西藏自治区日喀则市南木林高级中学2022届高三上学期第三次月考数学（理）试卷（Word版含答案）

日喀则市南木林高级中学2022届高三年级第三次月考试卷
考试方式：闭卷 年级： 高三 学科： 理数
注意事项：
1、本试题全部为笔答题，共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2、答卷前将密封线内的项目填写清楚，密封线内禁止答题。
3、用钢笔或签字笔直接答在试卷(或答题纸上)。
4、本试题为闭卷考试，请考生勿将课本进入考场。
一、单选题
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．设是虚数单位，若复数满足，则复数对应的点位于复平面的（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．空气质量AQI指数是反映空气质量状况的指数，指数值越小，表明空气质量越好，当AQI指数值不大于100时称空气质量为“优良”.如图所示的是某市4月1日~20日空气质量AQI指数变化的折线图，则下列说法中错误的是（ ）
A．这20天中空气质量最好的是4月17日
B．这20天空气质量AQI指数的极差是240
C．总体来说，该市4月份上旬的空气质量比中旬的空气质量好
D．这20天的空气质量AQI指数数据中随机抽出一天的数据，空气质量为“优良”的概率是0.5
4．已知角的终边过点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．将容量为n的样本中的数据分成6组，若第一组至第六组的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且前三组数据的频数之和等于27，则n的值为（ ）
A．50 B．60 C．70 D．80
6．已知，，，则，，的大小关系为( )
A． B． C． D．
7．的展开式中含项的系数为（ ）
A． B． C． D．
8．同时抛三枚普通的硬币，出现“两个正面一个反面”的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．已知等比数列{an}的各项均为正数，且，，a2成等差数列，则=（ ）
A．1 B．3 C．6 D．9
10．某大型建筑工地因施工噪音过大，被周围居民投诉.现环保局要求其整改，降低声强.已知声强（单位：）)表示声音在传播途径中每平方米面积上的声能流密度，声强级（单位：）与声强的函数关系式为，其中为正实数.已知时，.若整改后的施工噪音的声强为原声强的，则整改后的施工噪音的声强级降低了（ ） A． B． C． D．
11．已知双曲线的虚轴长是实轴长的倍，则其顶点到渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数，且此函数的图像如图所示，则此函数的解析式可以是（ ）
A． B．
C． D．
2、填空题
13．已知正方形的边长为2，点P满足，则_______．
14．以双曲线的右焦点为焦点的抛物线的标准方程是____．
15．设是数列的前n项和，满足，且，则______．
16．长方体的长，宽，高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为__________.
3、解答题
17．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且.
（1）求角；（2）若，，点D在边AC上，且，求BD的长.
18．暑假中小学义务教育“双减”工作文件出台，为落实小学课后延时服务政策，某小学开设了美术 体育 科技三类延时课程.根据以往学生表现情况，得到如下统计数据：
不喜欢美术 喜欢美术 总计
未选美术课程 40
选了美术课程
总计 100 100
现从喜欢美术的学生中任取1人，取到“选择了美术课程”的学生的概率为0.8.
（1）完成列联表，并判断能否有99.5%的把握认为选报美术延时课与喜欢美术有关？
（2）在选择了美术课程的学生中，按是否喜欢美术的比例抽取7人进行调查，再从这7人中随机抽取3人进行“美术课程对培养学生的形象思维能力”的追踪研究记进行“美术课程对培养学生的形象思维能力”的追踪研究中抽取到不喜欢美术的人数为X，求X的分布列和数学期望.
附：，.
0.05 0.01 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
19．在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，线段的中点为，点为上的点，且．
（1）求证：平面⊥平面；
（2）求二面角平面角的余弦值．
20．已知函数，.
（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；
（3）当函数有两个极值点，，且.证明： .
21．已知为坐标原点，椭圆，其右焦点为，为椭圆（一象限部分）上一点，为中点，，面积为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过做圆两条切线，切点分别为，求的值．
22．在直角坐标系中，已知曲线C：（为参数），以坐标原点为极点，以轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）求曲线C的普通方程和直线的直角坐标方程；
（2）求曲线C与直线交点的极坐标（）.
23．已知函数．
（1）当时，解不等式；
（2）若在，使得不等式成立，求实数a的取值范围．
2022届高三年级第三次月考理数答案
填空题
13. -1 14. 15. 16.
解答题
17.
（1）
∵，∴，∵，∴.
（2）设，，则
在中，.
在中：①
在中：②
①+②×2：，综上.
18.
（1）由于“从喜欢美术的学生中任取1人，取到“选择了美术课程”的学生的概率为0.8”，所以喜欢美术的学生中，选择了美术课程的学生人数为人.
完成列联表，如下图所示：
不喜欢美术 喜欢美术 总计
未选美术课程 40 20 60
选了美术课程 60 80 140
总计 100 100 200
，
所以有99.5%的把握认为选报美术延时课与喜欢美术有关.
（2）选了美术课程的学生中，不喜欢美术和喜欢美术的人数比为，
所以抽取的人中，有人不喜欢美术，有人喜欢美术.
从中抽取人，抽到不喜欢美术的人数的可能取值，
则，
，
所以的分布列为
所以.
19．
（1）由，则，
由平面，面，则，
又，，
∴平面，面，
∴，，面，
∴平面 ，面，
∴平面⊥平面．
（2）以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
∴，，，，
由（1）知：平面，且为的中点，故，又，，
∴平面，则为平面的法向量，即为平面的法向量且，
设平面的法向量为，由，又，
∴，令，则，
设平面与平面所成二面角的大小为，则
20．
解：（Ⅰ）当时，.
∴.
，.
.
∴在处的切线方程.
（Ⅱ）的定义域.
；
①当时，即，
，此时在单调递减；
②当时，即或，
（i）当时，
∴在，单调递减，
在单调递增.
（ii）当时，
∴在单调递减；
综上所述，当时，在单调递减；
当时，在，单调递减，
在单调递增.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，有两个极值点，，且满足：，
由题意知，.
∴
令.
则.
在单调递增，在单调递减.
∴.
即.
21．
（1）设椭圆左焦点为，则，
又，则，
又，
则，
则，
故，
则椭圆方程为．
（2），则，
代入椭圆得，故，，
又过做圆两条切线，切点分别为，
则，
设，，
22．
（1）曲线的参数方程消去参数可得：
故曲线化为普通方程为：，
由，得，
结合
所以直线的直角坐标方程为.
（2）的普通方程可化为，联立，
解得或，
化为极坐标可得，.
23．
（1）当时，．
当时，，解得，结合得；
当时，，解得，结合得；
当时，，解得，结合得．
∴原不等式的解集为．
（2）当时，可化为，
∴或，
即存在，使得，或．
，因为，所以∴，
，因为，所以，所以，
∴实数a的取值范围为．