中小学教育资源及组卷应用平台
【学练培优】5.7 三角函数的应用
知识储备
1.三角函数可以作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型.
2.三角函数模型的建立程序.
能力检测
姓名:__________________ 班级:______________ 得分:_________________
注意事项:
本试卷满分100分,考试时间45分钟,试题共16题.答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.在两个弹簧上各挂一个质量分别为M1和M2的小球,它们做上下自由振动.已知它们在时间t(s)时离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由下列两式确定:
s1=5sin,s2=5cos.则在时间t=时,s1与s2的大小关系是( )
A.s1>s2 B.s1<s2
C.s1=s2 D.不能确定
【答案】C
【解析】当t=时,s1=-5,s2=-5,∴s1=s2.选C.
2.如图所示,一个单摆以OA为始边,OB为终边的角θ(-π<θ<π)与时间t(s)满足函数关系式θ=sin,t∈[0,+∞),则当t=0时,角θ的大小及单摆频率是( )
A.2, B.,
C.,π D.2,π
【答案】B
【解析】当t=0时,θ=sin=,由函数解析式易知单摆周期为=π,故单摆频率为.
3.已知简谐振动的振幅是,图象上相邻最高点和最低点的距离是5,且过点,则该简谐振动的频率和初相是( )
A., B.,
C., D.,
【答案】B
【解析】由题意可知,A=,32+2=52,则T=8,ω==,y=sin.由sin φ=,得sin φ=.∵|φ|<,∴φ=.因此频率是,初相为.
4.商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数,某节日期间某一天商场的人流量满足函数F(t)=50+4sin(t≥0),则人流量增加的时间段是( )
A.[0,5] B.[5,10]
C.[10,15] D.[15,20]
【答案】C
【解析】由2kπ-≤≤2kπ+,k∈Z,知函数F(t)的单调递增区间为[4kπ-π,4kπ+π],k∈Z.当k=1时,t∈[3π,5π].因为[10,15] [3π,5π],故选C.
5.在一个港口,相邻两次高潮发生的时间相距12 h,低潮时水深为9 m,高潮时水深为15 m.每天潮涨潮落时,该港口水的深度y(m)关于时间t(h)的函数图象可以近似地看成函数y=Asin(ωt+φ)+k(A>0,ω>0)的图象,其中0≤t≤24,且t=3时涨潮到一次高潮,则该函数的解析式可以是( )
A.y=3sint+12 B.y=-3sint+12
C.y=3sint+12 D.y=3cost+12
【答案】A
【解析】由相邻两次高潮的时间间隔为12 h,知T=12,且T=12=(ω>0),得ω=,又由高潮时水深15 m和低潮时水深9 m,得A=3,k=12,由题意知当t=3时,y=15.故将t=3,y=15代入解析式y=3sin+12中,得3sin+12=15,得×3+φ=+2kπ(k∈Z),解得φ=2kπ(k∈Z).所以该函数的解析式可以是y=3sin+12=3sint+12.
6.动点A(x,y)在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12秒旋转一周.已知当时间t=0时,点A的坐标是,则当0≤t≤12时,动点A的纵坐标y关于t(单位:秒)的函数的单调递增区间是( )
A.[0,1] B.[1,7]
C.[7,12] D.[0,1]和[7,12]
【答案】D
【解析】 由已知可得该函数的周期T=12,∴ω==.又∵当t=0时,A,∴y=sin,t∈[0,12].可解得函数的单调递增区间是[0,1]和[7,12].
7.(2020·江苏连云港 高一期末)一半径为4.8米的水轮如图所示,水轮圆心距离水面2.4米,已知水轮每60秒逆时针转动一圈,如果当水轮上点从水中浮现时(图中点)开始计时,则( )
A.点第一次到达最高点需要10秒
B.在水轮转动的一圈内,有20秒的时间,点距离水面的高度不低于4.8米
C.点距离水面的高度(米)与(秒)的函数解析式为
D.当水轮转动50秒时,点在水面下方,距离水面1.2米
【答案】BC
【解析】对于选项C,由题意可得:点距离水面的高度(米)与(秒)的函数解析式为,即选项C正确;
对于选项A,令,解得:,即点第一次到达最高点需要20秒,即选项A错误;
对于选项B,令,解得,
即在水轮转动的一圈内,有20秒的时间,点距离水面的高度不低于4.8米,即B正确;
对于选项D,因为 ,即点在水面下方,距离水面2.4米,所以D错误,
综上可得选项B,C正确,
故选:BC.
8.(2020·全国高一课时练习)如图所示的是一质点做简谐运动的图象,则下列结论正确的是( )
A.该质点的运动周期为0.7s
B.该质点的振幅为5
C.该质点在0.1s和0.5s时运动速度为零
D.该质点的运动周期为0.8s
E.该质点在0.3s和0.7s时运动速度为零
【答案】BCD
【解析】由题图可知,振动周期为,故A错,D正确;该质点的振幅为5,B正确;由简谐运动的特点知,质点处于平衡位置时的速度最大,即在0.3s和0.7s时运动速度最大,在0.1s和0.5s时运动速度为零,故C正确,E错.综上,BCD正确.
故选:BCD
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.不需写出解答过程,请把答案直接填写在横线上)
9.函数y=-3sin (x≥0)的初相为________.
【答案】-
【解析】由诱导公式可知y=-3sin=3sin,故所求的初相为-.
10.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm,秒针均匀地绕点O旋转,当时间t=0时,点A与钟面上标12的点B重合,若将A,B两点的距离d(cm)表示成时间t(s)的函数,则d=________,其中t∈[0,60].
【答案】10sin
【解析】秒针1 s转弧度,t s后秒针转了t弧度,如图所示,sin=,
所以d=10sin.
11.国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律:P=Asin+60(美元)(A>0,ω>0),现采集到下列信息:最高油价80美元,当t=150(天)时达到最低油价,则ω的最小值为________.
【答案】
【解析】因为国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律:P=Asin+60,最高油价80美元,
所以A=20.当t=150(天)时达到最低油价,
即sin=-1,
此时150ωπ+=2kπ-,k∈Z,
因为ω>0,所以令k=1,
得150ωπ+=2π-,解得ω=.
故ω的最小值为.
12.据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在千元的基础上,按月呈的模型波动(为月份),已知月份达到最高价千元,月份价格最低为千元.则月份的出厂价格为____________元.
【答案】6000
【解析】由最高价和最低价可求得:
又
由得:
本题正确结果:
三、解答题(本大题共4小题,共40分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
13.健康成年人的收缩压和舒张压一般为120~140 mmHg和60~90 mmHg.心脏跳动时,血压在增加或减小.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压,血压计上的读数就是收缩压和舒张压,读数120/80 mmHg为标准值.记某人的血压满足函数式p(t)=115+25sin(160πt),其中p(t)为血压(mmHg),t为时间(min),试回答下列问题:
(1)求函数p(t)的周期;
(2)求此人每分钟心跳的次数;
(3)求出此人的血压在血压计上的读数,并与正常值比较.
【解析】(1)T=== (min).
(2)f==80.
(3)p(t)max=115+25=140(mmHg),
p(t)min=115-25=90(mmHg).
即收缩压为140 mmHg,舒张压为90 mmHg.此人的血压在血压计上的读数为140/90 mmHg,在正常值范围内.
14.如果某地夏天从8~14 h的用电量变化曲线近似满足y=Asin(ωx+φ)+b,如图所示.
(1)求这一段时间的最大用电量和最小用电量;
(2)写出这段曲线的函数解析式.
【解析】(1)观察图象知8~14 h这一段时间的最大用电量为50万度,最小用电量为30万度.
(2)观察图象可知,T=14-8=6,
∴T=12,∴ω==.
b=×(50+30)=40,A=×(50-30)=10,
∴y=10sin+40.
将x=8,y=30代入上式,解得φ=+2kπ(k∈Z),又|φ|<,∴φ=.
∴所求解析式为y=10sin+40,x∈[8,14].
15.某帆板集训队在一海滨区域进行集训,该海滨区域的海浪高度y(米)随着时间t(0≤t≤24,单位:时)呈周期性变化,每天时刻t的浪高数据的平均值如下表:
t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y(米) 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.5 1.0
(1)作出这些数据的散点图;
(2)从y=at+b,y=Asin(ωt+φ)+b和y=Atan(ωt+φ)中选一个合适的函数模型,并求出该模型的解析式;
(3)如果确定在一天内的7时到19时之间,当浪高不低于0.8米时才进行训练,试安排恰当的训练时间.
【解析】(1)散点图如图所示.
(2)由(1)知选择y=Asin(ωt+φ)+b较合适.
令A>0,ω>0,|φ|<π.
由图可知,A=0.4,b=1,T=12,所以ω==.
把t=0,y=1代入y=0.4sin+1,得φ=0.
故所求拟合模型的解析式为y=0.4sint+1(0≤t≤24).
(3)由y=0.4sint+1≥0.8,得sint≥-.
则-+2kπ≤t≤+2kπ(k∈Z),
即12k-1≤t≤12k+7(k∈Z),
注意到t∈[0,24],所以0≤t≤7,或11≤t≤19,或23≤t≤24,再结合题意可知,应安排在11时到19时训练较恰当.
16.(2019·安徽六安一中高一月考(理))如图所示,某小区为美化环境,准备在小区内的草坪的一侧修建一条直路OC,另一侧修建一条休闲大道.休闲大道的前一段OD是函数的图象的一部分,后一段DBC是函数的图象,图象的最高点为,且,垂足为点F.
(1)求函数的解析式;
(2)若在草坪内修建如图所示的矩形儿童乐园PMFE,点P在曲线OD上,其横坐标为,点E在OC上,求儿童乐园的面积.
【解析】(1)由图象,可知,,
将代入中,
得,即.
∵,∴,故.
(2)在中,令,得,
从而得曲线OD的方程为,则,
∴矩形PMFE的面积为,
即儿童乐园的面积为.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页)
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)