辽宁省大连市重点中学2021-2022学年高二上学期10月阶段性学情反馈数学试卷（PDF版含答案）

2021-2022 学年度上学期高二年级阶段性学情反馈
数学试题
时间：120 分钟 满分：150 分
一、单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的）
1. 在直角坐标系中，直线 x＋ 3y－3＝0 的倾斜角是( )
A．30° B．60° C．150° D．120°
2. 设 x, y R ，向量a = (x,1,1) ,b = (1, y,1),c = (2, 4,2), 且a ⊥ c,b / /c ，则 a + b =（）
A. 2 2 B. 10 C. 3 D. 4
3. 平面 的法向量u = (2, 2,2) ，平面 的法向量v = (1,2,1)，则下列命题正确的是（ ）
A. 、 平行 B. 、 垂直 C. 、 重合 D. 、 不垂直
2
4. 在长方体 ABCD A1B1C1D1 中，已知 AB = BC = AA ， E 为CC1 的中点，则二面角1
2
E BD C的大小为（ ）

A. B. C. D.
6 4 3 2
5．.已知直线 l 过定点 A(2,3,1)，且方向向量为 s =(0,1,1) ，则点P ( 4,3, 2) 到 l 的距离为（） 3 2 2 10A B. C. D. 2 2 2 26. 如图，二面角 － l － 为 60°，A、B 是棱 l 上的两点，AC 、 BD分别在半平面 、 内， AC ⊥ l ，BD⊥ l ，且
AB = AC = a， BD = 2a，则CD的长为（ ）
1
A. 3a B. 2 2a C. 5a D. 2a
7. 在四面体 O-ABC 中,G1是△ABC 的重心,G 是线段 OG1上的一点,且 OG=3GG1,
若OG =xOA+yOB +zOC ,则(x,y,z)为( )
1 1 1 3 3 3 1 1 1 2 2 2
A. , , B. , , C. , , D. , ,
4 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3
8. 在空间直角坐标系O xyz 中，O(0,0,0),E(2 2,0,0),F(0,2 2,0) ， B 为EF 的中点，C 为
1
空间一点且满足 | CO |=| CB |= 3，若cos EF , BC = ，，则OC OF =（ ）
6
A. 9 B. 7 C. 5 D. 3
二、多选题（本大题共 4 小题，每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中，至少两个选项正
确，选对得 5 分，少选得 2 分，错选得 0 分）
9. 下列说法正确的是( )
A．若直线垂直于 y轴，则该直线的一个方向向量为(1,0)，一个法向量为(0,1)
a＋1
B．若直线的一个方向向量为(a，a＋1)，则该直线的斜率为 k＝
a
C．若直线的法向量为 v＝(x0，y0)，则 a＝(y0，－x0)能作为该直线的一个方向向量
D．任何直线一定存在法向量与方向向量，且两向量是相互垂直的
10. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
→ 1 → 1 → 1 →
B. 若对空间中任意一点O，有OP = OA+ OB+ OC ，则 P ， A ， B ，C 四点共面
6 3 2
→ → → → → →
→ → →C. 已知向量 a, b, c 组是空间 一个基底，若m = a+ c ，则 a, b,m 也是空间的一个基底
→ →
→ →
D. 若 a b 0 ，则 a b 钝角
2
是的
11. 如图，正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 1，E 是DD1的中点，则（ ）
A. 直线B1C// 平面 A1BD
B. B1C ⊥ BD1
1
C. 三棱锥C1 B1CE的体积为
3
D. 异面直线B1C 与 BD所成的角为60
12. 如图，一个结晶体的形状为平行六面体 ABCD A1B1C1D1 ，其中，以顶点 A 为端点的三
条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是 60°，下列说法中正确的是（ ）
2 2
A. (AA1 + AB + AD) = 2(AC )
B. AC1 (AB AD) = 0
C. 向量B1C 与 AA1 的夹角是 60°
6
D. BD1与 AC 所成角的余弦值为
3
三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分）
13. 已知空间三点的坐标为 A(1,5, 2)、B (2, 4,1)、C ( p,3,q + 2)，若 A 、 B 、C 三点共
线，则 p+ q = ______.
14. 过点 A(5,2)，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线 l的方程为____________
15. 如图，正三棱锥V ABC 的侧棱长为 3，底面边长为 2，则VA
与 BC 所成角的余弦值为______.
3
16. 如图，在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中，底面边长为 2，直线CC1 与平面 ACD1所成角的
1
正弦值为 ，则正四棱柱的高为_____．
3
四、解答题 (本大题共 6 小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本题满分 10 分)
平面直角坐标系中，已知 ABC 三个顶点的坐标分别为 A( 1,2) ，B( 3,4) ，C(0,6) .
（1）求BC 边上的高所在的直线方程；
（2）求 ABC 的面积.
18. (本题满分 12 分)
已知a = ( +1,1,2 )，b = (6,2m 1,2) .
（1）若 ∥ ，分别求 与m的值；
（2）若 a = 5，且与c = (2, 2 , )垂直，求a .
19. (本题满分 12 分)
如图，直四棱柱 ABCD A1B1C1D1 的底面 ABCD为直角梯形， AB//CD ， BAD = 90 ，
AA1 =CD = 2，AB = AD =1，E ，F 分别为棱BB ，CC1 1 的中点．
（1）在图中作出平面 A1FF 与该棱柱的截面图形，并用阴影部分表
示(不必写出作图过程)；
（2）H 为棱CD的中点，求异面直线D1H 与EF 所成角的余弦值．
4
20. (本题满分 12 分)
如图，三棱柱 ABC A1B1C1中， AB ⊥平面BB1C1C ，点 E 是棱C1C的中点，已知
A1B1 = B1C1 =C1C = 2，B1E = 5 ．
（Ⅰ）求证：B1B ⊥平面 ABC；
（Ⅱ）求二面角 A EB1 A1的余弦值．
21．(本题满分 12 分)
如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1和四棱锥D BB1C1C 构成的几何体中， BAC = 90 ，
AB =1，BC = BB1 = 2，DC1 = DC = 5 ，平面CC1D ⊥平面 ACC1A1 .
（1）求点D 到平面 ACC1A1 的距离；
3
（2）在线段BC 上是否存在点 P ，使直线DP 与平面BB1D 所成角的正弦值为 ？若存
4
BP
在，求 的值；若不存在，说明理由.
BC
5
22. (本题满分 12 分)
如图，在四棱锥P ABCD中，底面 ABCD为直角梯形， AD ⊥ AB ， AD//BC ，
AD = 3， AB = BC = 2， PA = 4 ， PD = 5，平面PAD ⊥平面 ABCD，点E 在棱PD 上，
PE = PD(0 1)， F,G 分别为PC, PB的中点，过E,F,G 三点的平面交PA 于点
H ，且EF // 平面 PAB．
（1）求 的值；
（2）求PC 与平面EFGH 所成角的正弦值．
6
2021-2022 学年度上学期高二年级阶段性学情反馈
数学试题答案
1.C 2.C 3.B 4.B 5.A .6.D. 7A 8.D 9.ACD 10.ABC 11.ABD 12.AB
2
13. 5 14. y＝ x 或 y＝x－3. 15.0 16. 4
5
6 4 2 3
17. （1）直线BC 的斜率 kBC = = ，则BC 边上高所在直线斜率 k = ，
0 ( 3) 3 2
3
则 BC 边上的高所在的直线方程为 y 2 = (x +1) ，即3x+2y 1= 0. 5分
2
2
（2）BC 的方程为 y = x + 6 ，2x 3y+18 = 0.点 A 到直线BC 的距离
3
| 2 ( 1) 3 2+18 | 10 13
d = = ， | BC |= (0+3)2 + (6 4)2 = 13 ，
32 + 22 13
1 1 10 13
则 ABC的面积 S = | BC | d = 13 = 5 10 分
2 2 13
r r
18. （1）Q a//b，设a = kb(k R)，得 ( +1,1,2 ) = k (6,2m 1,2)，
+1= 6k 1
= k = 1
1= k (2m 1)，解得 5 ，因此， = ，m = 3； 6分
5
2 = 2k

m = 3
2 2
a = 5 . 2 2 ( +1) +1 + (2 ) = 5 5 + 2 3 = 0（2） ， ，化简，得 ，解得 = 1 . a c = 0 2( +1) 2 2 2 2 2= 0 2 = 0因此，a = (0,1, 2) 12 分 19.（1）取C1D1中点G ，连结 A1G EG ， 则四边形 A1EFG是平面 A1EF 与该棱柱的截面图形． 4分
（2）∵直四棱柱 ABCD A1B1C1D1 的底面 ABCD为直角梯形， AB//CD， BAD = 90 ，
AA1 =CD = 2， AB = AD =1，E ，F 分别为棱BB ，CC1 1 的中点，
1
∴以D 为原点，DA为 x轴，DC 为 y 轴，DD 为 z1 轴，建立空间直角坐标系，则 D1 (0,0,2)，
H (0,1,0) ， E (1,1,1) ， F (0,2,1) ， D1H = (0,1, 2) ，
EF = ( 1,1,0)，设异面直线D1H 与 EF 所成角为 ，
D1H EF 1 10
则cos = = = ．
D1H EF 5 2 10
10
∴异面直线D1H 与EF 所成角的余弦值为 ． 12分
10
1
20.（Ⅰ）依题意，在 B1C1E 中，B1C1 = 2，B1E = 5，C1E = C1C =1，
2
2 2 2
所以B1C1 +C1E = B1E ，所以 B1C1E = 90 ．
又因为三棱锥 ABC A1B1C1中，四边形BB1C1C为平行四边形，
所以四边形BB1C1C为矩形，所以B1B ^ BC．
因为 AB ⊥平面BB1C1C ， BB1 平面BB1C1C ，所以B1B⊥ AB．
又因为 AB，BC 平面 ABC， AB BC = B，所以B1B ⊥平面 ABC． 5分
（Ⅱ）因为 AB ⊥平面BB1C1C，BC 平面BB1C1C ，所以 AB ⊥ BC．
如图建立空间直角坐标系 B xyz，则 A(0,0,2),E(2,1,0),B1(0,2,0),A1(0,2,2),B1E = (2, 1,0) ，
B1A = (0, 2,2),B1A AEB1 = (0,0,2) ，设平面 1 的法向量为 n = (x, y, z) ，则
n B E = 0, 2x y = 0,1
即 ，令 x =1，则 y = 2 ， z = 2 ， 于是n = (1,2,2) ，
n B1A = 0 2y + 2z = 0.
m B1E = 0 2x1 y1 = 0
设平面 A1EB1的法向量为m = (x1, y 1, z1) ，则 即
m B A = 0 2z1 1 1 = 0
n m 5 5
令 x =1，则 y = 2 ， z = 0． 于是m = (1,2,0)，所以cos n,m = = = .
n m 3 5 3
2
5
由题知二面角 A EB1 A1为锐角，所以其余弦值为 . 12 分
3
21. （1）取CC1 的中点 E ，连接DE ，因为DC1 = DC = 5 ，所以DE ⊥CC1 ，
又平面CC1D ⊥平面 ACC1A1 ，平面CC1D 平面 ACC1A1 =CC1，
所以 DE ⊥平面 ACC1A1 ，因为BB1 = 2 ，所以CC1 = 2，所以
2
DE = DC2 CE2 = ( 5) 12 = 2
故点D 到平面 ACC1A1 的距离为2 . 6 分
（2）以A 为坐标原点， AC, AA , AB 分别为 x， y ， z 轴建立1
空间直角坐标系，因为 BAC = 90 ， AB =1，
BC = BB1 = 2，所以 AC = BC
2 AB2 = 3．
所以 A(0,0,0),C( 3,0,0),C1( 3,2,0), D( 3,1,2), B(0,0,1), B1(0,2,1) ，
所以BB1 = (0, 2,0), BD = ( 3,1,1)．
BB n = 0 2y = 0
设平面BB D 的法向量n = (x, y, z)
1
1 ，则 ，即 ，
BD n = 0 3x + y + z = 0
令 x = 3，则 z = 3， y = 0 ， 所以平面BB1D 的一个法向量n = ( 3,0, 3) ，
设 BP = BC, [0,1]， 所以DP = DB+ BC = ( 3 3, 1, 1 )，
3 | 3 3+3+3 | 5
所以 =
1
， 解得 = 或 = （舍 ) ，
4 2 3 ( 3 3)2 +1+ ( +1)2 2 6
BP 1
所以 = ． 12 分
BC 2
22.（1）因为EF 平面PAB， EF 平面EFGH ，平面PAB 平面EFGH =GH ，
所以EF GH ．因为F 为PC 的中点，G 为 PB 的中点，
3
所以FG BC．又因为底面 ABCD为直角梯形，
AD∥BC ，所以FG∥AD．因为FG 平面PAD ，
AD 平面 PAD ，所以FG∥平面PAD ．
又因为平面EFGH 平面PAD = EH ，所以 FG∥EH ，
从而四边形EFGH 为平行四边形．
又 BC = 2，所以 FG =1，所以EH =GF =1，
PE EH 1 1 1
所以 = = ，所以 PE = PD． 所以 的值为 ． 6分
PD AD 3 3 3
（2）由题可知 AD = 3， PA = 4 ， PD = 5 所以 AD2 + PA2 = PD2 ， 所以PA ⊥ AD．
又因为平面PAD ⊥平面 ABCD，且交于 AD ，所以PA ⊥平面 ABCD．又 AB ⊥ AD ，
以 A 为坐标原点，分别以向量 AB ， AD， AP 所在方向为 x， y ， z 轴的正方向建立如图所
示的空间直角坐标系 A xyz ．所以 A(0,0,0)，B (2,0,0)，C (2, 2,0)，D (0,3,0)，
1 1 8 8
P (0,0, 4)．由（1）可知 = ，即PE = PD ．所以E 0,1, ．H 0,0, ．
3 3 3 3
2
又 F 为PC 的中点，所以F (1,1,2)．所以EH = (0, 1,0)， EF = 1,0, ，
3
n EF = 0,
PC = (2,2, 4)．设平面EFGH 的一个法向量n = ( x, y, z )，所以
n EF = 0,
y = 0,

即 2 令 z = 3，所以 x = 2，所以n = (2,0,3)．
x z = 0,
3
设 PC 与平面EFGH 所成的角的平面角为 ，
n PC 8 2 78
所以sin = cos n, PC = = = ．
n PC 13 24 39
2 78
故 PC 与平面EFGH 所成角的正弦值为 ． 12分
39
4