第四章 图形的相似 单元测试卷（含答案）

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第四章 《图形的相似》检测卷
一、选择题(每题3分，共30分)
1．若＝，则等于(　　)
A. B. C. D.
2．若两个相似多边形的面积之比为1?4，则它们的周长之比为(　　)
A．1?4 B．1?2 C．2?1 D．4?1
3．如图，在△ABC中，若DE∥BC，AD＝3，BD＝6，AE＝2，则AC的长为(　　)
A．4 B．5 C．6 D．8
(第3题)
4．如图，在平面直角坐标系中，有点A(6，3)，B(6，0)，以原点O为位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到CD，则点C的坐标为(　　)21世纪教育网版权所有
A．(2，1) B．(2，0) C．(3，3) D．(3，1)
　　　
(第4题)
5．如图，在△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论一定正确的是(　　)
A．AB2＝BC·BD B．AB2＝AC·BD
C．AB·AD＝BD·BC D．AB·AD＝AD·CD
　　　
(第5题)
6．如图，为估算某河的宽度(河两岸平行)，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上，若测得BE＝20 m，CE＝10 m，CD＝20 m，则河的宽度AB等于(　　)21教育网
A．60 m B．40 m C．30 m D．20 m
　　　
(第6题)
7．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形与△ABC相似的是(　　)
(第7题)
　
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E是AD的中点，CF⊥BE于点F，则CF等于(　　)
A．2 B．2.4 C．2.5 D．2.25
(第8题)
9．如图，在△ABC中，AB＝AC＝18，BC＝12，正方形DEFG的顶点E，F在△ABC内，顶点D，G分别在AB，AC上，AD＝AG，DG＝6，则点F到BC的距离为(　　)21·cn·jy·com
A．1 B．2 C．12－6 D．6－6
　　
(第9题)
10．如图，在钝角三角形ABC中，分别以AB和AC为斜边向△ABC的外侧作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF，EM平分 ∠AEB交AB于点M，取BC的中点D，AC的中点N，连接DN，DE，DF.下列结论：①EM＝DN；②S△CND＝S四边形ABDN；③DE＝DF；④DE⊥DF.其中正确结论的个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
　　(第10题)
二、填空题(每题3分，共24分)
11．假期，爸爸带小明去A地旅游，小明想知道A地与他所居住的城市的距离，他在比例尺为1∶500 000的地图上测得所居住的城市距A地32 cm，则小明所居住的城市与A地的实际距离为________．
12．已知＝＝，且3a－2b＋c＝9，则2a＋4b－3c的值为________．
13．如图，已知点C是线段AB的黄金分割点，且BC>AC.若S1表示以BC为边的正方形的面积，S2表示长为AD(AD＝AB)、宽为AC的矩形的面积，则S1与S2的大小关系为____________．　　(第13题)【来源：21·世纪·教育·网】
14．如图，已知D，E分别是△ABC的AB，AC边上的点，DE∥BC，且S△ADE四边形DBCE＝1?8，那么AE：AC＝________．　21·世纪*教育网
　　(第14题)
15．将一副三角尺如图所示叠放在一起，则的值是________．
(第15题)
16．如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，标杆BE高1.5 m，测得AB＝2 m，BC＝14 m，则楼高CD为________．2-1-c-n-j-y
　　(第16题)
17．如图，已知点P是边长为4的正方形ABCD内一点，且PB＝3，BF⊥BP，垂足是点B，若在射线BF上找一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，则BM的长为________．
　　
(第17题)
18．如图，正三角形ABC的边长为2，以BC边上的高AB1为边作正三角形AB1C1，△ABC与△AB1C1公共部分的面积记为S1，再以正三角形AB1C1边B1C1上的高AB2为边作正三角形AB2C2，△AB1C1与△AB2C2公共部分的面积记为S2，…，以此类推，则Sn＝________.(用含n的式子表示，n为正整数)
　　(第18题)
三、解答题(19，21题每题8分，24题14分，其余每题12分，共66分)
19．如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，试求出x及∠α的大小．
(第19题)
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－2，4)，B(－2，1)，C(－5，2)．21*cnjy*com
(1)请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
(2)将△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘－2，得到对应的点A2，B2，C2，请画出△A2B2C2；
(3)求△A1B1C1与△A2B2C2的面积比．(不写解答过程，直接写出结果)
(第20题)
21．如图，AB∥FC，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，分别延长FD和CB交于点G.
(1)求证：△ADE≌△CFE；
(2)若GB＝2，BC＝4，BD＝1，求AB的长．
(第21题)
22．如图，一条河的两岸BC与DE互相平行，两岸各有一排景观灯(图中黑点代表景观灯)，每排相邻两景观灯的间隔都是10 m，在与河岸DE的距离为16 m的A处(AD⊥DE)看对岸BC，看到对岸BC上的两个景观灯的灯杆恰好被河岸DE上两个景观灯的灯杆遮住．河岸DE上的两个景观灯之间有1个景观灯，河岸BC上被遮住的两个景观灯之间有4个景观灯，求这条河的宽度．【来源：21cnj*y.co*m】
(第22题)
23．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝24，BC＝12，点E沿BC边从点B开始向点C以每秒2个单位长度的速度运动；点F沿CD边从点C开始向点D以每秒4个单位长度的速度运动．如果E，F同时出发，用t(0≤t≤6)秒表示运动的时间．www.21-cn-jy.com
请解答下列问题：
(1)当t为何值时，△CEF是等腰直角三角形？
(2)当t为何值时，以点E，C，F为顶点的三角形与△ACD相似？
(第23题)
24．如图，E，F分别是正方形ABCD的边DC，CB上的点，且DE＝CF，以AE为边作正方形AEHG，HE与BC交于点Q，连接DF.21cnjy.com
(1)求证：△ADE≌△DCF.
(2)若E是CD的中点，求证：Q为CF的中点．
(3)连接AQ，设S△CEQ＝S1，S△AED＝S2，S△EAQ＝S3，在(2)的条件下，判断S1＋S2＝S3是否成立？并说明理由．【出处：21教育名师】
(第24题)
参考答案
一、1.D　2.B
3．C　解析：因为DE∥BC，所以AE∶AC＝AD∶AB＝3∶9＝1∶3，则AC＝6.
4．A
5．A　解析：因为△ABC∽△DBA，所以＝＝.所以AB2＝BC·BD，AB·AD＝AC·DB.
6．B　解析：∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠ABC＝∠DCE＝90°.
又∵∠AEB＝∠DEC，
∴△ABE∽△DCE.
∴＝，即＝.
∴AB＝40 m.
7．A
8．B　解析：由∠ABC＝90°，CF⊥BE，易证△ABE∽△FCB.
∴＝.由AE＝×3＝1.5，
AB＝2，易得BE＝2.5，
∴＝.∴CF＝2.4.
(第9题)
9．D　解析：如图，过点A作AM⊥BC于点M，交DG于点N，延长GF交BC于点H.
∵AB＝AC，AD＝AG，∴AD∶AB＝AG∶AC.
又∠BAC＝∠DAG，
∴△ADG∽△ABC.
∴∠ADG＝∠B.
∴DG∥BC.∴AN⊥DG.
∵四边形DEFG是正方形，
∴FG⊥DG.∴FH⊥BC.
∵AB＝AC＝18，BC＝12，
∴BM＝BC＝6.
∴AM＝＝12.
∵＝，即＝，
∴AN＝6.
∴MN＝AM－AN＝6.
∴FH＝MN－GF＝6－6.故选D.
10．D　解析：∵△ABE是等腰直角三角形，EM平分∠AEB，
∴EM是AB边上的中线．
∴EM＝AB.
∵点D，点N分别是BC，AC的中点，
∴DN是△ABC的中位线．∴DN＝AB，DN∥AB.∴EM＝DN.①正确．
由DN∥AB，易证△CDN∽△CBA.
∴＝＝.
∴S△CND＝S四边形ABDN.②正确．
(第10题)
如图，连接DM，FN，则DM是△ABC的中位线，
∴DM＝AC，DM∥AC.
∴四边形AMDN是平行四边形．
∴∠AMD＝∠AND.
易知∠ANF＝90°，∠AME＝90°，
∴∠EMD＝∠DNF.
∵FN是AC边上的中线，
∴FN＝AC.∴DM＝FN.
∴△DEM≌△FDN.
∴DE＝DF，∠FDN＝∠DEM.
③正确．
∵∠MDN＋∠AMD＝180°，
∴∠EDF＝∠MDN－(∠EDM＋∠FDN)＝180°－∠AMD－(∠EDM＋∠DEM)＝180°－(∠AMD＋∠EDM＋∠DEM)＝180°－(180°－∠AME)＝180°－(180°－90°)＝90°.2·1·c·n·j·y
∴DE⊥DF.④正确．故选D.
二、11.160 km　解析：设小明所居住的城市与A地的实际距离为x km，根据题意可列比例式为＝，解得x＝160.www-2-1-cnjy-com
12．14　解析：由＝＝，可设a＝5k，b＝7k，c＝8k.∵3a－2b＋c＝9，∴3×5k－2×7k＋8k＝9，∴k＝1.∴2a＋4b－3c＝10k＋28k－24k＝14k＝14.【版权所有：21教育】
13．S1＝S2　解析：∵点C是线段AB的黄金分割点，且BC>AC，
∴BC2＝AC·AB，又∵S1＝BC2，S2＝AC·AD＝AC·AB，∴S1＝S2.
14．1∶3
15.　解析：由∠B＝45°，∠BAC＝90°，可知AC＝AB，由∠D＝30°，∠ACD＝90°，可知CD＝AC，则CD＝AB.即＝＝.21教育名师原创作品
易知△ABE∽△DCE，
∴＝＝.
16．12 m
17.或3　解析：∵∠ABC＝∠FBP＝90°，∴∠ABP＝∠CBF.当△MBC∽△ABP时，BM∶AB＝BC∶BP，得BM＝4×4÷3＝；当△CBM∽△ABP时，BM∶BP＝CB∶AB，得BM＝4×3÷4＝3.
18.×　解析：在正三角形ABC中，AB1⊥BC，
∴BB1＝BC＝1.
在Rt△ABB1中，AB1＝＝＝，
根据题意可得△AB2B1∽△AB1B，记△AB1B的面积为S，
∴＝.∴S1＝S.
同理可得S2＝S1，S3＝S2，S4＝S3，….
又∵S＝×1×＝，
∴S1＝S＝×，
S2＝S1＝×，S3＝S2＝×，S4＝S3＝×，…，
Sn＝×.
三、19.解：因为四边形ABCD∽四边形EFGH，所以∠H＝∠D＝95°，则∠α＝360°－95°－118°－67°＝80°.21*cnjy*com
再由x∶7＝12∶6，解得x＝14.
20．解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．
(2)如图，△A2B2C2即为所求．
(3)S△A1B1C1∶S△A2B2C2＝1∶4.
(第20题)
21．(1)证明：∵AB∥FC，∴∠A＝∠ECF.又∵∠AED＝∠CEF，且DE＝FE，∴△ADE≌△CFE.
(2)解：方法一：∵AB∥FC，
∴∠GBD＝∠GCF，∠GDB＝∠F.
∴△GBD∽△GCF.∴＝.
∴＝.∴CF＝3.
由(1)得△ADE≌△CFE.
∴AD＝CF＝3，
∴AB＝AD＋BD＝3＋1＝4.
(第21题)
方法二：如图，取BC的中点H，连接EH.
∵△ADE≌△CFE，
∴AE＝CE.∴EH是△ABC的中位线．∴EH∥AB，且EH＝AB.
∴∠GBD＝∠GHE，∠GDB＝∠GEH.∴△GBD∽△GHE.
∴＝.∴＝.
∴EH＝2.∴AB＝2EH＝4.
22．解：由题意可得DE∥BC，
所以＝.　
又因为∠DAE＝∠BAC，
所以△ADE∽△ABC.
所以＝，即＝.
因为AD＝16 m，BC＝50 m，DE＝20 m，
所以＝.
所以DB＝24 m.
所以这条河的宽度为24 m.
23．解：(1)由题意可知BE＝2t，CF＝4t，CE＝12－2t.
因为△CEF是等腰直角三角形，∠ECF是直角，所以CE＝CF.
所以12－2t＝4t，解得t＝2.
所以当t＝2时，△CEF是等腰直角三角形．
(2)根据题意，可分为两种情况：
①若△EFC∽△ACD，则＝，
所以＝，解得t＝3，
即当t＝3时，△EFC∽△ACD.
②若△FEC∽△ACD，则＝，
所以＝，解得t＝1.2，
即当t＝1.2时，△FEC∽△ACD.
因此，当t为3或1.2时，以点E，C，F为顶点的三角形与△ACD相似．
24．(1)证明：由AD＝DC，∠ADE＝∠DCF＝90°，DE＝CF，得△ADE≌△DCF.　
(2)证明：因为四边形AEHG是正方形，所以∠AEH＝90°.
所以∠QEC＋∠AED＝90°.
又因为∠AED＋∠EAD＝90°，
所以∠QEC＝∠EAD.
又因为∠C＝∠ADE＝90°，
所以△ECQ∽△ADE.　
所以＝.
因为E是CD的中点，所以EC＝DE＝CD＝AD.所以＝.
因为DE＝CF，所以＝＝.即Q是CF的中点．
(3)解：S1＋S2＝S3成立．
理由：因为△ECQ∽△ADE，
所以＝.所以＝.
又因为∠C＝∠AEQ＝90°，
所以△ECQ∽△AEQ.
所以△AEQ∽△ECQ∽△ADE.
所以＝，＝.
所以＋＝＋＝.　
在Rt△AEQ中，由勾股定理，得EQ2＋AE2＝AQ2，
所以＋＝1，即S1＋S2＝S3.
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