山东省潍坊市临朐实高2021-2022学年高二10月月结学情调研数学试卷（Word版含答案）

临朐实高2021-2022学年高二10月月结学情调研数学试题
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1．若向量与向量共线，则（ ）
A． B． C． D．1
2．已知过点，的直线的斜率为-1，则（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
3．在四面体中，为中点，，若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
4．若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为（ ）
A．30° B．120°
C．60° D．150°
5．在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为
A． B． C． D．
6．如图，正方体中，过点作平面的垂线，垂足为点则下列命题中，错误的是（ ）
A．点是的垂心
B．垂直于平面
C．的延长线经过点
D．直线和所成角为
7．如图，在菱形中，，， 是的中点，将沿直线翻折至的位置，使得面 面，则点到直线的距离为
A． B．
C． D．
8．已知，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）
9．若，是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
10．在同一平面直角坐标系中，表示直线：与：的图象可能正确的是（ ）
A．B．C．D．
11．下列关于空间向量的命题中，正确的有（ ）
A．若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则；
B．若非零向量，，满足，，则有；
C．若，，是空间的一组基底，且，则，，，四点共面；
D．若向量，，，是空间一组基底，则，，也是空间的一组基底.
12．如图，正四棱台的高为，，，则下述正确的是（ ）
A．
B．
C．三棱锥外接球的半径为
D．点到面的距离为
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若直线经过点且在两坐标轴上的截距和为4，则该直线的方程为___________.
14．图中小正方形的边长为1，一个四边形的直观图为如图所示的四边形，则该四边形的平面图形的面积为__________．
15．一个漏斗的上半部分是一个长方体，下半部分是一个四棱锥，两部分的高都为米，公共的底面是边长为1米的正方形，那么这个漏斗的容积为________米.
16．如图，在直三棱柱中，点为棱上的点.且平面，则________.已知，，以为球心，以为半径的球面与侧面的交线长度为________.
四、解答题（本题共6小题，共70分）
17．（10分）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，.
（1）试用向量，，表示向量；
（2）若，，，求的值.
18．（12分）（1）已知过点（1，－1）的直线在轴上的截距比在轴上的截距大，求此直线的方程；
（2）求过点，且在轴上的截距等于在轴上的截距的2倍的直线方程.
19．（12分）如图，在四棱锥中，四边形为矩形，平面，是的中点，，.
（1）求证：平面
（2）求点到平面的距离.
20．（12分）某工厂（看作一点）位于两高速公路（看作两条直线）与之间.已知到高速公路的距离是9千米，到高速公路的距离是18千米，.以为坐标原点，以为轴建立如图所示的平面直角坐标系.
（1）求直线的方程；
（2）现紧贴工厂修建一直线公路连接高速公路和，与的连接点为，与的连接点为，且恰为该路段的中点，求的长度.
21．（12分）如图，几何体为圆柱的一半，四边形为圆柱的轴截面，点为圆弧上异于，的点，点为线段上的动点.
（1）求证：；
（2）若，，，且直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
22．（12分）如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，二面角的大小为.
（1）求证：平面；
（2）若，点为线段上的点，若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度.
高二10月阶段性测试数学参考答案
1．B 2．C 3．D 4．B
3．D
5．C 6．D
7．A
8.A
9．ABC
10．AC
11．ACD
12．ABD
13．.
14．
15．
16．
【详解】取的中点为E，分别连接和，细查题意知，只有当是的中点时，才满足题意，原因如下：当是的中点时，，，，平面，平面，∵，∴平面平面，∵平面，平面，平面平面，
又平面平面，平面平面，
，又，四边形为平行四边形，
，即为的中点，
所以；球面与侧面的交线长，即截面圆的弧长，
，，，即，易得，
取的中点为，故可得，平面平面，平面，平面平面，圆心距，设交线的轨迹为PQ，，
截面圆半径，
又因为，所以为等边三角形，
.故答案为：1，.
17．【详解】（1），
故∵点E为AD的中点，故
（2）由题意得故故
18．【详解】（1）设直线在轴上的截距为，则在轴上的截距为，
由题意可知且，则此直线的方程为.
又此直线过点（1，－1），所以，解得或，
故所求的直线方程为或，
可化为或.
（2）①当在轴、轴上的截距都是0时，设所求直线方程为，
将（－5，2）代入中，得，
此时直线方程为，即；
②当在轴、轴上的截距都不是0时，设所求直线方程为，
将（－5，2）代入中，得，
此时直线方程为，综上所述，所求直线方程为或.
19．【详解】（1）在矩形中，连接交于点，则为的中点，连接.
为的中点又平面，平面平面
（2）方法一：
，平面，平面平面到平面的距离等于到平面的距离平面，平面，又，平面又平面平面平面过作，则平面即为所求.在中，，，解得.
方法二：(等体积法)设到平面的距离为
平面，平面，又，
平面
又.
20．【详解】（1）因为，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为；
（2）设，的方程为，所以点到直线的距离为：
，解得或（不合题意，舍去）；
所以，．
设，，，，所以为的中点，在上；
所以，解得，所以的长度为．
21．【详解】（1）证明：四边形是圆柱的轴截面，
是圆柱底面圆的直径，，是圆柱的母线平面，，
又，平面，又平面，．
（2），，，，
以为原点，以，及平面的过点的垂线为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，0，，，1，，，0，，，0，，，1，，
，1，，，，，，1，，，1，，
设，，，则，，，，
设平面的法向量为，，，则，即，
令可得，3，，，，
直线与平面所成角的正弦值为，，解得，
，3，，由（1）可知平面，，0，为平面的法向量，，，平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
22．【详解】（1）在四棱锥中，因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面；又平面，所以，，所以为二面角的平面角，所以，又，所以.又平面，平面，所以平面.
（2）取的中点，连结，则，又，所以，
又平面，平面，所以，
所以，，两两垂直.
以为坐标原点，，，所在的直线为轴建立的空间直角坐标系，
则，，，，
则，，，
设，所以
设平面的法向量为，
则，即，
令，可得，，所以，
设直线与平面所成的角为，
则，解得，
所以的长为.