连州市连州中学2013届高三8月月考数学（理）试题

说明：考试时间120分钟，满分150分，暂不许带计算器。
一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的。）
1.集合，则=( )
A． B． C． D．
2. 为虚数单位，复平面内表示复数z=(1+)(2+)的点在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3. 给出下列四个命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行②垂直于同一平面的两个平面互相平行③若直线与同一平面所成的角相等，则互相平行④若直线是异面直线，则与都相交的两条直线是异面直线。其中假命题的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 已知均为单位向量，它们的夹角为60°，那么，等于（ ）
A. B. C. D. 4
5. 给出计算 的值的一个程序框图如右图，其中判断框内应填入的条件是（ ）．
A． B． C． D．
6. 若变量x,y满足约束条件，则的 最大值为（ ）
A.4 B.3 C.2 D.1
7．设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且。若直线PA的方程为，则直线PB的方程是（ ）
A. B. C. D.
8.如图，在∠AOB的两边上分别有A1、A2、A3、A4和B1、B2、B3、B4、B5共9个点，连结线段AiBj（1≤i≤4,1≤j≤5），如果其中两条线段不相交，则称之为一对“和睦线”，则图中共有（ ）对“和睦线”。
A．60
B．62
C．72
D.124
二、填空题：（本大题共7小题，每小题5分，满分30分。其中14~15题是选做题，考生只能选做一题。若两题都做，则只取第一题的得分。）
9. 函数的定义域是 .
10．记数列的前n项和为，且，则_______.
11. 若的展开式中的系数是80，则实数的值是 .
12. 若关于x的不等式的解集不是空集，则实数k的取值范围是 __________.（用区间表示）
13. 已知的内角所对的











































边分别为且，，则 。
14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆的圆心到直线的距离是_____________;
15.（几何证明选讲选做题）如图，割线经过圆心O，，
OP绕点逆时针旋120°到，连交圆于点，
则 .
三、解答题：(本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.)
16.（本题满分12分）已知函数．
（1）求的值；
（2）设，若，求的值．
17.（本小题满分12分）
已知集合，集合，集合
（1）求从集合中任取一个元素是（3，5）的概率；
（2）从集合中任取一个元素，求的概率；
（3）设为随机变量，，写出的分布列，并求.
18. （本小题满分14分）
如图，在直三棱柱中，，，点D是AB的中点.
（1）求证：；
（2）求证：∥平面;
（3）求异面直线与所成角的余弦值.
19.（本小题满分14分）已知一动圆P（圆心为P）经过定点，并且与定圆：（圆心为C）相切.
（1）求动圆圆心P的轨迹方程；
（2）若斜率为k的直线经过圆的圆心M，交动圆圆心P的轨迹于A、B两点.是否存在常数k，使得？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．
20．（本小题满分14分）已知函数图象上一点处的切线方程为y= -3x+2ln2+2．
（1）求a,b的值；
（2）若方程在内有两个不等实根，求m的取值范围（其中为自然对数的底数）；
21. （本小题满分14分）
已知函数，数列满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求；
（3）令，，，若对一切成立，求最小正整数.
连州中学2013届高三数学8月月考
数学（理科）参考答案及评分标准
选择题：
二．填空题： (9); (10) 4 ; (11) 2 ; (12) ;
(13) ; (14) 1 ; (15)
三．解答题：
（2）解：因为…………………………………………6分
…………………………………………………7分
．…………………………………………………8分
所以，即． ①. ………………………………9分
因为， ②………………………………10分
由①、②解得．…………………………………………………………11分
因为，所以………………………………………………12分
18.（满分14分）解法一：（Ⅰ）直三棱柱，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，
，又是直三棱柱，所以， ………2分
面，面 ；…….4分
（Ⅱ）设与和交点为E，连结DE，D是AB的中点，E是的中点，…….7分 平面，平面，平面；…9分
（Ⅲ），为与所成的角…11分，
在中，，，
，
异面直线与所成角的余弦值为………………………..14分
解法二： 直三棱柱，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，
，且在平面ABC内的射影为BC，；….3分
AC，BC，两两垂直。………………………………………………4分
如图，以C为坐标原点，直线AC，BC，分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，…6分
（2）解：假设存在常数，使得，即，所以M为AB的中点.
圆方程可化为，所以圆心M为（1，1）. …………………………6分
因为直线经过点M，所以直线的方程为.………………………………7分
由，消去得.………9分
因为点M（1，1）在椭圆的内部，所以恒有.……………………10分
设，则.-----------11分
因为M为AB的中点，所以，即，解得.…………13分
所以存在常数，使得.………………………………………14分
（2），……………………………………………………………8分
令，则，
令，得（舍去）．………………………………………9分
当时，， ∴ 是减函数．…………………………11分
则方程在内有两个不等实根的充要条件是: …………13分
解不等式组得取值范围是 …………………………………14分
21．（满分14分）解：（1）……………2分
是以为公差，首项的等差数列……………………3分
………………………………………………………4分
x
z
y