2021-2022学年数学 人教A版（2019）选择性必修第一册第三章圆锥曲线单元测试卷（Word含答案解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年数学 人教A版（2019）选择性必修第一册第三章圆锥曲线单元测试卷（Word含答案解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 919.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-10-30 09:46:20 | ||
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文档简介
圆锥曲线单元测试卷
姓名：___________班级：___________
一、单选题（每题5分，共40分）
1．椭圆6x2＋y2＝6的长轴端点坐标为（ ）
A．(－1，0)，(1，0) B．(－6，0)，(6，0)
C．(－，0)，(，0) D．(0，－)，(0，)
2．已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点（5，3），则双曲线方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．抛物线y＝－x2的准线方程为（ ）
A．x＝ B．x＝1 C．y＝1 D．y＝2
4．已知动圆M与直线y＝3相切，且与定圆C：x2＋(y＋3)2＝1外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A．x2＝－12y B．x2＝12y C．y2＝12x D．y2＝－12x
5．椭圆两焦点为 ，在椭圆上，若的面积的最大值为12，则椭圆方程是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知双曲线，直线l过其上焦点，交双曲线上支于A，B两点，且，为双曲线下焦点，的周长为18，则m值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．
7．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过右焦点作平行于其中一条渐近线的直线交双曲线于点，若的内切圆半径为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知，是双曲线的左右顶点，为该双曲线上任一点（与，不重合），已知与斜率之积为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（每题5分，共20分）
9．已知点A的坐标为，点B的坐标为，直线AP与BP相交于点P，且它们的斜率之积为非零常数m，那么下列说法中正确的有（ ）
A．当时，点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是焦点在x轴上的椭圆
B．当时，点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是圆心在原点的圆
C．当时，点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是焦点在y轴上的椭圆
D．当时，点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是焦点在x轴上的双曲线
10．已知椭圆：的左、右顶点分别为，，点在椭圆上，点．若直线，的交点为，则的值不可能为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．关于双曲线，下列说法正确的是（ ）
A．该双曲线与双曲线有相同的渐近线
B．过点作直线与双曲线交于，若，则满足条件的直线只有一条
C．若直线与双曲线的两支各有一个交点，则直线的斜率
D．过点能作4条直线与双曲线仅有一个交点
12．已知倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于,两点， 直线，作于点，于点，则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题（每题5分，共20分）
13．已知双曲线的一条渐近线的方程为，且经过点，则双曲线标准方程为______.
14．已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则_____________．
15．已知椭圆C：＝1，（a＞b＞0）的左、右焦点分别F1，F2，M为椭圆上异于长轴端点的一点，△MF1F2的内心为I，直线MI交x轴于点E，若＝2，则椭圆C的离心率是__．
16．已知过原点的直线与双曲线交于不同的两点，，为双曲线的左焦点，且满足，，则的离心率为______.
四、解答题（共70分）
17．（10分）求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）椭圆的长半轴为，半焦距长为；
（2）经过两点．
18．（12分）（1）求焦点在坐标轴上，长轴长为8，焦距为6的椭圆的标准方程；
（2）求与双曲线有公共渐近线，且焦距为的双曲线的方程.
19．（12分）己知过点的抛物线方程为，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，且.
（1）求抛物线的方程、焦点坐标、准线方程；
（2）求所在的直线方程.
20．（12分）已知椭圆的左右焦点分别为，，且椭圆C上的点M满足，．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点是椭圆的上顶点，点在椭圆C上，若直线，的斜率分别为，满足，求面积的最大值．
21．（12分）已知双曲线过点，且离心率．
（1）求该双曲线的标准方程；
（2）如果，为双曲线上的动点，直线与直线的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出该定值．
22．（12分）已知抛物线C：的焦点为F，M为抛物线C上一点，且.
（1）求抛物线C的方程；
（2）设直线l：与C交于M.N两点，在x轴上是否存在定点P，使得当m变化时，总有∠OPM=∠OPN成立？若存在，求出点P的坐标；不存在，请说明理由.
试卷第4页，共5页
试卷第1页，共1页
参考答案
1．D
【详解】
∵椭圆方程化为标准式为＋x2＝1，
∴a2＝6，且焦点在y轴上，
∴长轴端点坐标为(0，－)，(0，)．
2．D
【详解】
解析由题意知，所求双曲线是等轴双曲线，设其方程为x2-y2=λ（λ≠0），将点（5，3）代入方程，可得λ=52-32=16，所以双曲线方程为x2-y2=16，即-=1.
3．C
【详解】
抛物线的标准方程为x2＝－4y，则准线方程为y＝1.
故选：C
4．A
【详解】
设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，由题意可得M到C(0，－3)的距离与到直线y＝3的距离相等.
由抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹是以C(0，－3)为焦点，以y＝3为准线的一条抛物线，其方程为x2＝－12y.
5．B
【分析】
由题意，当点在短轴端点时，的面积的最大值为12，此时可得，解得，再求出值，即可写出椭圆方程.
【详解】
由题意，当点在短轴端点时，的面积的最大值为12，
可得，解得，又，
故
故椭圆的方程为
故选：B
6．D
【分析】
根据的周长为20可得，根据双曲线的定义可知，，两式相加可得，即可求解.
【详解】
由题意知.
又，所以.
根据双曲线的定义可知，
所以，
解得，所以.
故选：D
7．B
【分析】
设，，的方程为：，与双曲线的方程联立可得点的坐标，设，，直线的倾斜角为， 则，运用三角形面积相等，双曲线的定义，可得关于、的方程，由即可得离心率.
【详解】
设双曲线的左焦点、右焦点，
设双曲线的一条渐近线方程为：，
可得直线的方程为：，
由可得： ，即，
设，，
可得，
即，整理可得：，
即，
由双曲线的定义可得：，
所以，
设直线的倾斜角为，在中，，
，，所以，
所以，
所以，整理可得：，
解得：或（舍），
所以双曲线的离心率为，
故选：B.
8．D
【分析】
先求出，，与斜率之积为，带入后得，又为该双曲线上任一点，带入后得到，关系.即可得到双曲线的渐近线方程.
【详解】
解： ，是双曲线的左右顶点
，
设，又与斜率之积为
又为该双曲线上任一点（与，不重合）
故可知，可知
所以双曲线的渐近线为，即.
故选：D
9．BD
【分析】
设设点P的坐标为，根据已知条件，求得轨迹方程，然后根据平方项的系数的正负，同号异号，同号时相等与否分类讨论.
【详解】
设点P的坐标为，则，所以.
当时，，即，表示焦点在y轴上的椭圆，故A错误.
当时，，表示圆心在原点的圆，故B正确.
当时，，表示焦点在x轴上的椭圆，故C错误.
当时，，表示焦点在x轴上的双曲线，故D正确.
故选：BD
10．AB
【分析】
由椭圆的方程得出的取值范围，分别求出直线和直线的方程，联立解出交点坐标，可得，利用的取值范围得出的范围，结合选项得出答案．
【详解】
依题意，，，则，
而直线的斜率，则直线方程为，
直线的斜率，直线的方程为．
联立，解得则，
则，由，得的取值范围为，
故选：AB
11．ACD
【分析】
利用双曲线的渐近线的一般表达形式可以对A迅速作出判定;根据双曲线的实轴长度小于弦长，利用数形结合思想可快速否定B;根据双曲线的渐近线的斜率，利用数形结合思想可快速判定C正确. 画出双曲线的图象，根据的坐标判定双曲线在两条渐近线的上方，可判定D正确；
【详解】
双曲线的渐近线方程可表示为为，双曲线的渐近线方程可表示为，整理后都是，故A正确；
由于双曲线的实轴长为,∴过焦点与左右两支都相交的直线被双曲线截得的弦长的取值范围是,存在关于对称的两种情况，使其弦长为5，另外当直线垂直于x轴时，经计算可得弦长正好是5，故满足条件的直线有三条，如图所示：
故B错误；
由于双曲线的渐近线的斜率为，焦点在x轴上，
∴若直线与双曲线的两支各有一个交点，则直线的斜率，
如图所示：
故C正确；
由于点在双曲线的两条渐近线的上方，如图所示：
故过能作4条直线与双曲线仅有一个交点，其中两条与渐近线平行，另外两条与双曲线相切.
故选：.
【点睛】
本题考查双曲线的性质，渐近线，直线与双曲线的位置关系和弦长问题，属中高档题，难度较大，关键在于熟练掌握双曲线的性质，采用数形结合的方法快速得出答案.若采用代数法法判定，则费时费力，在考场上事倍功半，应当注意使用数形结合思想快速解答.
12．BCD
【分析】
在Rt△EFM中，用角表示，即可在等腰三角形中求出；在Rt△EFN中，用角表示，即可在等腰三角形中求出,结合二倍角公式即可判段A,B,C选项. 在△ MNF中，求出，即可求解△ MON的面积.
【详解】
设准线与x轴的交点为E,连接MF,NF,如图由抛物线的定义可得，,由题意可得，,在Rt△EFM中，，在△ 中， ，同理可得，，所以，故A错误，B,D正确；在△ MNF中，,所以，所以，故D正确.
故选：BCD
13．
【分析】
由题意，可设双曲线的方程为：，代入点，即得解
【详解】
由题意，双曲线的一条渐近线的方程为，
故可设双曲线的方程为：
代入点，可得：
故答案为：
14．3；
【分析】
过点作准线的垂线，由抛物线的定义和三角形相似、可知，，进而可求得结果.
【详解】
如图所示：
过点作交于点，利用抛物线定义得到.
设准线交x轴于点，因为，
所以，又焦点到准线的距离为4，所以，
所以.
故答案为：3
15．
【分析】
根据已知条件利用内角平分线定理，结合合比定理得到，然后根据椭圆的定义和离心率的定义求得离心率.
【详解】
解：△MF1F2的内心为I，连接IF1和IF2，可得IF1为∠MF1F2的平分线，即有，即有,即有，
故答案为：．
16．3
【分析】
设双曲线的右焦点为,连结，则四边形为平行四边形，由双曲线的定义可得，，再利用以及余弦定理，可得答案.
【详解】
设双曲线的右焦点为,如图连结
由直线与双曲线都关于原点对称，可得四边形为平行四边形
所以,
由双曲线的定义可得：，所以
,在中， ，
在中，，
化简整理得：，再由，得，得，
故答案为：
17．（1），或；（2）。
【分析】
（1）根据椭圆的性质即可求出椭圆的短半轴，即可求出结果.
（2）设椭圆的方程为，将两点的坐标代入椭圆方程，求出待定系数的值，进而求出椭圆的方程．
【详解】
（1）因为椭圆的长半轴为，半焦距长为，
所以短半轴，所以椭圆方程为，或；
（2）设椭圆的方程为：，
将代入方程，得，解得，所以所求椭圆的标准方程为：．
18．（1）或；（2）或.
【分析】
（1）根据题意求出的值进而可以直接写出椭圆的方程；
（2）设所求双曲线的标准方程为，进而求出的值，化成标准方程即可.
【详解】
（1）由长轴长知：，∴，
由焦距知：，∴，解得：，
∴椭圆标准方程为：或；
（2）与双曲线有公共渐近线的双曲线可设为，
即为.
当焦点在轴上时，，，，
此时双曲线方程为.
当焦点在轴上时，，，，
此时双曲线方程为.
综上：双曲线的标准方程为或.
19．(1)抛物线的方程为，焦点，准线方程为；(2)或.
【分析】
(1)根据给定条件求出p值即可求解；
(2)设出直线AB的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理并借助弦长公式求解即得.
【详解】
(1)因点在抛物线方程上，则，
所以抛物线的方程为，焦点，准线方程为：；
(2)显然，直线不垂直y轴，设直线方程为：，
由消去x得：，设，则有，
于是得，解得，即直线AB：，
所以所在的直线方程：或.
20．（1）；（2）．
【分析】
（1）由，结合可得解；
（2）设，直线，将直线与椭圆联立，用坐标表示，代入韦达定理可解得，借助韦达定理表示，用均值不等式即得解.
【详解】
（1）依题意得：，．
由椭圆定义知，
又，则，
在中，，由余弦定理得：
即，解得
又
故所求椭圆方程为
（2）设，直线
联立方程组，得，
，得，
，，
，
由题意知，由，，代入化简得
，
故直线过定点，
由，解得，
，
令，则，当且仅当，即时等号成立，所以面积的最大值为．
21．（1）；（2）证明见解析，6.
【分析】
（1）把点代入椭圆方程，再结合离心率，即得解；
（2）设的方程为，代入双曲线方程，由韦达定理可解得点的坐标，同理可得点的坐标，即得的斜率为定值
【详解】
（1）由题意，，，，
双曲线的方程为；
（2）设，，，，
设的方程为，代入双曲线方程，可得，
，
，，
，，
同理，．
．
故得证.
【点睛】
本题考查了直线和双曲线综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于较难题
22．(1) 抛物线C的方程为：；(2) 存在点P(-4,0) 使得当m变化时，总有∠OPM=∠OPN成立.
【分析】
(1)由结合抛物线定义可得点M到抛物线的准线的距离为4，列方程求p，由此可得抛物线方程；(2)设存在P满足条件，联立直线方程与抛物线方程，求交点M，N的坐标关系，并由∠OPM=∠OPN可得直线OM与直线ON的斜率和为0，由此求出P的坐标.
【详解】
(1)∵ M为抛物线C上一点，且，
∴M到抛物线C的准线的距离为4，
∴
∴
∴ ，
∴抛物线C的方程为：；
(2)设存在x轴上的点，使得∠OPM=∠OPN成立，
则直线MP的斜率与直线NP的斜率之和为0，设，
则，化简可得
联立直线l与抛物线C的方程可得，化简可得，
由已知，为方程的解，
∴ ，，
∴ ，
∴ ，
∴
∴ 存在点P(-4,0) 使得当m变化时，总有∠OPM=∠OPN成立.
【点睛】
解决直线与抛物线的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、抛物线的条件；
(2)强化有关直线与抛物线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．答案第14页，共16页
答案第15页，共16页
姓名：___________班级：___________
一、单选题（每题5分，共40分）
1．椭圆6x2＋y2＝6的长轴端点坐标为（ ）
A．(－1，0)，(1，0) B．(－6，0)，(6，0)
C．(－，0)，(，0) D．(0，－)，(0，)
2．已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点（5，3），则双曲线方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．抛物线y＝－x2的准线方程为（ ）
A．x＝ B．x＝1 C．y＝1 D．y＝2
4．已知动圆M与直线y＝3相切，且与定圆C：x2＋(y＋3)2＝1外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A．x2＝－12y B．x2＝12y C．y2＝12x D．y2＝－12x
5．椭圆两焦点为 ，在椭圆上，若的面积的最大值为12，则椭圆方程是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知双曲线，直线l过其上焦点，交双曲线上支于A，B两点，且，为双曲线下焦点，的周长为18，则m值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．
7．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过右焦点作平行于其中一条渐近线的直线交双曲线于点，若的内切圆半径为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知，是双曲线的左右顶点，为该双曲线上任一点（与，不重合），已知与斜率之积为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（每题5分，共20分）
9．已知点A的坐标为，点B的坐标为，直线AP与BP相交于点P，且它们的斜率之积为非零常数m，那么下列说法中正确的有（ ）
A．当时，点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是焦点在x轴上的椭圆
B．当时，点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是圆心在原点的圆
C．当时，点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是焦点在y轴上的椭圆
D．当时，点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是焦点在x轴上的双曲线
10．已知椭圆：的左、右顶点分别为，，点在椭圆上，点．若直线，的交点为，则的值不可能为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．关于双曲线，下列说法正确的是（ ）
A．该双曲线与双曲线有相同的渐近线
B．过点作直线与双曲线交于，若，则满足条件的直线只有一条
C．若直线与双曲线的两支各有一个交点，则直线的斜率
D．过点能作4条直线与双曲线仅有一个交点
12．已知倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于,两点， 直线，作于点，于点，则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题（每题5分，共20分）
13．已知双曲线的一条渐近线的方程为，且经过点，则双曲线标准方程为______.
14．已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则_____________．
15．已知椭圆C：＝1，（a＞b＞0）的左、右焦点分别F1，F2，M为椭圆上异于长轴端点的一点，△MF1F2的内心为I，直线MI交x轴于点E，若＝2，则椭圆C的离心率是__．
16．已知过原点的直线与双曲线交于不同的两点，，为双曲线的左焦点，且满足，，则的离心率为______.
四、解答题（共70分）
17．（10分）求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）椭圆的长半轴为，半焦距长为；
（2）经过两点．
18．（12分）（1）求焦点在坐标轴上，长轴长为8，焦距为6的椭圆的标准方程；
（2）求与双曲线有公共渐近线，且焦距为的双曲线的方程.
19．（12分）己知过点的抛物线方程为，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，且.
（1）求抛物线的方程、焦点坐标、准线方程；
（2）求所在的直线方程.
20．（12分）已知椭圆的左右焦点分别为，，且椭圆C上的点M满足，．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点是椭圆的上顶点，点在椭圆C上，若直线，的斜率分别为，满足，求面积的最大值．
21．（12分）已知双曲线过点，且离心率．
（1）求该双曲线的标准方程；
（2）如果，为双曲线上的动点，直线与直线的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出该定值．
22．（12分）已知抛物线C：的焦点为F，M为抛物线C上一点，且.
（1）求抛物线C的方程；
（2）设直线l：与C交于M.N两点，在x轴上是否存在定点P，使得当m变化时，总有∠OPM=∠OPN成立？若存在，求出点P的坐标；不存在，请说明理由.
试卷第4页，共5页
试卷第1页，共1页
参考答案
1．D
【详解】
∵椭圆方程化为标准式为＋x2＝1，
∴a2＝6，且焦点在y轴上，
∴长轴端点坐标为(0，－)，(0，)．
2．D
【详解】
解析由题意知，所求双曲线是等轴双曲线，设其方程为x2-y2=λ（λ≠0），将点（5，3）代入方程，可得λ=52-32=16，所以双曲线方程为x2-y2=16，即-=1.
3．C
【详解】
抛物线的标准方程为x2＝－4y，则准线方程为y＝1.
故选：C
4．A
【详解】
设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，由题意可得M到C(0，－3)的距离与到直线y＝3的距离相等.
由抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹是以C(0，－3)为焦点，以y＝3为准线的一条抛物线，其方程为x2＝－12y.
5．B
【分析】
由题意，当点在短轴端点时，的面积的最大值为12，此时可得，解得，再求出值，即可写出椭圆方程.
【详解】
由题意，当点在短轴端点时，的面积的最大值为12，
可得，解得，又，
故
故椭圆的方程为
故选：B
6．D
【分析】
根据的周长为20可得，根据双曲线的定义可知，，两式相加可得，即可求解.
【详解】
由题意知.
又，所以.
根据双曲线的定义可知，
所以，
解得，所以.
故选：D
7．B
【分析】
设，，的方程为：，与双曲线的方程联立可得点的坐标，设，，直线的倾斜角为， 则，运用三角形面积相等，双曲线的定义，可得关于、的方程，由即可得离心率.
【详解】
设双曲线的左焦点、右焦点，
设双曲线的一条渐近线方程为：，
可得直线的方程为：，
由可得： ，即，
设，，
可得，
即，整理可得：，
即，
由双曲线的定义可得：，
所以，
设直线的倾斜角为，在中，，
，，所以，
所以，
所以，整理可得：，
解得：或（舍），
所以双曲线的离心率为，
故选：B.
8．D
【分析】
先求出，，与斜率之积为，带入后得，又为该双曲线上任一点，带入后得到，关系.即可得到双曲线的渐近线方程.
【详解】
解： ，是双曲线的左右顶点
，
设，又与斜率之积为
又为该双曲线上任一点（与，不重合）
故可知，可知
所以双曲线的渐近线为，即.
故选：D
9．BD
【分析】
设设点P的坐标为，根据已知条件，求得轨迹方程，然后根据平方项的系数的正负，同号异号，同号时相等与否分类讨论.
【详解】
设点P的坐标为，则，所以.
当时，，即，表示焦点在y轴上的椭圆，故A错误.
当时，，表示圆心在原点的圆，故B正确.
当时，，表示焦点在x轴上的椭圆，故C错误.
当时，，表示焦点在x轴上的双曲线，故D正确.
故选：BD
10．AB
【分析】
由椭圆的方程得出的取值范围，分别求出直线和直线的方程，联立解出交点坐标，可得，利用的取值范围得出的范围，结合选项得出答案．
【详解】
依题意，，，则，
而直线的斜率，则直线方程为，
直线的斜率，直线的方程为．
联立，解得则，
则，由，得的取值范围为，
故选：AB
11．ACD
【分析】
利用双曲线的渐近线的一般表达形式可以对A迅速作出判定;根据双曲线的实轴长度小于弦长，利用数形结合思想可快速否定B;根据双曲线的渐近线的斜率，利用数形结合思想可快速判定C正确. 画出双曲线的图象，根据的坐标判定双曲线在两条渐近线的上方，可判定D正确；
【详解】
双曲线的渐近线方程可表示为为，双曲线的渐近线方程可表示为，整理后都是，故A正确；
由于双曲线的实轴长为,∴过焦点与左右两支都相交的直线被双曲线截得的弦长的取值范围是,存在关于对称的两种情况，使其弦长为5，另外当直线垂直于x轴时，经计算可得弦长正好是5，故满足条件的直线有三条，如图所示：
故B错误；
由于双曲线的渐近线的斜率为，焦点在x轴上，
∴若直线与双曲线的两支各有一个交点，则直线的斜率，
如图所示：
故C正确；
由于点在双曲线的两条渐近线的上方，如图所示：
故过能作4条直线与双曲线仅有一个交点，其中两条与渐近线平行，另外两条与双曲线相切.
故选：.
【点睛】
本题考查双曲线的性质，渐近线，直线与双曲线的位置关系和弦长问题，属中高档题，难度较大，关键在于熟练掌握双曲线的性质，采用数形结合的方法快速得出答案.若采用代数法法判定，则费时费力，在考场上事倍功半，应当注意使用数形结合思想快速解答.
12．BCD
【分析】
在Rt△EFM中，用角表示，即可在等腰三角形中求出；在Rt△EFN中，用角表示，即可在等腰三角形中求出,结合二倍角公式即可判段A,B,C选项. 在△ MNF中，求出，即可求解△ MON的面积.
【详解】
设准线与x轴的交点为E,连接MF,NF,如图由抛物线的定义可得，,由题意可得，,在Rt△EFM中，，在△ 中， ，同理可得，，所以，故A错误，B,D正确；在△ MNF中，,所以，所以，故D正确.
故选：BCD
13．
【分析】
由题意，可设双曲线的方程为：，代入点，即得解
【详解】
由题意，双曲线的一条渐近线的方程为，
故可设双曲线的方程为：
代入点，可得：
故答案为：
14．3；
【分析】
过点作准线的垂线，由抛物线的定义和三角形相似、可知，，进而可求得结果.
【详解】
如图所示：
过点作交于点，利用抛物线定义得到.
设准线交x轴于点，因为，
所以，又焦点到准线的距离为4，所以，
所以.
故答案为：3
15．
【分析】
根据已知条件利用内角平分线定理，结合合比定理得到，然后根据椭圆的定义和离心率的定义求得离心率.
【详解】
解：△MF1F2的内心为I，连接IF1和IF2，可得IF1为∠MF1F2的平分线，即有，即有,即有，
故答案为：．
16．3
【分析】
设双曲线的右焦点为,连结，则四边形为平行四边形，由双曲线的定义可得，，再利用以及余弦定理，可得答案.
【详解】
设双曲线的右焦点为,如图连结
由直线与双曲线都关于原点对称，可得四边形为平行四边形
所以,
由双曲线的定义可得：，所以
,在中， ，
在中，，
化简整理得：，再由，得，得，
故答案为：
17．（1），或；（2）。
【分析】
（1）根据椭圆的性质即可求出椭圆的短半轴，即可求出结果.
（2）设椭圆的方程为，将两点的坐标代入椭圆方程，求出待定系数的值，进而求出椭圆的方程．
【详解】
（1）因为椭圆的长半轴为，半焦距长为，
所以短半轴，所以椭圆方程为，或；
（2）设椭圆的方程为：，
将代入方程，得，解得，所以所求椭圆的标准方程为：．
18．（1）或；（2）或.
【分析】
（1）根据题意求出的值进而可以直接写出椭圆的方程；
（2）设所求双曲线的标准方程为，进而求出的值，化成标准方程即可.
【详解】
（1）由长轴长知：，∴，
由焦距知：，∴，解得：，
∴椭圆标准方程为：或；
（2）与双曲线有公共渐近线的双曲线可设为，
即为.
当焦点在轴上时，，，，
此时双曲线方程为.
当焦点在轴上时，，，，
此时双曲线方程为.
综上：双曲线的标准方程为或.
19．(1)抛物线的方程为，焦点，准线方程为；(2)或.
【分析】
(1)根据给定条件求出p值即可求解；
(2)设出直线AB的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理并借助弦长公式求解即得.
【详解】
(1)因点在抛物线方程上，则，
所以抛物线的方程为，焦点，准线方程为：；
(2)显然，直线不垂直y轴，设直线方程为：，
由消去x得：，设，则有，
于是得，解得，即直线AB：，
所以所在的直线方程：或.
20．（1）；（2）．
【分析】
（1）由，结合可得解；
（2）设，直线，将直线与椭圆联立，用坐标表示，代入韦达定理可解得，借助韦达定理表示，用均值不等式即得解.
【详解】
（1）依题意得：，．
由椭圆定义知，
又，则，
在中，，由余弦定理得：
即，解得
又
故所求椭圆方程为
（2）设，直线
联立方程组，得，
，得，
，，
，
由题意知，由，，代入化简得
，
故直线过定点，
由，解得，
，
令，则，当且仅当，即时等号成立，所以面积的最大值为．
21．（1）；（2）证明见解析，6.
【分析】
（1）把点代入椭圆方程，再结合离心率，即得解；
（2）设的方程为，代入双曲线方程，由韦达定理可解得点的坐标，同理可得点的坐标，即得的斜率为定值
【详解】
（1）由题意，，，，
双曲线的方程为；
（2）设，，，，
设的方程为，代入双曲线方程，可得，
，
，，
，，
同理，．
．
故得证.
【点睛】
本题考查了直线和双曲线综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于较难题
22．(1) 抛物线C的方程为：；(2) 存在点P(-4,0) 使得当m变化时，总有∠OPM=∠OPN成立.
【分析】
(1)由结合抛物线定义可得点M到抛物线的准线的距离为4，列方程求p，由此可得抛物线方程；(2)设存在P满足条件，联立直线方程与抛物线方程，求交点M，N的坐标关系，并由∠OPM=∠OPN可得直线OM与直线ON的斜率和为0，由此求出P的坐标.
【详解】
(1)∵ M为抛物线C上一点，且，
∴M到抛物线C的准线的距离为4，
∴
∴
∴ ，
∴抛物线C的方程为：；
(2)设存在x轴上的点，使得∠OPM=∠OPN成立，
则直线MP的斜率与直线NP的斜率之和为0，设，
则，化简可得
联立直线l与抛物线C的方程可得，化简可得，
由已知，为方程的解，
∴ ，，
∴ ，
∴ ，
∴
∴ 存在点P(-4,0) 使得当m变化时，总有∠OPM=∠OPN成立.
【点睛】
解决直线与抛物线的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、抛物线的条件；
(2)强化有关直线与抛物线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．答案第14页，共16页
答案第15页，共16页