【学练培优】2.1 等式性质与不等式性质(解析版）

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【学练培优】2.1 等式性质与不等式性质
知识储备
1.两个实数比较大小的依据
(1)a－b＞0 a＞b.
(2)a－b＝0 a＝b.
(3)a－b＜0 a＜b.
2.等式与不等式的性质
等式的性质 不等式的性质
a＝b b＝a 性质1：a>b ba＝b，b＝c a＝c 性质2：a>b，b>c a>c
a＝b a＋c＝b＋c 性质3：a>b a＋c>b＋c
a＝b ac＝bc 性质4：a>b，c>0 ac>bc；a>b，c<0 aca＝b，c＝d a＋c＝b＋d 性质5：a>b，c>d a＋c>b＋d
a＝b，c＝d ac＝bd 性质6：a>b>0，c>d>0 ac>bd
a＝b≥0 an＝bn 性质7：a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2)
能力检测
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120 km/h.行驶过程中，同一车道上的车间距d不得小于10 m，用不等式表示(　　)
A．v≤120(km/h)或d≥10 (m)
B.
C．v≤120(km/h)
D．d≥10(m)
【答案】B
【解析】最大限速与车距是同时的，故选B.
2．已知0A．MN
C．M＝N D．M≥N
【答案】B
【解析】∵0∴M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)>0，
∴M>N.
3（2020·浙江高一课时练习）有外表一样、重量不同的四个小球，它们的重量分别是，已知，，，则这四个小球由重到轻的排列顺序是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，
即．．又，．综上可得，．故选：A
4．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是(　　)
A．－2<α－β<0 B．－2<α－β<－1
C．－1<α－β<0 D．－1<α－β<1
【答案】A
【解析】由－1<α<1，－1<β<1，得－1<－β<1，
∴－2<α－β<2.又∵α<β，故知－2<α－β<0.
5．（2020·内蒙古宁城高二期末（文））设a>b>0，cA． B． C． D．
【答案】B
【解析】已知a>b>0，c因为c因为cb>0,故,故D不对。故答案为：B。
（2020·安徽金安六安一中高一期中（文））已知二次函数的图象过原点，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 二次函数的图像过原点， 设二次函数为：，
，， ……①，……②，
则3①+6②得：即，故选：B.
11．(多选)若<0，则下列结论中正确的是(　　)
A．a2C．a＋b<0 D．|a|＋|b|>|a＋b|
【答案】ABC
【解析】因为<0，所以ba2，ab12．(多选)设a>b>1，c<0，则下列结论正确的是(　　)
A. B．acC．a(b－c)>b(a－c) D.
【答案】ABC
【解析】对于A，∵a>b>1，c<0，∴>0，∴，故A正确；对于B，∵－c>0，∴a·(－c)>b·(－c)，∴－ac>－bc，∴acb>1，∴a(b－c)－b(a－c)＝ab－ac－ab＋bc＝－c(a－b)>0，∴a(b－c)>b(a－c)，故C正确；对于D，∵<0，a>b>0，∴，故D错误．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
6．给出四个条件：①b>0>a；②0>a>b；③a>0>b；④a>b>0.能推得成立的是________(填序号)．
【答案】①②④
【解析】，所以①②④能使它成立．
7．比较大小：a2＋b2＋c2________2(a＋b＋c)－4.
【答案】＞
【解析】a2＋b2＋c2－[2(a＋b＋c)－4]
＝a2＋b2＋c2－2a－2b－2c＋4
＝(a－1)2＋(b－1)2＋(c－1)2＋1≥1＞0，
故a2＋b2＋c2＞2(a＋b＋c)－4.
8．已知三个不等式①ab>0；②；③bc>ad.若以其中的两个作为条件，余下的一个作为结论，则可以组成________个正确命题．
【答案】3
【解析】①② ③，③① ②.(证明略)
由②得，又由③得bc－ad>0，
所以ab>0 ①.
所以可以组成3个正确命题．
13．已知－1≤x＋y≤4，且2≤x－y≤3，则z＝2x－3y的取值范围是________．
【答案】3≤z≤8
【解析】∵z＝－(x＋y)＋(x－y)，
－2≤－(x＋y)≤，5≤(x－y)≤，
∴3≤－(x＋y)＋(x－y)≤8，
∴z的取值范围是3≤z≤8.
三、解答题（本大题共4小题，共40分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
9．已知a，b∈R，a＋b>0，试比较a3＋b3与ab2＋a2b的大小．
【解析】因为a＋b>0，(a－b)2≥0，
所以a3＋b3－ab2－a2b＝a3－a2b＋b3－ab2＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)(a－b)(a＋b)＝(a－b)2(a＋b)≥0，
所以a3＋b3≥ab2＋a2b.
10．设x≥1，y≥1，证明x＋y＋＋xy.
【解析】因为x≥1，y≥1，所以xy≥1，
所以x＋y＋＋xy xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.
将上面不等式中的右端减左端，得
[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]
＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)＝(xy－1)(xy－x－y＋1)
＝(xy－1)(x－1)(y－1)．
因为x≥1，y≥1，xy≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，从而所要证明的不等式成立．
14．已知0(1)a2＋b2与b的大小；
(2)2ab与的大小．
【解析】(1)因为0则a2＋b2－b＝a2＋b(b－1)＝a2－ab＝a(a－b)<0，所以a2＋b2(2)因为2ab－＝2a(1－a)－
＝－2a2＋2a－＝－2，
所以2ab<.
15．（2019·山东省泰安第四中学高一月考）若，
(Ⅰ)求证：；
(Ⅱ)求证：；
(Ⅲ)在(Ⅱ)中的不等式中，能否找到一个代数式，满足所求式？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由.
【解析】（Ⅰ）因为，且，所以，所以
(Ⅱ)因为,所以．又因为,所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得．所以．
所以.（i)
因为,所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得．
所以(ii)
所以由两边都是正数的同向不等式的相乘性可将以上两不等式(i)(ii)相乘得.
(Ⅲ)因为，，
所以,或．(只要写出其中一个即可)
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