【学练培优】4.1 指数(解析版）

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【学练培优】4.1 指数
知识储备
1.根式
(1)概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
(2)性质：()n＝a(a使有意义)；当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|＝
2.分数指数幂
(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.
(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar+s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
能力检测
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2017·内蒙古集宁一中高一期中（文））的值（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】原式.故选：C.
2．（2020·大连市普兰店区第一中学高二期末）计算的结果为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，故选：C
3．（2020·全国高一专题练习）若，则(　　)
A． B．1 C． D．
【答案】C
【解析】依题意，.故选：C.
4．若a>1，b>0，ab＋a－b＝2，则ab－a－b等于(　　)
A．4 B．2或－2
C．－2 D．2
【答案】D
【解析】设ab－a－b＝t.
∵a>1，b>0，∴ab>1，a－b<1.∴t＝ab－a－b>0.
则t2＝(ab－a－b)2＝(ab＋a－b)2－4＝(2)2－4＝4.∴t＝2.
11．设x，y是正数，且xy＝yx，y＝9x，则x的值为(　　)
A. B．
C．1 D．
【答案】B
【解析】∵xy＝yx，y＝9x，∴x9x＝(9x)x，∴(x9)x＝(9x)x，∴x9＝9x.∴x8＝9.∴x＝.
12．已知f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝x·2x＋a－1，若f(－1)＝，则a等于(　　)
A．－3 B．－2
C．－1 D．0
【答案】A
【解析】∵f(－1)＝，∴f(1)＝－f(－1)＝－，即21＋a－1＝－，即1＋a＝－2，得a＝－3.
7.（多选）（2019·广东禅城佛山一中高一月考）下列运算结果中，一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】，故A正确；当时，显然不成立，故B不正确；
，故C不正确；，D正确，故选AD.
8.(多选下列各式中一定成立的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】，错误；，正确；
，错误；，正确
故选：
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
6．（2020·上海高一开学考试）当时，_______________.
【答案】
【解析】根据指数运算公式：，因为，
所以原式=.故答案为：.
7．（2020·全国高一课时练习）设，将表示成分数指数幂的形式，其结果是________.
【答案】
【解析】∵，∴.
故答案为：.
11．（一题双空）已知，则______；当时，化简______.
【答案】； .
【解析】
，
故答案为：；
化简：________.
12.【答案】
【解析】原式
.
三、解答题（本大题共4小题，共40分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
13.（2020·全国高一课时练习）将下列根式化成分数指数幂的形式.
（1） (a>0)；
（2）；
（3）(b>0).
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）原式＝ ＝＝＝.
（2）原式＝＝＝
＝＝＝.
（3）原式＝[]＝＝.
14．（2020·全国高一课时练习）若本例变为：已知a，b分别为x2－12x＋9＝0的两根，且a＜b，求的值.
【答案】－.
【解析】＝＝.①
∵a，b分别为x2－12x＋9＝0的两根，
∴a＋b＝12，ab＝9，②
∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝122－4×9＝108.
∵a＜b，∴a－b＝－6.③
将②③代入①，得＝＝－.
15．已知2a·3b＝2c·3d＝6，求证：(a－1)(d－1)＝(b－1)(c－1)．
证明：∵2a·3b＝6，∴2a－1·3b－1＝1.
∴(2a－1·3b－1)d－1＝1，即2(a－1)(d－1)·3(b－1)(d－1)＝1.①
又∵2c·3d＝6，∴2c－1·3d－1＝1.
∴(2c－1·3d－1)b－1＝1，即2(c－1)(b－1)·3(d－1)(b－1)＝1.②
由①②知2(a－1)(d－1)＝2(c－1)(b－1)，
∴(a－1)(d－1)＝(b－1)(c－1)．
16.（2020·黑龙江萨尔图 大庆实验中学高一期末）已知.
（1）求（且）的值；
（2）求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1），；
（2）原式.
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