安徽省合肥市五十中学东校2021-2022学年九年级上学期第一次质检数学试卷(word解析版)

2021-2022学年安徽省合肥五十中东校九年级（上）第一次质检数学试卷
选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．下列四组线段中，成比例线段的有（　　）
A．3cm、4cm、5cm、6cm B．4cm、8cm、3cm、5cm
C．5cm、15cm、2cm、6cm D．8cm、4cm、1cm、3cm
2．已知函数y＝（m+3）x2+4是二次函数，则m的取值范围为（　　）
A．m＞﹣3 B．m＜﹣3 C．m≠﹣3 D．任意实数
3．在比例尺为1：1000000的地图上，相距3cm的两地，它们的实际距离为（　　）
A．3km B．30km C．300km D．3000km
4．将抛物线y＝x2+2向右平移1个单位，所得新抛物线的表达式为（　　）
A．y＝（x﹣1）2+2 B．y＝（x+1）2+2 C．y＝x2+1 D．y＝x2+3
5．对于函数y＝，下列说法错误的是（　　）
A．它的图像分布在一、三象限
B．它的图像既是轴对称图形又是中心对称图形
C．当x＞0时，y的值随x的增大而增大
D．当x＜0时，y的值随x的增大而减小
6．对于二次函数y＝（x﹣2）2+2的图象，下列说法正确的是（　　）
A．开口向下
B．当x＝﹣2时，y有最大值是2
C．对称轴是x＝﹣2
D．顶点坐标是（2，2）
7．若点A（﹣4，y1）、B（﹣2，y2）、C（2，y3）都在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y1＞y3 D．y1＞y3＞y2
8．已知在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx和反比例函数y＝的图象如图所示，则一次函数y＝x﹣b的图象可能是（　　）
9．如图，平面直角坐标系中，点A是x轴上任意一点，BC平行于x轴，分别交y＝（x＞0）、y＝（x＜0）的图象于B、C两点，若△ABC的面积为2，则k值为（　　）
A．﹣1 B．1 C． D．
10．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线AB运动，同时动点N从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线AD→DC→CB运动，当点N运动到点B时，点M，N同时停止运动．设△AMN的面积为y，运动时间为x（s），则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（　　）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．抛物线y＝﹣x（x﹣2）的顶点坐标是 　 　．
12．如果＝，且b是a、c的比例中项，那么等于 　 　．
13．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一分与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为x＝﹣1，结合图象给出下列结论：
①a+b+c＝0；②2a﹣b＝0；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为x＝﹣3和x＝1；④若点（4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函数图象上，则y1＜y2＜y3；⑤a﹣b≤m（am+b）（m为任意实数）．其中正确的结论是 　 　．
14．已知二次函数y＝x2﹣2ax（a为常数）．则该二次函数的对称轴是 　 　；当﹣1≤x≤4时，y的最小值是﹣12，则a的值为 　 　．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．已知线段a、b、c，且＝，求的值．
16．抛物线y＝ax2+bx+c上，部分点的横、纵坐标x、y的对应值如表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 0 ﹣4 ﹣4 0 8
（1）根据上表填空：①方程ax2+bx+c＝0的两个根分别是 　 　和 　 　．②抛物线经过点（﹣3，　 　）；
（2）求抛物线y＝ax2+bx+c的解析式．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．如图，李老师准备用篱笆围建一个面积为60m2的矩形花圃ABCD，其中一边AB靠墙．
（1）设AD的长为x米，DC的长为y米，求y与x之间的函数关系式；
（2）当矩形花圃ABCD的相邻两边之比是0.6时（接近黄金分割），花圃最美观．若围成矩形花圃ABCD的三边篱笆总长不超过24m，且为了美观，求此时篱笆AD的长．
18．如图，直线l1∥l2∥l3，AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F；AC与DF交于点O．已知DE＝3，EF＝6，AB＝4．
（1）求AC的长；
（2）若BE：CF＝1：3，求OB：AB．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面8米时，水面宽AB为12米．当水面上升6米时达到警戒水位，此时拱桥内的水面宽度是多少米？
下面是两个兴趣小组解决这个问题的两种方法，请补充完整：
方法一：如图1，以点A为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，此时点B的坐标为　 　，抛物线的顶点坐标为　 　，可求这条抛物线的解析式为　 　．
当y＝6时，求出此时自变量x的取值，即可解决这个问题．
方法二：如图2，以抛物线顶点为原点，对称轴为y轴，建立平面直角坐标系xOy，这时这条抛物线所表示的二次函数的解析式为　 　．
当取y＝　 　时，即可求出此时拱桥内的水面宽度为　 　，解决了这个问题．
20．小明同学在学习函数的过程中遇到这样一个函数：y＝[x]，若x＞0时，[x]＝；若x≤0时，[x]＝x+2．小明根据学习函数的经验，对函数进行了研究．
（1）当x＝﹣3时，y＝　 　；当y＝3时，x＝　 　；
（2）在平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（3）下列关于该函数图象的性质正确的是 　 　．（填序号）
①当x＜0时，y随着x的增大而减小；
②当x＝0时，函数有最大值2；
③该函数图象不经过第四象限；
④当x＜0时，函数图象经过点（﹣1，1）．
（4）当y＜1时，请直接写出x的取值范围．
六、（本题满分12分）
21.如图，在直角坐标系中，点A（3，a）和点B是一次函数y＝x﹣2和反比例函数y＝图象的交点．
（1）求反比例函数的表达式和点B的坐标．
（2）利用图象，直接写出当x﹣2＞时x的取值范围．
（3）C为线段AB上一点，作CD∥y轴与反比例函数y＝交于点D，当△BCD的面积最大时，则C点的坐标为 　 　．
七、（本题满分12分）
22．已知抛物线y＝（a+1）x2﹣（a+2）x+c经过（0，3），当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点A（m，n）是抛物线y＝（a+1）x2﹣（a+2）x+c上的一点，设s＝n2+8m2，求s的最小值．
八、（本题满分14分）
23．某超市拟于中秋节前50天里销售某品牌月饼，其进价为18元/kg．设第x天的销售价格为y（元/kg），销售量为m（kg）．该超市根据以往的销售经验得出以下的销售规律：①当1≤x≤30时，y＝40；当3≤x≤50时，y与x满足一次函数关系，且当＝36时，y＝37；x＝44时，y＝33．②m与x的关系为m＝5x+50．
（1）当31≤x≤50时，求y与x的关系式；
（2）x为多少时，当天的销售利润W（元）最大？最大利润为多少？
（3）若超市希望第31天到第35天的日销售利润W（元）随x的增大而增大，则需要在当天销售价格的基础上涨a元/kg，求a的最小值．
2021-2022学年安徽省合肥五十中东校九年级（上）第一次质检数学试卷参考答案与试题解析
一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．下列四组线段中，成比例线段的有（　　）
A．3cm、4cm、5cm、6cm B．4cm、8cm、3cm、5cm
C．5cm、15cm、2cm、6cm D．8cm、4cm、1cm、3cm
【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案．
【解答】解：A、3×4≠5×6，不成比例线段；
B、3×8≠4×5，不成比例线段；
C、5×6＝15×2，成比例线段；
D、1×8≠3×4，不成比例线段．
故选：C．
2．已知函数y＝（m+3）x2+4是二次函数，则m的取值范围为（　　）
A．m＞﹣3 B．m＜﹣3 C．m≠﹣3 D．任意实数
【分析】根据二次函数的定义和已知条件得出m+3≠0，再求出答案即可．
【解答】解：∵函数y＝（m+3）x2+4是二次函数，
∴m+3≠0，
解得：m≠﹣3，
故选：C．
3．在比例尺为1：1000000的地图上，相距3cm的两地，它们的实际距离为（　　）
A．3km B．30km C．300km D．3000km
【分析】根据比例尺＝图上距离：实际距离，列方程直接求得结果．
【解答】解：设A，B两地的实际距离是x，根据题意：
＝，
解得：x＝3 000 000cm＝30km．
故选：B．
4．将抛物线y＝x2+2向右平移1个单位，所得新抛物线的表达式为（　　）
A．y＝（x﹣1）2+2 B．y＝（x+1）2+2 C．y＝x2+1 D．y＝x2+3
【分析】根据平移的原则：上加下减左加右减，即可得出答案．
【解答】解：将抛物线y＝x2+2向右平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是y＝（x﹣1）2+2，
故选：B．
5．对于函数y＝，下列说法错误的是（　　）
A．它的图像分布在一、三象限
B．它的图像既是轴对称图形又是中心对称图形
C．当x＞0时，y的值随x的增大而增大
D．当x＜0时，y的值随x的增大而减小
【分析】根据反比例函数的性质对四个选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、∵函数y＝中k＝6＞0，∴此函数图象的两个分支分别在一、三象限，故本选项正确；
B、∵函数y＝是反比例函数，∴它的图象既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项正确；
C、∵当x＞0时，函数的图象在第一象限，∴y的值随x的增大而减小，故本选项错误；
D、∵当x＜0时，函数的图象在第三象限，∴y的值随x的增大而减小，故本选项正确．
故选：C．
6．对于二次函数y＝（x﹣2）2+2的图象，下列说法正确的是（　　）
A．开口向下
B．当x＝﹣2时，y有最大值是2
C．对称轴是x＝﹣2
D．顶点坐标是（2，2）
【分析】根据二次函数的性质对各选项进行判断．
【解答】解：∵y＝（x﹣2）2+2，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，2），当x＝2时，有最小值2，
故A、B、C说法错误，D说法正确，
故选：D．
7．若点A（﹣4，y1）、B（﹣2，y2）、C（2，y3）都在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y1＞y3 D．y1＞y3＞y2
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值，比较后即可得出结论．
【解答】解：∵点A（﹣4，y1）、B（﹣2，y2）、C（2，y3）都在反比例函数y＝﹣的图象上，
∴y1＝﹣＝，y2＝﹣＝，y3＝﹣，
又∵﹣＜＜，
∴y3＜y1＜y2．
故选：C．
8．已知在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx和反比例函数y＝的图象如图所示，则一次函数y＝x﹣b的图象可能是（　　）
【分析】根据反比例函数图象和二次函数图象经过的象限，即可得出a＜0、b＞0、c＞0，由此即可得出＜0，﹣b＜0，即可得出一次函数y＝x﹣b的图象经过二三四象限，再对照四个选项中的图象即可得出结论．
【解答】解：∵二次函数开口向下，
∴a＜0；
∵二次函数的对称轴在y轴右侧，左同右异，
∴b符号与a相异，b＞0；
∵反比例函数图象经过一三象限，∴c＞0，
∴＜0，﹣b＜0，
∴一次函数y＝x﹣b的图象经过二三四象限．
故选：B．
9．如图，平面直角坐标系中，点A是x轴上任意一点，BC平行于x轴，分别交y＝（x＞0）、y＝（x＜0）的图象于B、C两点，若△ABC的面积为2，则k值为（　　）
﹣1 B．1 C． D．
【分析】连接OC、OB，如图，由于BC∥x轴，根据三角形面积公式得到S△ACB＝S△OCB，再利用反比例函数系数k的几何意义得到 |3|+ |k|＝2，然后解关于k的绝对值方程可得到满足条件的k的值．
【解答】解：连接OC、OB，如图，
∵BC∥x轴，
∴S△ACB＝S△OCB，
而S△OCB＝ |3|+ |k|，
∴ |3|+ |k|＝2，
而k＜0，
∴k＝﹣1．
故选：A．
10．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线AB运动，同时动点N从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线AD→DC→CB运动，当点N运动到点B时，点M，N同时停止运动．设△AMN的面积为y，运动时间为x（s），则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（　　）
【分析】根据点N的运动情况，分点N在AD，DC，CB上三种情况讨论，分别写出每种情况y和x之间的函数关系式，即可确定图象．
【解答】解：当点N在AD上时，即0＜x＜2
∵AM＝x，AN＝2x，
∴，
此时二次项系数大于0，
∴该部分函数图象开口向上，
当点N在DC上时，即2≤x＜4，
此时底边AM＝x，高AD＝4，
∴y＝＝2x，
∴该部分图象为直线段，
当点N在CB上时，即4≤x＜6时，
此时底边AM＝x，高BN＝12﹣2x，
∴y＝，
∵﹣1＜0，
∴该部分函数图象开口向下，
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．抛物线y＝﹣x（x﹣2）的顶点坐标是 　 　．
【分析】首先把解析式配方成为顶点式y＝a（x﹣h）2+k，再根据顶点式的特殊形式可得顶点坐标．
【解答】解：∵y＝﹣x（x﹣2）＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1，
∴顶点坐标为（1，1）．
如果＝，且b是a、c的比例中项，那么等于 　 　．
【分析】根据比例中项的概念可得a：b＝b：c，则可求得b：c值．
【解答】解：∵＝，b是a和c的比例中项，
即＝，
∴＝．
13．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一分与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为x＝﹣1，结合图象给出下列结论：
①a+b+c＝0；②2a﹣b＝0；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为x＝﹣3和x＝1；④若点（4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函数图象上，则y1＜y2＜y3；⑤a﹣b≤m（am+b）（m为任意实数）．其中正确的结论是 　 　．
【分析】①将（﹣1，0）代入二次函数y＝ax2+bx+c可对①进行判断；
②根据开口方向和与y轴的交点位置可得a＞0，c＜0，根据抛物线的对称轴方程得到﹣＝﹣1，则可对②进行判断；
③利用二次函数的对称性可对③进行判断；
④因为抛物线开口向上，离对称轴越远，函数值越大，可对④进行判断；
⑤根据二次函数的性质，根据x＝﹣1时y有最小值可对⑤进行判断．
【解答】解：①∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），
∴a+b+c＝0，
故①正确；
②∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∵抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，
∴a＞0，c＜0，
∴a﹣2b+c＝c﹣3a＜0，
故②正确；
③由对称得：抛物线与x轴的另一交点为（﹣3，0），
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1，
故③正确；
④∵对称轴为直线x＝﹣1，且开口向上，
∴离对称轴越近，y值越小，
∵|﹣4+1|＝3，||﹣2+1|＝1，|3+1|＝4，
∵点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函数图象上，
∴y2＜y1＜y3，
故④不正确；
⑤∵x＝﹣1时，y有最小值，
∴a﹣b+c≤am2+bm+c（m为任意实数），
∴a﹣b≤m（am+b），
故⑤不正确．
所以正确的结论有①②③．
已知二次函数y＝x2﹣2ax（a为常数）．则该二次函数的对称轴是 　 　；当﹣1≤x≤4时，y的最小值是﹣12，则a的值为 　 　．
【分析】根据题目中的函数解析式，利用分类讨论的数学方法可以求得a的值．
【解答】解：∵y＝x2﹣2ax＝（x﹣a）2﹣a2，当﹣1≤x≤4时，y的最小值是﹣12，
∴当a＞4时，x＝4取得最小值，则﹣12＝（4﹣a）2﹣a2，解得，a＝3.5（舍去），
当﹣1≤a≤4时，x＝a取得最小值，则﹣12＝（a﹣a）2﹣a2，解得，a＝2，
当a＜﹣1时，x＝﹣1取得最小值，则﹣12＝（﹣1﹣a）2﹣a2，解得，a＝﹣6.5，
故答案为：2或﹣6.5．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．已知线段a、b、c，且＝，求的值．
【分析】根据已知条件得出＝，再把化成+1，然后进行计算即可得出答案．
【解答】解：∵＝，
∴＝，
∴＝+1＝+1＝；
16．抛物线y＝ax2+bx+c上，部分点的横、纵坐标x、y的对应值如表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 0 ﹣4 ﹣4 0 8
（1）根据上表填空：①方程ax2+bx+c＝0的两个根分别是 　 　和 　 　．②抛物线经过点（﹣3，　 　）；
（2）求抛物线y＝ax2+bx+c的解析式．
【分析】（1）①观察表格中y＝0时x的值，即可确定出所求方程的解；
②利用对称性确定出x＝﹣3时y的值，确定出所求点坐标即可；
③利用二次函数增减性确定出结果即可；
（2）利用待定系数法确定出抛物线解析式即可．
【解答】解：（1）①观察表格得：方程ax2+bx+c＝0的两个根分别是x1＝﹣2和x2＝1；
②抛物线经过点（﹣3，8）；
③在对称轴左侧，y随x的增大而减小；
故答案为：①x1＝﹣2，x2＝1；②8；
（2）设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，
把（﹣2，0），（1，0）、（0，﹣4）代入得：，
解得：，
则抛物线解析式为y＝2x2+2x﹣4．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．如图，李老师准备用篱笆围建一个面积为60m2的矩形花圃ABCD，其中一边AB靠墙．
（1）设AD的长为x米，DC的长为y米，求y与x之间的函数关系式；
（2）当矩形花圃ABCD的相邻两边之比是0.6时（接近黄金分割），花圃最美观．若围成矩形花圃ABCD的三边篱笆总长不超过24m，且为了美观，求此时篱笆AD的长．
【分析】（1）根据面积为60m2，可得出y与x之间的函数关系式；
（2）由（1）的关系式，可得出x的可能值，再由三边材料总长不超过24m，可得出x、y的值，继而得出可行的方案．
【解答】解：（1）由题意得，S矩形ABCD＝AD×DC＝xy，
故y＝．（5≤x）
∵由于为了美观，
∴或，
由（1）可知，x=6,y=10或x=10，y=6
∵2x+y≤24，
∴x=6,y=10，
∴AD＝6m．
18．如图，直线l1∥l2∥l3，AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F；AC与DF交于点O．已知DE＝3，EF＝6，AB＝4．
（1）求AC的长；
（2）若BE：CF＝1：3，求OB：AB．
【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理，列出比例式解答即可．
（2）利用平行线分线段成比例定理，列出比例式解答即可．
【解答】解：（1）∵l1∥l2∥l3，
∴，
即，
解得：AC＝12；
（2）∵l1∥l2∥l3，
∴，
∵AB＝4，AC＝12，
∴BC＝8，
∴OB＝2，
∴．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面8米时，水面宽AB为12米．当水面上升6米时达到警戒水位，此时拱桥内的水面宽度是多少米？
下面是两个兴趣小组解决这个问题的两种方法，请补充完整：
方法一：如图1，以点A为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，此时点B的坐标为　 　，抛物线的顶点坐标为　 　，可求这条抛物线的解析式为　 　．
当y＝6时，求出此时自变量x的取值，即可解决这个问题．
方法二：如图2，以抛物线顶点为原点，对称轴为y轴，建立平面直角坐标系xOy，这时这条抛物线所表示的二次函数的解析式为　 　．
当取y＝﹣2时，即可求出此时拱桥内的水面宽度为　 　，解决了这个问题．
【分析】方法一：根据顶点坐标为（4，4），设其解析式为y＝a（x﹣4）2+4，将（0，0）代入求出a的值即可得；
方法二：设抛物线解析式为y＝ax2，将点（4，﹣4）代入求得a的值，据此可得抛物线的解析式，再求出上涨3m后，即y＝﹣1时x的值即可得．
【解答】解：方法一：B（12，0），O（6，8），
设二次函数的解析式为y＝a（x﹣6）2+8，
把B点的坐标代入得，a＝﹣，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+x；
方法二：设二次函数的解析式为y＝ax2，
把B（6，﹣8）代入得，a＝﹣，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2；
y＝﹣2时，求出此时自变量x的取值为±3，
即可求出此时拱桥内的水面宽度为6，
故答案为：（12，0）；（6，8）；；；6．
20．小明同学在学习函数的过程中遇到这样一个函数：y＝[x]，若x＞0时，[x]＝；若x≤0时，[x]＝x+2．小明根据学习函数的经验，对函数进行了研究．
（1）当x＝﹣3时，y＝　 　；当y＝3时，x＝　 　；
（2）在平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（3）下列关于该函数图象的性质正确的是 　 　．（填序号）
①当x＜0时，y随着x的增大而减小；
②当x＝0时，函数有最大值2；
③该函数图象不经过第四象限；
④当x＜0时，函数图象经过点（﹣1，1）．
（4）当y＜1时，请直接写出x的取值范围．
【分析】（1）根据函数的解析式即可求解；
（2）根据题意列表、描点、连线即可画出该函数的图象；
（3）结合图象根据函数的性质即可判断；
（4）根据函数图象可直接写出x的取值范围．
【解答】解：（1）当x＝﹣3时，y＝[x]＝x+2＝﹣1；
当y＝3时，若x＞0时，[x]＝＝3，解得：x＝，
若x≤0时，[x]＝x+2＝3．解得x＝1（舍去），
∴当y＝3时，x＝x＝，
故答案为：﹣1，；
（2）列表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …
y … 0 1 2 2 1 …
描点，连线：
（3）由图象得：当x＜0时，y随着x的增大而增大，①错误，不符合题意；
当x＞0时，y随着x的减小而而增大，函数没有最大值，②错误，不符合题意；
该函数图象不经过第四象限，③正确，符合题意；
当x＜0时，函数图象经过点（﹣1，1），④正确，符合题意；
故答案为：③④；
（4）由图象得：当y＜1时，x的取值范围是x＜﹣1或x＞2．
六、（本题满分12分）
21.如图，在直角坐标系中，点A（3，a）和点B是一次函数y＝x﹣2和反比例函数y＝图象的交点．
（1）求反比例函数的表达式和点B的坐标．
（2）利用图象，直接写出当x﹣2＞时x的取值范围．
（3）C为线段AB上一点，作CD∥y轴与反比例函数y＝交于点D，当△BCD的面积最大时，则C点的坐标为 　 　．
【分析】（1）先把A点坐标代入y＝x﹣2中求出a,再把A点坐标代入y＝得到反比例函数解析式，然后利用方程求出点B坐标；
（2）结合函数图象，写出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可．
（3）设C（x，x﹣2），则D（x，），求得CD＝﹣x+2，根据面积公式得到S△BCD＝x （﹣x+2）＝﹣（x﹣2）2+9，从而求得x＝2时，△BCD的面积最大，此时，C的坐标为（2，﹣1）．
【解答】解：（1）∵点A（3，a）在一次函数y＝x﹣2上，
∴a＝1
∵反比例函数y＝（m≠0）的图象过点A（3，1），
∴m＝3×1＝3，
∴反比例函数的表达式为y＝；
∵点B是一次函数y＝x﹣2和反比例函数y＝图象的交点，
∴x﹣2＝，
解得:
∴点B坐标（-1，-3）；
（2）结合函数图象，当﹣1＜x＜0或x＞3，x﹣2＞．
（3）设C（x，x﹣2），则D（x，），
∴CD＝﹣x+2，
∴S△BCD＝x （﹣x+2）＝﹣（x﹣2）2+9，
∴当x＝2时，△BCD的面积最大，此时，C的坐标为（2，﹣1）．
七、（本题满分12分）
22．已知抛物线y＝（a+1）x2﹣（a+2）x+c经过（0，3），当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点A（m，n）是抛物线y＝（a+1）x2﹣（a+2）x+c上的一点，设s＝n2+8m2，求s的最小值．
【分析】（1）根据二次函数y＝（a+1）x2﹣（a+2）x+c，当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，可以得到该函数的对称轴为y轴，从而可以得到a的值；
（2）通过配方求出n的取值范围，利用二次函数求出最值即可解答本题．
【解答】解：∵二次函数y＝（a+1）x2﹣（a+2）x+c，当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，
∴该函数的对称轴为直线x＝﹣＝0，
解得a＝﹣2，
∴二次函数y＝-x2+c，
∵抛物线y＝（a+1）x2﹣（a+2）x+c经过（0，3），
∴c＝3，
∴二次函数y＝-x2+3，
（2）由（1）可知：y＝-x2+3，
∵点A（m，n）是抛物线y＝-x2+3上的一点，
∴，n≤3，
∴s＝n2+8m2
∵当n≤3时，s随n的增大而减小，
∴当n=3时，s有最小值9.
八、（本题满分14分）
23．某超市拟于中秋节前50天里销售某品牌月饼，其进价为18元/kg．设第x天的销售价格为y（元/kg），销售量为m（kg）．该超市根据以往的销售经验得出以下的销售规律：①当1≤x≤30时，y＝40；当3≤x≤50时，y与x满足一次函数关系，且当＝36时，y＝37；x＝44时，y＝33．②m与x的关系为m＝5x+50．
（1）当31≤x≤50时，求y与x的关系式；
（2）x为多少时，当天的销售利润W（元）最大？最大利润为多少？
（3）若超市希望第31天到第35天的日销售利润W（元）随x的增大而增大，则需要在当天销售价格的基础上涨a元/kg，求a的最小值．
【分析】本题是通过构建函数模型解答销售利润的问题．
（1）依据题意利用待定系数法，易得出当31≤x≤50时，y与x的关系式为：y＝x+55．
（2）根据销售利润＝销售量×（售价﹣进价），列出每天的销售利润w（元）与销售价x（元/kg）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润．
（3）要使第31天到第35天的日销售利润W（元）随x的增大而增大，则对称轴＝＞34.5，求得a即可．
【解答】解：（1）依题意，当x＝36时，y＝37；x＝44时，y＝33，
当31≤x≤50时，设y＝kx+b，
则有，解得，
∴y与x的关系式为：y＝x+55．
（2）依题意，
∵W＝（y﹣18） m，
∴，
整理得，，
当1≤x≤30时，
∵W随x增大而增大，
∴x＝30时，取最大值W＝30×110+1100＝4400，
当31≤x≤50时，
W＝x2+160x+1850＝，
∵＜0，
∴x＝32时，W取得最大值，此时W＝4410，
综上所述，x为32时，当天的销售利润W（元）最大，最大利润为4410元．
（3）依题意，
W＝（y+a﹣18） m＝，
∵第31天到第35天的日销售利润W（元）随x的增大而增大，
∴对称轴x＝＝≥34.5，得a≥2.5，
故a的取值范围为a≥2.5．
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