【学练培优】2.3 二次函数与一元二次方程、不等式(解析版）

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【学练培优】2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
知识储备
一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表
判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两相异实根x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|xx2} {x|x≠x1} {x|x∈R }
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1能力检测
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.（2020·浙江高一课时练习）不等式的解集为（ ）．
A． B． C．或 D．或
【答案】A
【解析】．故选：A．
2.（2020·唐山市第十二高级中学高一期末）不等式x2＋ax＋4＜0的解集不为空集，则a的取值范围是（ ）
A．［－4，4］
B．（－4，4）
C．（－∞，－4］∪［4，＋∞）
D．（－∞，－4）∪（4，＋∞）
【答案】D
【解析】不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，只需Δ＝a2－16>0，∴a<－4或a>4，
故选D.
3．在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为(　　)
A．{x|0C．{x|x>1或x<－2} D．{x|－1【答案】B
【解析】由a⊙b＝ab＋2a＋b，得x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2＝x2＋x－2<0，
所以－24．某商品在最近30天内的价格m与时间t(单位：天)的函数关系是m＝t＋10(0A．{t|15≤t≤20} B．{t|10≤t≤15}
C．{t|10【答案】B
【解析】由日销售金额为(t＋10)(－t＋35)≥500，解得10≤t≤15.
5．若0A．{x|3a2≤x≤3a} B．{x|3a≤x≤3a2}
C．{x|x≤3a2或x≥3a} D．{x|x≤3a或x≥3a2}
【答案】A
【解析】因为06．关于x的不等式x2－2ax－8a2＜0(a＞0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a＝(　　)
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】法一：x2－2ax－8a2＜0可化为(x＋2a)·(x－4a)＜0.
∵a＞0且解集为(x1，x2)，则x1＝－2a，x2＝4a，
∴x2－x1＝6a＝15，解得a＝
法二：由条件知x1，x2为方程x2－2ax－8a2＝0的两根，则x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2，故(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2a)2－4×(－8a2)＝36a2＝152，结合a＞0得a＝.
7.（多选）（2020·山东文登高二期末）已知关于的不等式的解集为，则（ ）
A． B．不等式的解集是
C． D．不等式的解集为或
【答案】ABD
【解析】关于的不等式的解集为，，A选项正确；
且和是关于的方程的两根，
由韦达定理得，则，，则，C选项错误；
不等式即为，即，解得，B选项正确；
不等式即为，即，解得或，D选项正确，故选ABD.
8．（多选）已知关于的方程,下列结论正确的是( )
A．方程有实数根的充要条件是，或
B．方程有一正一负根的充要条件是
C．方程有两正实数根的充要条件是
D．方程无实数根的必要条件是
E.当时,方程的两实数根之和为0
【答案】BCD
【解析】在A中,由得或,故A错误；
在B中,当时,函数的值为,由二次函数的图象知,方程有一正一负根的充要条件是,故B正确；
在C中,由题意得解得,故C正确；
在D中,由得,又,故D正确；
在E中,当时,方程为,无实数根,故E错误.
故选：BCD.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
6．要使有意义，则x的取值范围为________．
【答案】{x|－7【解析】由7－6x－x2>0，得x2＋6x－7<0，即(x＋7)·(x－1)<0，所以－77．若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a<0)的图象与x轴的两个交点为(－1，0)和(3，0)，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集是________．
【答案】{x|x>3或x<－1}
【解析】根据二次函数的图象知所求不等式的解集为{x|x>3或x<－1}．
8．若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的非空解集为{x|1【答案】2
【解析】因为ax2－6x＋a2<0的解为1所以a>0，且1与m是方程ax2－6x＋a2＝0的根．
则，即1＋m＝.
所以m2＋m－6＝0，解得m＝－3或m＝2，
当m＝－3时，a＝m<0(舍去)，故m＝2.
13．对于实数x，当且仅当n≤x【答案】{x|2≤x<8}
【解析】由4[x]2－36[x]＋45<0，得<[x]<，又当且仅当n≤x三、解答题（本大题共4小题，共40分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
13．若二次函数的图象与x轴的交点为，与y轴的交点为C.
（1）若，求p的值
（2）若△的面积为105，求p的值.
【解析】由题意，令，得，即，
令，则，.恒成立，
（1）由韦达定理得，，
解得或.
（2）由，，可得，
所以，
因为，
所以，解得或.
14．（2020·吉林长春高一期中）已知关于的一元二次不等式的解集为.
（1）求函数的最小值；
（2）解关于的一元二次不等式.
【解析】∵的解集为，∴，
解得：.∴实数的取值范围：.
∵.∴.
∴，
当且仅当，即时取等号，
∴函数的最小值为；
（2）.可化为，
∵.∴.
∴不等式的解集为.
15．（2020·浙江高一课时练习）解关于x的不等式：．
【解析】当时，不等式化为，解得；
若，则原不等式可化为，，
当时，，解得或，
当时，不等式化为，解得且，
当时，，解得或；
若，则不等式可化为
当时，，解得，
当时，不等式可化为，其解集为，
当时，，解得．
综上，当时，不等式的解集为;
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为;
当时，不等式的解集为;
当时，不等式的解集为或;
当时，不等式的解集为且；
当时，不等式的解集为或．
16．（2020·黑龙江铁人中学高一期中）某单位决定投资元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每长造价元，两侧墙砌砖，每长造价元，
（1）求该仓库面积的最大值；
（2）若为了使仓库防雨，需要为仓库做屋顶.顶部每造价元，求仓库面积的最大值，并求出此时正面铁栅应设计为多长？
【解析】设铁栅长为米，一侧砖墙长为米，仓库面积.
（1）
（2）依题设，得，
由基本不等式得，
则，即，故，从而，
所以的最大允许值是平方米.取得此最大值的条件是且，解得，即铁栅的长是米
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