恰有三点在椭圆上，求椭圆的方程；
（2）在（1）的条件下，证明：当，变化时，以为直径的圆恒过定点，并求出定点坐标.
试卷第4页，共4页
试卷第1页，共1页
参考答案
1．C
【分析】
根据直线在轴上的截距为2，得到直线经过点(2,0)，然后利用直线的点斜式方程写出直线的方程，并化简整理为一般形式，即可做出判定.
【详解】
直线在轴上的截距为2，直线经过点(2,0),又直线的斜率为，由直线的点斜式方程得直线的方程为,即,
故选：C.
【点睛】
本题考查直线的方程的求法，属基础题，一般的，直线的横截距为,斜率为,则直线的方程为,直线的纵截距为,斜率为,直线的方程为.
2．D
【分析】
由两直线垂直，当斜率存在时，有，即得解
【详解】
因为直线的斜率为3，所以与直线垂直的直线的斜率为，经观察只有选项D中的直线的斜率为
故选：D
3．D
【分析】
直接利用圆的标准方程求解即可．
【详解】
解：由圆的标准方程得：
圆心坐标为（2，3），半径为4的圆的标准方程是：
．
故选：．
4．C
【分析】
分，两种情况讨论，利用斜率相等且两直线不重合，即得解
【详解】
当时，显然两条直线不平行.
当时，∵直线与直线平行，
∴，解得，经检验知两条直线不重合，符合题意.
故选：C
5．B
【分析】
解法一：当A，B在直线l的同一侧时，直线l与直线AB平行，利用平行线的斜率相等求得a的值；当A，B在直线l的两侧时，转化为直线l经过线段AB的中点求得，利用中点公式求得线段AB的中点坐标，代入直线方程求得a的值.
解法二：直接由点到直线的距离公式列出方程求解即得.
【详解】
（1），两点位于直线同一侧，即直线平行于直线，所以，即；
（2），两点位于直线的两侧，所以直线过线段的中点，线段的中点坐标为，即，∴,解得.
综上实数的值为.
解法二、由点到直线的距离公式得，
即亦即,解得.
故选：B.
6．C
【分析】
根据对称性得到圆心的坐标，利用点到直线的距离公式求得圆心到直线，利用弦长公式求得半径，进而得到圆的方程.
【详解】
点关于直线对称的点，
圆心到直线的距离为，
所以，
所以圆的方程为，
故：C．
7．C
【分析】
先求出圆心坐标，即可得出，再利用基本不等式,即可求解.
【详解】
解：化为标准方程为：，
圆心坐标为，带入直线方程，得，
所以，
故选C.
8．A
【分析】
直线l过定点P（1，1），且与线段AB相交，利用数形结合法，求出PA、PB的斜率，
从而得出l的斜率的取值范围,即得解
【详解】
设直线过定点，则直线可写成，
令解得直线必过定点．
，．直线与线段相交，
由图象知，或，解得或，
则实数的取值范围是．
故选：A
【点睛】
本题考查了直线方程的应用，过定点的直线与线段相交的问题，考查了学生综合分析、数形结合的能力，属于中档题．
9．BC
【分析】
根据直线斜截式方程的定义，依次判断，即得解
【详解】
点的坐标不满足方程，故A错误；
根据斜截式的定义，直线的斜率，则其倾斜角为60°，故B，C正确；
由，知直线在轴上的截距为，故D错误．
故选：BC
10．ABC
【分析】
根据直线的倾斜角和斜率的概念判定A；根据“一垂直二中点”检验判定B;求得截距然后计算面积判定C；注意到截距可能都是零的特殊情况否定D.
【详解】
解：当直线的倾斜角为时，直线不存在斜率，
所以所有的直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，故A正确；
点与的中点坐标满足直线方程，
并且两点的斜率为：，
所以点关于直线的对称点为，
故B正确；
直线在两坐标轴上的截距分别为：2，，
与坐标轴围成的三角形的面积是：，
故C正确；
经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为或，
所以D不正确；
故选:ABC.
11．ACD
【分析】
由题意,利用几何分析可得,由此得到,利用点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离的关于a的函数表达式，代入得到关于a的不等式(组),求解即得.
【详解】
圆的圆心为，半径为，
由于为等腰三角形，若该三角形为钝角三角形，则，
设圆心到直线的距离为，则，
则，
整理可得，
解得，且.
所以.
故选.
12．AC
【分析】
设点的坐标为，可得知当、均为圆的切线时，取得最大值，可得出四边形为正方形，可得出，进而可求出点的坐标.
【详解】
如下图所示：
原点到直线的距离为，则直线与圆相切，
由图可知，当、均为圆的切线时，取得最大值，
连接、，由于的最大值为，且，，
则四边形为正方形，所以，
由两点间的距离公式得，
整理得，解得或，因此，点的坐标为或.
故选：AC.
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系的综合问题，考查利用角的最值来求点的坐标，解题时要找出直线与圆相切这一临界位置来进行分析，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
13．
【分析】
先联立方程求出交点，设出与直线垂直的直线方程，代入交点即可求出.
【详解】
联立方程，求得交点为，
设与直线垂直的直线方程为，
将代入可得，
所以所求直线方程为.
故答案为：.
14．
【分析】
将圆的方程作差即可求得公共弦所在直线方程.
【详解】
将所给的两圆的方程作差可得圆与圆的公共弦所在直线的方程为：，
故答案为：.
15．
【分析】
由题意求出直线方程、圆的标准方程、圆心坐标和半径，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，利用勾股定理即得解
【详解】
设弦长为，过原点且倾斜角为60°的直线方程为
整理圆的方程为：，圆心为，半径
圆心到直线的距离为：
则：
故答案为：
16．
【分析】
根据题意可知,直线与直线分别过定点,且这两条直线互相垂直,由此可知,其交点在以为直径的圆上,结合图形求出到坐标原点距离的最大值即可.
【详解】
由题可知,直线可化为,
所以其过定点,
直线可化为,
所以其过定点,且满足,
所以直线与直线互相垂直,
其交点在以为直径的圆上,作图如下:
结合图形可知,线段的最大值为,
因为为线段的中点,
所以由中点坐标公式可得,
所以到坐标原点距离，即线段的最大值为.
故答案为:
17．（1）1或6；（2）3或-4.
【分析】
（1）转化为，再验证是否重合，即得解；
（2）转化为，再讨论斜率不存在的情况，即得解
【详解】
（1）因为直线的斜率，，所以的斜率，
即，解得或6.
验证可知或6时，与均不重合，符合题意，
故实数的值为1或6.
（2）当时，，则，，直线的斜率存在，不符合题意，舍去；
当时，，
故，解得或.
综上，实数的值为3或-4.
18．（1）；（2）14.
【分析】
（1）求出直线的斜率，再由垂直关系得出直线边的高线的斜率，最后由点斜式写出所求方程；
（2）求出直线的方程，再求出点到直线的距离以及，最后由三角形面积公式计算即可.
【详解】
（1）直线的斜率为，直线边的高线的斜率为，
直线边的高线的方程为：，即.
（2）直线的方程为：，即，
点到直线的距离，
，
故的面积为.
19．（1）；（2）.
【分析】
（1）由斜率的两点式求的斜率，并写出中点坐标，再根据两线垂直求中垂线斜率，应用点斜式写出直线方程即可.
（2）由（1）所得直线方程，联立题设直线求圆心坐标，再应用两点距离公式求半径，进而写出圆的方程即可.
【详解】
（1）∵线段的斜率，
∴的垂直平分线的斜率，
∵中点，即为点，
∴的垂直平分线的方程为，整理得.
（2）∵圆心一定在的垂直平分线上，又在直线上，
联立直线，解出，即圆心，
，
∴圆的方程为.
20．（1）；（2）最大值，最小值.
【分析】
（1）根据两圆相交，两圆的方程相减即可求出公共弦所在直线方程；
（2）根据圆的性质先求出圆心到直线距离，分别加减半径即可求解.
【详解】
（1）由已知：圆：，圆：，
故交点所在直线的方程为：，
即，
故交点所在直线的方程为.
（2）由圆C：知，圆心为，半径为1，
所以圆心到直线的距离，
所以圆上点到直线的，.
21．（1）（2）
【分析】
（1）根据题意画出图形，结合图形建立平面直角坐标系，利用直线与圆的方程求出直线与圆相切时的斜率，即可求出角α正切值的最大值；（2）求出直线被圆所截的弦长，再计算轮船被风暴影响持续的时间．
【详解】
(1)根据题意画出图形，如图所示，
则圆的方程为，
设过点的直线方程为，；
即，
则圆心到直线的距离为，
化简得，
解得；
，
，
，
若轮船不被风暴影响，则角a的正切值的最大值为；
(2)若轮船航行方向为北偏西，则直线方程为，
则圆心到该直线的距离为，
弦长为，
则轮船被风暴影响持续的时间为.
【点睛】
本题考查直线与圆方程的实际应用问题，考查直线与圆位置关系的应用,当直线与圆相切，利用圆心到直线距离等于半径求解，直线与圆相交，要注意弦长公式的应用.
22．（1）（2）证明见解析；定点
【分析】
（1）由于，关于轴对称，得过，，，不过，代入可得椭圆的标准方程；
（2）联立直线与椭圆的方程消去得.由直线与椭圆相切得：，再由、在切线上，代入可得，代入以为直径的圆的方程中，可得定点.
【详解】
（1）由于，关于轴对称，∴过，，∴，又由知，不过，
∴在上，∴，∴.
∴椭圆的方程为.
（2）联立，消去得.由直线与椭圆相切得：，
∵、在切线上，∴，∴，，
∴，，
而以为直径的圆的方程为，
∴，令，则，∴，
∴过定点.
【点睛】
本题主要考查直线与椭圆的综合应用能力,具体涉及到求曲线过定点，解题时要注意合理地进行等价转化.对数学思维的要求比较高,有一定的探索性.综合性强,属于难度题.答案第2页，共13页
答案第1页，共13页