【备考2022】浙江专版数学中考2019-2021年真题分类精编精练（15）锐角三角函数（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
【备考2022】浙江专版数学中考2019-2021年真题分类精编精练（15）锐角三角函数（含解析）
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
1 、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
（2020年浙江省杭州市）如图，在中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（　　）
A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB
（2021年浙江省金华市）如图是一架人字梯，已知米，AC与地面BC的夹角为，则两梯脚之间的距离BC为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
（2019年浙江省嘉兴市）如图是一个2×2的方阵，其中每行、每列的两数和相等，则a可以是（　　）
A．tan60° B．﹣1 C．0 D．12019
（2021年浙江省温州市）图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若．，则的值为（ ）
A． B． C． D．
（2021年浙江省丽水市）如图，是的直径，弦于点E，连结．若的半径为，则下列结论一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
（2019年浙江省杭州市）如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内），已知AB＝a，AD＝b，∠BCO＝x，则点A到OC的距离等于（　　）
A．asinx+bsinx B．acosx+bcosx
C．asinx+bcosx D．acosx+bsinx
（2020年浙江省温州市）如图，在离铁塔150米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为，测倾仪高AD为1.5米，则铁塔的高BC为（ ）
A．(1.5＋150tan)米 B．(1.5＋)米
C．(1.5＋150sin)米 D．(1.5＋)米
（2019年浙江省温州市）某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
（2019年浙江省台州市）如图，有两张矩形纸片ABCD和EFGH，AB＝EF＝2cm，BC＝FG＝8cm．把纸片ABCD交叉叠放在纸片EFGH上，使重叠部分为平行四边形，且点D与点G重合．当两张纸片交叉所成的角α最小时，tanα等于（　　）
A． B． C． D．
（2020年浙江省嘉兴、舟山市 ）已知二次函数y＝x2，当a≤x≤b时m≤y≤n，则下列说法正确的是（　　）
A．当n﹣m＝1时，b﹣a有最小值
B．当n﹣m＝1时，b﹣a有最大值
C．当b﹣a＝1时，n﹣m无最小值
D．当b﹣a＝1时，n﹣m有最大值
2 、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
（2021年浙江省衢州市）图1是某折叠式靠背椅实物图，图2是椅子打开时的侧面示意图，椅面CE与地面平行，支撑杆AD，BC可绕连接点O转动，且，椅面底部有一根可以绕点H转动的连杆HD，点H是CD的中点，FA，EB均与地面垂直，测得，，．
（1）椅面CE的长度为_________cm．
（2）如图3，椅子折叠时，连杆HD绕着支点H带动支撑杆AD，BC转动合拢，椅面和连杆夹角的度数达到最小值时，A，B两点间的距离为________cm（结果精确到0.1cm）．（参考数据：，，）
（2021年浙江省杭州市）sin30°的值为_____．
（2019年浙江省湖州市）有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整晾衣杆的高度．图2是支撑杆的平面示意图，AB和CD分别是两根不同长度的支撑杆，夹角∠BOD＝α．若AO＝85cm，BO＝DO＝65cm．问：当α＝74°时，较长支撑杆的端点A离地面的高度h约为　 　cm．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6．）
（2020年浙江省金华市、丽水市）如图是小明画的卡通图形，每个正六边形的边长都相等，相邻两正六边形的边重合，点A，B，C均为正六边形的顶点，AB与地面BC所成的锐角为β，则tanβ的值是______．
（2020年浙江省衢州市）图1是由七根连杆链接而成的机械装置，图2是其示意图．已知O，P两点固定，连杆PA=PC=140cm，AB=BC=CQ=QA=60cm，OQ=50cm，O，P两点间距与OQ长度相等．当OQ绕点O转动时，点A，B，C的位置随之改变，点B恰好在线段MN上来回运动．当点B运动至点M或N时，点A，C重合，点P，Q，A，B在同一直线上（如图3）．
（1）点P到MN的距离为_____cm．
（2）当点P，O，A在同一直线上时，点Q到MN的距离为_____cm．
（2020年浙江省绍兴市）将两条邻边长分别为，1的矩形纸片剪成四个等腰三角形纸片（无余纸片），各种剪法剪出的等腰三角形中，其中一个等腰三角形的腰长可以是下列数中的_____（填序号）．
①，②1，③﹣1，④，⑤．
（2019年浙江省杭州市）在直角三角形ABC中，若2AB＝AC，则cosC＝　 　．
（2019年浙江省衢州市）如图，人字梯AB，AC的长都为2米，当α＝50°时，人字梯顶端离地面的高度AD是　 　米（结果精确到0.1m．参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）．
3 、解答题（本大题共8小题，共66分）
（2021年浙江省嘉兴市）（1）计算：；
（2）化简并求值：，其中．
（2021年浙江省绍兴市）（1）计算：．
（2）解不等式：．
（2021年浙江省台州市）图1是放置在水平地面上的落地式话筒架实物图，图2是其示意图．支撑杆AB垂直于地l，活动杆CD固定在支撑杆上的点E处，若∠AED＝48°，BE＝110 cm，DE＝80 cm，求活动杆端点D离地面的高度DF．（结果精确到1cm，参考数据：sin48°≈0.74， cos48°≈0.67， tan48°≈1. 11）
（2020年浙江省嘉兴、舟山市 ）为了测量一条两岸平行的河流宽度，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点A处测得河北岸的树H恰好在A的正北方向．测量方案与数据如下表：
（1）哪个小组的数据无法计算出河宽？
（2）请选择其中一个方案及其数据求出河宽（精确到0.1m）．
（参考数据：）
（2020年浙江省宁波市）图1是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成．当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中（底盒固定在地面下），此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图1的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位．图2是其示意图，经测量，钢条AB＝AC＝50cm，∠ABC＝47°．
（1）求车位锁的底盒长BC．
（2）若一辆汽车的底盘高度为30cm，当车位锁上锁时，问这辆汽车能否进入该车位 （参考数据：sin47°≈0.73，cos47°≈0.68，tan47°≈1.07）
（2021年浙江省宁波市）我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动．如图2是伞完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D已滑动到点的位置，且A，B，三点共线，，B为中点，当时，伞完全张开．
（1）求的长．
（2）当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离．（参考数据：）
（2021年浙江省金华市）已知：如图，矩形的对角线相交于点O，．
（1）求矩形对角线的长．
（2）过O作于点E，连结BE．记，求的值．
（2021年浙江省嘉兴市）一酒精消毒瓶如图1，为喷嘴，为按压柄，为伸缩连杆，和为导管，其示意图如图2，，，．当按压柄按压到底时，转动到，此时（如图3）．
（1）求点转动到点的路径长；
（2）求点到直线的距离（结果精确到）．
（参考数据：，，，，，）
答案解析
1 、选择题
【考点】三角函数的定义
【分析】根据三角函数的定义进行判断，即可解决问题．
解：∵中，，、、所对的边分别为a、b、c
∴，即，则A选项不成立，B选项成立
，即，则C、D选项均不成立
故选：B．
【点评】本题考查了三角函数的定义，熟记定义是解题关键．
【考点】解直角三角形的应用
【分析】根据等腰三角形的性质得到，根据余弦的定义即可，得到答案．
解：过点A作，如图所示：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，明确等腰三角形的性质是解题的关键．
【考点】实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值
【分析】直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质和立方根的性质分别化简得出答案．
解：由题意可得：a+|﹣2|＝+20，
则a+2＝3，
解得：a＝1，
故a可以是12019．
故选：D．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
【考点】勾股定理，锐角三角函数
【分析】根据勾股定理和三角函数求解．
解：∵在中，，
∴
在中，，
故选：A．
【点评】本题主要考查勾股定理和三角函数．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．
【考点】垂径定理，锐角三角函数的定义
【分析】根据垂径定理、锐角三角函数的定义进行判断即可解答．
解：∵是的直径，弦于点E，
∴
在中，，
∴
∴，故选项A错误，不符合题意；
又
∴
∴，故选项B正确，符合题意；
又
∴
∵
∴，故选项C错误，不符合题意；
∵，
∴，故选项D错误，不符合题意；
故选B．
【点评】本题考查了垂径定理，锐角三角函数的定义以及三角形面积公式的应用，解本题的关键是熟记垂径定理和锐角三角函数的定义．
【考点】矩形的性质，解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数即可表示出点A到OC的距离，本题得以解决．
解：作AE⊥OC于点E，作AF⊥OB于点F，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∵∠ABC＝∠AEC，∠BCO＝x，
∴∠EAB＝x，
∴∠FBA＝x，
∵AB＝a，AD＝b，
∴FO＝FB+BO＝a cosx+b sinx，
故选：D．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题
【分析】过点A作AE⊥BC于E，则BE可由仰角的正切值求得，再加上AD的长即为BC的长．
解：如图，过点A作AE⊥BC于E，
可知AE=DC=150，EC=AD=1.5，
∵塔顶的仰角为，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
【考点】轴对称图形，解直角三角形的应用
【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数即可表示出AB的长．
解：作AD⊥BC于点D，
则BD＝0.3＝，
∵cosα＝，
∴sinα＝，
解得，AB＝米，
故选：B．
【点评】本题考查解直角三角形的应用、轴对称图形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【考点】平行四边形的判定，矩形的性质，解直角三角形
【分析】由“ASA”可证△CDM≌△HDN，可证MD＝DN，即可证四边形DNKM是菱形，当点B与点E重合时，两张纸片交叉所成的角a最小，可求CM＝，即可求tanα的值．
解：如图，
∵∠ADC＝∠HDF＝90°
∴∠CDM＝∠NDH，且CD＝DH，∠H＝∠C＝90°
∴△CDM≌△HDN（ASA）
∴MD＝ND，且四边形DNKM是平行四边形
∴四边形DNKM是菱形
∴KM＝DM
∵sinα＝sin∠DMC＝
∴当点B与点E重合时，两张纸片交叉所成的角a最小，
设MD＝a＝BM，则CM＝8﹣a，
∵MD2＝CD2+MC2，
∴a2＝4+（8﹣a）2，
∴a＝
∴CM＝
∴tanα＝tan∠DMC＝＝
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质，求CM的长是本题的关键．
【考点】二次函数的性质，矩形的判定和性质，锐角三角函数的定义
【分析】①当b﹣a＝1时，先判断出四边形BCDE是矩形，得出BC＝DE＝b﹣a＝1，CD＝BE＝m，进而得出AC＝n﹣m，即tan＝n﹣m，再判断出0°≤∠ABC＜90°，即可得出n﹣m的范围；
②当n﹣m＝1时，同①的方法得出NH＝PQ＝b﹣a，HQ＝PN＝m，进而得出MH＝n﹣m＝1，而tan∠MHN＝，再判断出45°≤∠MNH＜90°，即可得出结论．
解：①当b﹣a＝1时，如图1，过点B作BC⊥AD于C，
∴∠BCD＝90°，
∵∠ADE＝∠BED＝90°，
∴∠ADO＝∠BCD＝∠BED＝90°，
∴四边形BCDE是矩形，
∴BC＝DE＝b﹣a＝1，CD＝BE＝m，
∴AC＝AD﹣CD＝n﹣m，
在Rt△ACB中，tan∠ABC＝＝n﹣m，
∵点A，B在抛物线y＝x2上，
∴0°≤∠ABC＜90°，
∴tan∠ABC≥0，
∴n﹣m≥0，
即n﹣m无最大值，有最小值，最小值为0，故选项C，D都错误；
②当n﹣m＝1时，如图2，过点N作NH⊥MQ于H，
同①的方法得，NH＝PQ＝b﹣a，HQ＝PN＝m，
∴MH＝MQ﹣HQ＝n﹣m＝1，
在Rt△MHQ中，tan∠MNH＝，
∵点M，N在抛物线y＝x2上，
∴m≥0，
当m＝0时，n＝1，
∴点N（0，0），M（1，1），
∴NH＝1，
此时，∠MNH＝45°，
∴45°≤∠MNH＜90°，
∴tan∠MNH≥1，
∴≥1，
当a,b异号时，且m=0,n=1时，a,b的差距是最大的情况，
此时b-a=2,
∴b﹣a无最小值，有最大值，最大值为2，故选项A错误；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，矩形的判定和性质，锐角三角函数，确定出∠MNH的范围是解本题的关键．
2 、填空题
【考点】解直角三角形的应用
【分析】（1）过点C作CM垂直AF，垂足为M，，列比例求出CM长度，则CE=AB-CM；（2）根据图2可得，对应袋图3中求出CD长度，列比例求AB即可．
解：（1）过点C作CM垂直AF，垂足为M，
∵椅面CE与地面平行，
∴，
∴，
解得：CM=8cm，
∴CE=AB-CM=48-8=40cm；
故答案为：40；
（2）在图2中，
∵，椅面CE与地面平行，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵H是CD的中点，
∴，
∵椅面CE与地面平行，
∴，
∴，
图3中，过H点作CD的垂线，垂足为N，
因为 ，，
∴，
∴，
∴，
解得：，
故答案为：12.5．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识点，找到对应相似三角形并正确列出比例是解决本题的关键．
【考点】特殊角的三角函数值
【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可
解：sin30°=．
【点评】记住特殊角的三角函数值是解题的关键。
【考点】解直角三角形的应用
【分析】过O作OE⊥BD，过A作AF⊥BD，可得OE∥AF，利用等腰三角形的三线合一得到OE为角平分线，进而求出同位角的度数，在直角三角形AFB中，利用锐角三角函数定义求出h即可．
解：过O作OE⊥BD，过A作AF⊥BD，可得OE∥AF，
∵BO＝DO，
∴OE平分∠BOD，
∴∠BOE＝∠BOD＝×74°＝37°，
∴∠FAB＝∠BOE＝37°，
在Rt△ABF中，AB＝85+65＝150cm，
∴h＝AF＝AB cos∠FAB＝150×0.8＝120cm，
故答案为：120
【点评】此题考查了解直角三角形的应用，弄清题中的数据是解本题的关键．
【考点】解直角三角形的应用
【分析】作AT//BC，过点B作BH⊥AT于H，设正六边形的边长为a，则正六边形的半径为a，边心距=a，然后再.求出BH、AH即可解答．
解：如图，作AT//BC，过点B作BH⊥AT于H，设正六边形的边长为a，则正六边形的半径为a，边心距=a
观察图像可知：
所以tanβ＝．
故答案为．
【点评】本题考查了正六边形的性质和解直角三角形的应用，解题的关键在于正确添加常用辅助线、构造直角三角形求解．
【考点】 解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，菱形的性质
【分析】（1）如图3中，延长PO交MN于T，过点O作OH⊥PQ于H．解直角三角形求出PT即可．
（2）如图4中，当O，P，A共线时，过Q作QH⊥PT于H．设HA=xcm．解直角三角形求出HT即可．
解：（1）如图3中，延长PO交MN于T，过点O作OH⊥PQ于H．
由题意：OP=OQ=50cm，PQ=PA﹣AQ=14﹣=60=80（cm），PM=PA+BC=140+60=200（cm），PT⊥MN，
∵OH⊥PQ，
∴PH=HQ=40（cm），
∵cos∠P==，
∵=，
∴PT=160（cm），
∴点P到MN的距离为160cm，
故答案为160．
（2）如图4中，当O，P，A共线时，过Q作QH⊥PT于H．设HA=xcm．
由题意AT=PT﹣PA=160﹣140=20（cm），OA=PA﹣OP=140﹣50=90（cm），OQ=50cm，AQ=60cm，
∵QH⊥OA，
∴QH2=AQ2﹣AH2=OQ2﹣OH2，
∴602﹣x2=502﹣（90﹣x）2，
解得x=，
∴HT=AH+AT=（cm），
∴点Q到MN的距离为cm．
故答案为．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，菱形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
【考点】矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义
【分析】首先作出图形，再根据矩形的性质和等腰三角形的判定即可求解．
解：如下图所示：在BC上截取BE=1，连接AE
∴△ABE为等腰直角三角形，AB=BE=1，AE=，CE=BC－BE=
∴∠BAE=45°，∠EAD=90°－∠BAE=45°
在AE上截取AF=1，连接DF、CF
∴EF=AE－AF==CE
∴△EFC为等腰三角形，腰长为
过点F作FG⊥AD于G
∴AG=AF·cos∠FAG=
∴DG=AD－AG=
∴FG垂直平分AD
∴AF=FD=1
∴△AFD为等腰三角形，腰长为1
△DFC为等腰三角形，腰长为1；
如下图所示：在AD上截取DF=1，连接BF
∴△DFC为等腰直角三角形，腰长为1，AF=AD－DF=
根据勾股定理可得CF=
∴△CBF为等腰三角形，腰长为
在AB上截取AE==AF
∴△AEF为等腰直角三角形，腰长为，BE=AB－AE=
根据勾股定理可得EF==BE
∴△EBF为等腰三角形，腰长为；
如下图所示：连接AC、BD交于点E
易知△EAB、△EBC、△ECD和△EAD均为等腰三角形
利用勾股定理AC=
∴AE=BE=CE=DE=．
综上：其中一个等腰三角形的腰长可以是①，②1，③﹣1，④，不可以是．
故答案为：①②③④．
【点评】此题考查的是矩形的性质、等腰三角形的判定及性质和锐角三角函数，掌握矩形的性质、等腰三角形的判定及性质和锐角三角函数是解决此题的关键
【考点】锐角三角函数的定义
【分析】讨论：若∠B＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，利用勾股定理计算出BC＝x，然后根据余弦的定义求cosC的值，若∠A＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，利用勾股定理计算出BC＝x，然后根据余弦的定义求cosC的值．
解：若∠B＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，所以BC＝＝x，所以cosC＝＝＝，
若∠A＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，所以BC＝＝x，所以cosC＝＝＝，
综上所述，cosC的值为或．
故答案为或．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义：熟练掌握锐角三角函数的定义，灵活运用它们进行几何计算．
【考点】解直角三角形的应用．
【分析】根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
解：∵sinα＝，
∴AD＝AC sinα≈2×0.77＝1.5，
故答案为：1.5
【点评】本题考查锐角三角函数，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．
3 、解答题
【考点】分式的化简求值,负整数指数幂,二次根式的性质与化简,特殊角的三角函数值
【分析】（1）先分别化简负整数指数幂，二次根式，特殊角三角函数，然后再计算；
（2）先计算异分母分式的减法进行化简，然后代入求值．
解：（1）
=．
（2）
=
当时，原式．
【点评】本题考查负整数指数幂，特殊角三角函数及异分母分式的加减法计算，掌握运算顺序和计算法则准确计算是解题关键．
【考点】特殊角的三角函数值、二次根式的化简、零指数幂
【分析】（1）根据特殊角的三角函数值、二次根式的化简、零指数幂进行计算即可；
（2）去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可．
解：（1）原式
．
（2），
，
，
．
【点评】本题考查了解一元一次不等式和实数的混合运算，涉及到特殊角的三角函数值、二次根式的化简、零指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【考点】解直角三角形的应用
【分析】过点E作，易得四边形EBFM是矩形，即，再通过解直角三角形可得，即可求解．
解：过点E作，
∵，，，
∴，
∴四边形EBFM是矩形，
∴，
∵∠AED＝48°，
∴，
∴，
∴．
【点评】本题考查解直角三角形的实际应用，做出合适的辅助线构造直角三角形是解题的关键．
【考点】解直角三角形的应用
【分析】（1）由已知数据可知，第二个小组的数据无法计算河宽．
（2）第一个小组：证明BC=BH=60m，解直角三角形求出AH即可．
解：（1）第二小组的数据中，通过解直角三角形可得到Rt△中的BC、DC，无法与Rt△产生关联，故第二小组无法计算出河宽．
（2）答案不唯一．若选第一小组的方案及数据（如图），
∵∠ABH=∠ACH+∠BHC，∠ABH=70°，∠ACH=35°，
，
m．
在Rt△中，AH=BH×sin70°≈56.4(m)．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
【考点】解直角三角形的应用
【分析】（1）过点A作AH⊥BC于点H，根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
（2）根据锐角三角函数的定义求出AH的长度即可判断．
解：（1）过点A作AH⊥BC于点H，
∵AB＝AC，
∴BH＝HC，
在Rt△ABH中，∠B＝47°，AB＝50，
∴BH＝ABcosB＝50cos47°≈50×0.68＝34，
∴BC＝2BH＝68cm．
（2）在Rt△ABH中，
∴AH＝ABsinB＝50sin47°≈50×0.73＝36.5，
∴36.5＞30，
∴当车位锁上锁时，这辆汽车不能进入该车位．
【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角函数的定义，本题属于基础题型．
【考点】解直角三角形的应用
【分析】（1）根据中点的性质即可求得；
（2）过点B作于点E．根据等腰三角形的三线合一的性质求出．利用角平分线的性质求出∠BAE的度数，再利用三角函数求出AE，即可得到答案．
解：（1）∵B为中点，
∴，
∵，
∴．
（2）如图，过点B作于点E．
∵，
∴．
∵平分，
∴．
在中，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离为．
【点评】此题考查的是解直角三角形的实际应用，等腰三角形的三线合一的性质，线段中点的性质，角平分线的性质，正确构建直角三角形解决问题是解题的关键．
【考点】矩形的性质,锐角三角函数的定义,勾股定理,等边三角形的性质
【分析】（1）根据矩形对角线的性质，得出△ABO是等腰三角形，且∠BOC=120°，即∠AOB=60°，则△ABO为等边三角形，即可求得对角线的长；
（2）首先根据勾股定理求出AD，再由矩形的对角线的性质得出OA=OD,且OE⊥AD，则AE=AD，在Rt△ABE中即可求得．
解：（1）∵四边形是矩形
，
是等边三角形，
，
所以．
故答案为：4．
（2）在矩形中，．
由（1）得，．
又
在中，．
故答案为：．
【点评】本题考查了矩形的对角线性质，等边三角形的判定，等腰三角形的三线合一以及在直角三角形中求锐角正切的知识点，灵活应用矩形对角线的性质是解题的关键．
【考点】解直角三角形的应用
【分析】（1）根据题目中的条件，首先由，，求出，再继续求出，点转动到点的路径长，是以为半径，为圆心的圆的周长的一部分，根据占的比例来求出路径；
（2）求点到直线的距离，实际上是过点作的垂线交于某点，连接两点所确定的距离即为所求，但这样做不好求解．于是把距离拆成两个部分，放在两个直角三角形中，分别利用直角三角形中锐角三角函数知识求出每段的距离，再求和即为所求．
解：（1）如图，
∵，，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴点转动到点的路径长．
（2）如图，
过点作于点，过点作于点．
在中，
．
在中，
．
∴．
又∵，
∴点到直线的距离约为7.3cm．
【点评】本题考查了两点间转动的路径问题、点到直线的距离问题，锐角三角函数知识，解题的关键是：确定路径是在圆上，占圆周长的多少，就转化成角度间的比值问题了；距离问题，当直接求解比较困难的时候，看是否能把所求拆分成几个部分，再逐一突破．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)