【学练培优】5.7 三角函数的应用(解析版）

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【学练培优】5.7 三角函数的应用
知识储备
1.三角函数可以作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型.
2.三角函数模型的建立程序.
能力检测
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在两个弹簧上各挂一个质量分别为M1和M2的小球，它们做上下自由振动．已知它们在时间t(s)时离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由下列两式确定：
s1＝5sin，s2＝5cos.则在时间t＝时，s1与s2的大小关系是(　　)
A．s1＞s2 B．s1＜s2
C．s1＝s2 D．不能确定
【答案】C　
【解析】当t＝时，s1＝－5，s2＝－5，∴s1＝s2.选C．
2.如图所示，一个单摆以OA为始边，OB为终边的角θ(－π＜θ＜π)与时间t(s)满足函数关系式θ＝sin，t∈[0，＋∞)，则当t＝0时，角θ的大小及单摆频率是(　　)
A．2， B．，
C．，π D．2，π
【答案】B　
【解析】当t＝0时，θ＝sin＝，由函数解析式易知单摆周期为＝π，故单摆频率为.
3．已知简谐振动的振幅是，图象上相邻最高点和最低点的距离是5，且过点，则该简谐振动的频率和初相是(　　)
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【解析】由题意可知，A＝，32＋2＝52，则T＝8，ω＝＝，y＝sin.由sin φ＝，得sin φ＝.∵|φ|＜，∴φ＝.因此频率是，初相为.
4．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，某节日期间某一天商场的人流量满足函数F(t)＝50＋4sin(t≥0)，则人流量增加的时间段是(　　)
A．[0,5]　　　　　　　 B．[5,10]
C．[10,15] D．[15,20]
【答案】C　
【解析】由2kπ－≤≤2kπ＋，k∈Z，知函数F(t)的单调递增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z.当k＝1时，t∈[3π，5π]．因为[10,15] [3π，5π]，故选C．
5．在一个港口，相邻两次高潮发生的时间相距12 h，低潮时水深为9 m，高潮时水深为15 m．每天潮涨潮落时，该港口水的深度y(m)关于时间t(h)的函数图象可以近似地看成函数y＝Asin(ωt＋φ)＋k(A＞0，ω＞0)的图象，其中0≤t≤24，且t＝3时涨潮到一次高潮，则该函数的解析式可以是(　　)
A．y＝3sint＋12 B．y＝－3sint＋12
C．y＝3sint＋12 D．y＝3cost＋12
【答案】A　
【解析】由相邻两次高潮的时间间隔为12 h，知T＝12，且T＝12＝(ω＞0)，得ω＝，又由高潮时水深15 m和低潮时水深9 m，得A＝3，k＝12，由题意知当t＝3时，y＝15.故将t＝3，y＝15代入解析式y＝3sin＋12中，得3sin＋12＝15，得×3＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，解得φ＝2kπ(k∈Z)．所以该函数的解析式可以是y＝3sin＋12＝3sint＋12.
6．动点A(x，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知当时间t＝0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是(　　)
A．[0,1] B．[1,7]
C．[7,12] D．[0,1]和[7,12]
【答案】D
【解析】　由已知可得该函数的周期T＝12，∴ω＝＝.又∵当t＝0时，A，∴y＝sin，t∈[0,12]．可解得函数的单调递增区间是[0,1]和[7,12]．
7．（2020·江苏连云港 高一期末）一半径为4.8米的水轮如图所示，水轮圆心距离水面2.4米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计时，则（ ）
A．点第一次到达最高点需要10秒
B．在水轮转动的一圈内，有20秒的时间，点距离水面的高度不低于4.8米
C．点距离水面的高度（米）与（秒）的函数解析式为
D．当水轮转动50秒时，点在水面下方，距离水面1.2米
【答案】BC
【解析】对于选项C，由题意可得：点距离水面的高度（米）与（秒）的函数解析式为，即选项C正确；
对于选项A，令，解得：，即点第一次到达最高点需要20秒，即选项A错误；
对于选项B，令，解得，
即在水轮转动的一圈内，有20秒的时间，点距离水面的高度不低于4.8米，即B正确；
对于选项D,因为 ，即点在水面下方，距离水面2.4米,所以D错误，
综上可得选项B,C正确，
故选：BC.
8．（2020·全国高一课时练习）如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是（ ）
A．该质点的运动周期为0.7s
B．该质点的振幅为5
C．该质点在0.1s和0.5s时运动速度为零
D．该质点的运动周期为0.8s
E.该质点在0.3s和0.7s时运动速度为零
【答案】BCD
【解析】由题图可知，振动周期为，故A错，D正确；该质点的振幅为5，B正确；由简谐运动的特点知，质点处于平衡位置时的速度最大，即在0.3s和0.7s时运动速度最大，在0.1s和0.5s时运动速度为零，故C正确，E错.综上，BCD正确.
故选：BCD
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
9．函数y＝－3sin (x≥0)的初相为________．
【答案】－
【解析】由诱导公式可知y＝－3sin＝3sin，故所求的初相为－.
10．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，若将A，B两点的距离d(cm)表示成时间t(s)的函数，则d＝________，其中t∈[0,60]．
【答案】10sin
【解析】秒针1 s转弧度，t s后秒针转了t弧度，如图所示，sin＝，
所以d＝10sin.
11．国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P＝Asin＋60(美元)(A>0，ω>0)，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t＝150(天)时达到最低油价，则ω的最小值为________．
【答案】　
【解析】因为国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P＝Asin＋60，最高油价80美元，
所以A＝20.当t＝150(天)时达到最低油价，
即sin＝－1，
此时150ωπ＋＝2kπ－，k∈Z，
因为ω>0，所以令k＝1，
得150ωπ＋＝2π－，解得ω＝.
故ω的最小值为.
12．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在千元的基础上，按月呈的模型波动(为月份)，已知月份达到最高价千元，月份价格最低为千元．则月份的出厂价格为____________元．
【答案】6000
【解析】由最高价和最低价可求得：
又
由得：
本题正确结果：
三、解答题（本大题共4小题，共40分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
13．健康成年人的收缩压和舒张压一般为120～140 mmHg和60～90 mmHg.心脏跳动时，血压在增加或减小．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg为标准值．记某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin(160πt)，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题：
(1)求函数p(t)的周期；
(2)求此人每分钟心跳的次数；
(3)求出此人的血压在血压计上的读数，并与正常值比较．
【解析】(1)T＝＝＝ (min)．
(2)f＝＝80.
(3)p(t)max＝115＋25＝140(mmHg)，
p(t)min＝115－25＝90(mmHg)．
即收缩压为140 mmHg，舒张压为90 mmHg.此人的血压在血压计上的读数为140/90 mmHg，在正常值范围内．
14．如果某地夏天从8～14 h的用电量变化曲线近似满足y＝Asin(ωx＋φ)＋b，如图所示．
(1)求这一段时间的最大用电量和最小用电量；
(2)写出这段曲线的函数解析式．
【解析】(1)观察图象知8～14 h这一段时间的最大用电量为50万度，最小用电量为30万度．
(2)观察图象可知，T＝14－8＝6，
∴T＝12，∴ω＝＝.
b＝×(50＋30)＝40，A＝×(50－30)＝10，
∴y＝10sin＋40.
将x＝8，y＝30代入上式，解得φ＝＋2kπ(k∈Z)，又|φ|＜，∴φ＝.
∴所求解析式为y＝10sin＋40，x∈[8,14]．
15．某帆板集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y(米)随着时间t(0≤t≤24，单位：时)呈周期性变化，每天时刻t的浪高数据的平均值如下表：
t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y(米) 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.5 1.0
(1)作出这些数据的散点图；
(2)从y＝at＋b，y＝Asin(ωt＋φ)＋b和y＝Atan(ωt＋φ)中选一个合适的函数模型，并求出该模型的解析式；
(3)如果确定在一天内的7时到19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间．
【解析】(1)散点图如图所示．
(2)由(1)知选择y＝Asin(ωt＋φ)＋b较合适．
令A＞0，ω＞0，|φ|＜π.
由图可知，A＝0.4，b＝1，T＝12，所以ω＝＝.
把t＝0，y＝1代入y＝0.4sin＋1，得φ＝0.
故所求拟合模型的解析式为y＝0.4sint＋1(0≤t≤24)．
(3)由y＝0.4sint＋1≥0.8，得sint≥－.
则－＋2kπ≤t≤＋2kπ(k∈Z)，
即12k－1≤t≤12k＋7(k∈Z)，
注意到t∈[0,24]，所以0≤t≤7，或11≤t≤19，或23≤t≤24，再结合题意可知，应安排在11时到19时训练较恰当．
16.（2019·安徽六安一中高一月考（理））如图所示，某小区为美化环境，准备在小区内的草坪的一侧修建一条直路OC，另一侧修建一条休闲大道.休闲大道的前一段OD是函数的图象的一部分，后一段DBC是函数的图象，图象的最高点为，且，垂足为点F.
（1）求函数的解析式；
（2）若在草坪内修建如图所示的矩形儿童乐园PMFE，点P在曲线OD上，其横坐标为，点E在OC上，求儿童乐园的面积.
【解析】（1）由图象，可知，，
将代入中，
得，即.
∵，∴，故.
（2）在中，令，得，
从而得曲线OD的方程为，则，
∴矩形PMFE的面积为，
即儿童乐园的面积为.
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