【学练培优】4.2 指数函数(解析版）

中小学教育资源及组卷应用平台
【学练培优】4.2 指数函数
知识储备
1.指数函数及其性质
(1)概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.
(2)指数函数的图象与性质
a>1 0图象 INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\a\\AppData\\Roaming\\Microsoft\\Word\\F64.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\a\\AppData\\Roaming\\Microsoft\\Word\\F64.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\a\\AppData\\Roaming\\Microsoft\\Word\\F65.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\a\\AppData\\Roaming\\Microsoft\\Word\\F65.TIF" \* MERGEFORMAT
定义域 R
值域 (0，＋∞)
性质 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1
当x>0时，y>1；当x<0时，01；当x>0时，0在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数
2.常用结论
（1）画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.
（2）在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象越高，底数越大.
能力检测
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020·全国高一课时练习）若函数（是自变量）是指数函数，则的取值范围是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．
【答案】C
【解析】由于函数（是自变量）是指数函数，则且，
解得且.故选：C.
2．（2020·全国高一课时练习）已知函数的图象经过定点P，则点P的坐标是（ ）
A．(－1，5) B．(－1，4) C．(0，4) D．(4，0)
【答案】A
【解析】当，即时，，为常数，
此时，即点P的坐标为(－1，5).故选：A.
3．（2020·全国高一课时练习）函数f(x)＝ax－b的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是（ ）
A．a＞1，b＜0
B．a＞1，b＞0
C．0＜a＜1，b＞0
D．0＜a＜1，b＜0
【答案】D
【解析】由f(x)＝ax－b的图象可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，
所以0＜a＜1.函数f(x)＝ax－b的图象是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到的，
所以b＜0.故选：D.
4．（2020·陆良县联办高级中学高一开学考试）函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】要是函数有意义须满足，即，解得，
因此，函数的定义域为.故选：C.
5．（2020·内蒙古集宁一中高二月考（文））若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　　)
A．a＜b＜c B．c＜a＜b
C．b＜c＜a D．b＜a＜c
【答案】D
【解析】∵y＝x (x>0)是增函数，∴a＝>b＝.
∵y＝x是减函数，∴a＝＜c＝，∴b＜a＜c.故本题答案为D.
6．（2020·浙江高一单元测试）函数的值域是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵∴，∴，∴函数值域为．故选：B
7．（多选）（2020·全国高一课时练习）设函数（，且），若，则（ ）
A． B．
C． D.
【答案】AD
【解析】由得，即，
故，，，所以AD正确.故选：AD
8．（多选）（2020·山东临沂 高一期末）如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系为．关于下列说法正确的是（ ）
A．浮萍每月的增长率为
B．浮萍每月增加的面积都相等
C．第个月时，浮萍面积不超过
D．若浮萍蔓延到、、所经过的时间分别是、、，则
【答案】AD
【解析】将点的坐标代入函数的解析式，得，函数的解析式为.
对于A选项，由可得浮萍每月的增长率为，A选项正确；
对于B选项，浮萍第个月增加的面积为，第个月增加的面积为，，B选项错误；
对于C选项，第个月时，浮萍的面积为，C选项错误；
对于D选项，由题意可得，，，，，
即，所以，，D选项正确.
故选：AD.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
9．（2019·定远县育才学校高一月考）若函数（且）在上最大值是最小值的2倍，则______.
【答案】2或
【解析】当时，函数为上的减函数，故，即，解得.
当时，函数为上的增函数，故，即，解得.
故的值为或.故填：或.
10．（2020·江苏秦淮 高三期中）不等式的解集为_________.
【答案】
【解析】，化为，解得，所以不等式的解集是.
故答案为:.
11．（2019·深州长江中学高一期中）函数的单调递增区间为_________．
【答案】
【解析】函数在上递减，函数的对称轴是，且在上递增，在上递减.根据复合函数单调性同增异减可知：函数的单调递增区间为.故填：.
12．（一题两空）（2020·上海高一课时练习）函数的图象与函数的图象关于________对称，它们的交点坐标是_________.
【答案】轴
【解析】函数的图象与函数的图象如下：
由指数函数的性质可知，函数的图象与函数的图象关于轴对称，它们的交点坐标是.故答案为：轴；.
三、解答题（本大题共4小题，共40分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
13．（2020·浙江高一课时练习）已知函数，满足.
（1）求常数的值.
（2）解关于的不等式.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由，得，解得.
（2）由（1）得.
由得，当时，，
解得；
当时，，解得.
综上，不等式的解集为.
14．（2019·陕西临渭 高一期末）已知函数.
（1）判断并证明函数的奇偶性；
（2）判断并证明在其定义域上的单调性.
【答案】（1）详见解答；（2）详见解答.
【解析】（1）的定义域为实数集，
，
所以是奇函数；
（2），设，
，
，
所以在实数集上增函数.
15．（2019·黑龙江松北 哈九中高一期末）已知函数．
（1）若时，求满足的实数的值；
（2）若存在，使成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）当时，，令，则，
解得或（舍），由，得，
所以．
（2）由已知，存在，使成立可转化为存在，使得，
只需求出函数的最小值即可，
令，∴．则，易知在上单调递增，所以
，∴，∴．
16．（2019·安徽合肥 高二开学考试）设函数（且）是定义域为的奇函数.
（1）求实数的值；
（2）若，，且在上的最小值为1，求实数的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）因为是定义域为的奇函数，所以，
所以，即，
当时，符合条件.
（2）因为，所以，
解得或（舍）.
故，
令，由，故，
所以
函数图象的对称轴为，
①时，，解得（舍去）；
②时，，解得.
所以，.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)