【学练培优】5.5 三角恒等变换(解析版）

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【学练培优】5.5 三角恒等变换
知识储备
1．两角和与差的余弦公式
C（α－β）：cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β ．
C（α＋β）：cos（α＋β）＝ cos αcos β－sin αsin β ．
2．两角和与差的正弦公式
S（α＋β）：sin（α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β ．
S（α－β）：sin（α－β）＝sin αcos β－cos αsin β ．
3．两角互余或互补
（1）若α＋β＝，其α、β为任意角，我们就称α、β互余．例如：－α与互余，＋α与互余．
（2）若α＋β＝π，其α，β为任意角，我们就称α、β互补．例如：＋α与互补，与π－α互补．
4．两角和与差的正切公式
（1）T（α＋β）：tan（α＋β）＝ ．
（2）T（α－β）：tan（α－β）＝ ．
5．两角和与差的正切公式的变形
（1）T（α＋β）的变形：
tan α＋tan β＝tan（α＋β）（1－tan αtan β） ．
tan α＋tan β＋tan αtan βtan（α＋β）＝tan（α＋β） ．
tan α·tan β＝．
（2）T（α－β）的变形：
tan α－tan β＝tan（α－β）（1＋tan αtan β） ．
tan α－tan β－tan αtan βtan（α－β）＝tan（α－β） ．
tan αtan β＝．
6.倍角公式及其变形形式
sin 2α＝2sinαcosα；
cos 2α＝cos2α-sin2α＝2cos 2α-1＝1-2sin2α ；
cos2α＝；
sin2α＝；
tan 2α＝
tan 2α＝＝（α≠kπ，k∈Z）．
能力检测
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020·湖南省岳阳县第一中学高三月考）已知α为锐角，，则＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为α为锐角，所以，
所以，
所以.故选：A.
2．（2020·河南南阳 高一期末）已知向量，且，则的值是（　　）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【解析】由，且，得，即．
，故选A．
3．（2020·全国高三其他（文））设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意，，即，则
，即，
故，故选：D.
4．（2020·云南省云天化中学高一期末）若，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
而，，因此，，
则．故选：C
5．（2020·辽宁沈阳 高一期中）已知为锐角，为钝角且，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由为锐角且，得，则，
则，
又，则，得.故选：A.
6．（2020·山西应县一中高一期中（文））函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
当 时，函数有最大值 ；
当时，函数有最小值 ，
函数的值域是，故选：D.
7．（2020·江苏省响水中学高一月考）（多选）下列各式中值为的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】A. ，正确；
B. ，不正确；
C. ，正确；
D. ，故，不正确.
故选：.
8．（2020·山东青岛 高三一模）已知函数，，则（ ）
A． B．在区间上只有1个零点
C．的最小正周期为 D．为图象的一条对称轴
【答案】ACD
【解析】已知函数，，
则、正确，
、当，，即，， 在区间上只有2个零点，则 在区间上只有1个零点错误，
、 的最小正周期为，正确
、当时，函数，，
所以为图象的一条对称轴，正确．
故选：ACD．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
9．（2020·赤峰二中高三三模（理））公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为，这一数值也可以表示为.若，则＝____．（用数字作答）
【答案】
【解析】
10．（2020·河南宛城 南阳中学高一月考）设当时，函数取得最大值，则________.
【答案】
【解析】；
当时，函数取得最大值；
，；
.
11．（2020·辽宁沈阳 高一期中）已知，，则_____________.
【答案】
【解析】
得：
12．（2020·浙江宁波 高一期末）已知，，则__，__．
【答案】 ﹣
【解析】由于，故：①，
同理：，故②，
①②得：，
故：
②①得：，
故：，
则：．
三、解答题（本大题共4小题，共40分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
13．（2020·河南高一期末）已知．
（1）求的值；
（2）若，且，求．
【解析】（1）
解得；
（2）由两角差的正切公式得.
，因此，.
14．（2016·湖南高一期末）已知，为锐角，且，．
（1）求的值；
（2）求的值．
【解析】（1）∵，为锐角，，∴
∴=
（2）∵为锐角，∴，
由得，
∴
=
15．（2020·陕西渭滨高一期末）已知，，
（1）并求的最小正周期和单调增区间；
（2）若，求的值域.
【解析】（1）
的最小正周期为.
由得，()
所以的单调增区间为，
（2）由（1）得，
，.
∴，的值域为.
16．（2020·怀仁市第一中学校云东校区高一期末（理））已知函数．
（1）求函数图象的相邻两条对称轴的距离；
（2）求函数在区间上的最大值与最小值，以及此时的取值．
【解析】．
（1）函数图象的相邻两条对称轴的距离为；
（2），
∴当，即时，取得最大值为3；
当，即时，取得最小值为．
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