【学练培优】4.3 对数(解析版）

中小学教育资源及组卷应用平台
【学练培优】4.3 对数
知识储备
1.对数的概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
2.对数的性质、换底公式与运算性质
(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).
(2)对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R)；
④logamMn＝logaM(m，n∈R，且m≠0).
(3)换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1).
能力检测
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020·全国高一课时练习）log5＋log53等于（ ）
A．0 B．1 C．－1 D．log5
【答案】A
【解析】因为.故选：A.
2．（2020·全国高一课时练习）设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（ ）
A．logab·logcb＝logca B．logab·logca＝logcb
C．loga(bc)＝logab·logac D．loga(b＋c)＝logab＋logac
【答案】B
【解析】由logab·logcb＝·≠logca，故A错；
由logab·logca＝·＝＝logcb.故正确；
对选项，，由对数的运算法则，容易知，其显然不成立.故选：.
3．（2020·全国高一课时练习）logbN＝a(b>0，b≠1，N>0)对应的指数式是（ ）
A．ab＝N B．ba＝N
C．aN＝b D．bN＝a
【答案】B
【解析】由logbN＝a(b>0，b≠1，N>0)，则ba＝N故选：B
4．（2020·上海高一课时练习）若，则等于（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，则.
故选：D
5．（2020·土默特左旗金山学校高一开学考试（文））设，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题可知，故选：B
6．（2019·河南高一月考）已知函数，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，得，则，.故选：B.
7．（多选）（2020·海南高三其他）若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】由，，得，，则
，，
，
故正确的有：。故选.
8．（多选）（2019·山东日照 高二期末）给出下列三个等式：，，，下列函数中至少满足一个等式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】对A：，符合；
对B：，符合；
对C：不满足任何一个等式；
对D：，符合.故选：ABD
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
9．（2020·河南新乡 高三三模（理））函数f（x）＝，则f（f（））＝_____．
【答案】﹣1
【解析】依题意得.
故答案为：
10．（2020·浙江高一课时练习）若，则________.
【答案】
【解析】，故.
故答案为：
11．（2020·黑龙江牡丹江一中高二月考（文））若，则的值是 ．
【答案】
【解析】∵，∴，则，故答案为．
12．（一题两空）（2020·浙江衢州 高二期末）十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰·纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即．现已知，则________，________
【答案】 1
【解析】，，
；.
故答案为：；1
三、解答题（本大题共4小题，共40分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
13．（2020·浙江高一课时练习）计算：
（1）.
（2）.
【答案】（1）4；（2）.
【解析】（1）.
（2）
.
14．（2020·上海高一课时练习）已知，求证：.
【答案】证明见解析；
【解析】令，
则，，，
所以.
15．（2020·四川成都七中高一月考）已知
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）-1（2）
【解析】由得，.
所以
；
由得，
所以.
16．（2020·上海高一课时练习）已知关于x的方程的两个根分别为和2，求实数a，b的值．
【答案】
【解析】关于x的方程的两个根分别为和2，
，
解得
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)