济钢高中2020级高二第二次测试数学
参考答案
一、选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B C B C B D A C CD AC AB ABC
二、填空题：
13．． 14. 2. 15．，，． 16. ③
三、解答题
17. 解：(1)解：直线的方程为： 即.
(2)因为直线与直线平行，所以直线斜率为2.
又因为直线在轴上的截距为3
所以直线方程为：.
18.解：（1），
因为，
同理可得，
所以，．
（2）因为，所以，
因为，
所以．
所以，异面直线与所成角的余弦值为．
19. 解（Ⅰ），分别为，的中点，
，
又不在平面，
平面；
（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，设，
则，2，，，2，，，0，，，0，，，0，，，
设平面的法向量为，则，可取，
设直线与平面所成角为，则
20. 解（1）平面，平面，
，
，，、平面，
平面， 又平面，
．
（2）解：过点作于，连接，
由（1）知，平面，
即为平面与平面所成的角．
在中，，，
，，
在中，，，
故平面与平面夹角的正弦值为．
21．解：（1）证明：由PE⊥EB，PE⊥ED，EB∩ED=E，
所以PE⊥平面EBCD，又BC 平面EBCD，
故PE⊥BC，又BC⊥BE，故BC⊥平面PEB，
EM 平面PEB，故EM⊥BC，
又等腰三角形PEB，EM⊥PB，BC∩PB=B，
故EM⊥平面PBC， EM 平面EMN，
故平面EMN⊥平面PBC；
（2）假设存在点N，使得二面角B﹣EN﹣M的余弦值.
以E为原点，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
设PE=EB=2，设N(2，m，0)，B(2，0，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，C(2，2，0)，M(1，0，1)，
，，，
设平面EMN的法向量为，
由，令，得，
平面BEN的一个法向量为，
故，解得：m=1，
故存在N为BC的中点.
22.证明：如图，
（1）正方形中，，
因为平面平面，平面平面平面ABCD
所以平面ABMN
所以，且，，
所以
又因为，所以，
所以，又因为AN//BM，所以，，所以平面ABCD.
（2）由（1）知，平面，
以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系.
设点，则，
所以，所以，
所以，
设平面的法向量为，
令，所以，所以，
显然，平面的法向量为，
所以，即
即，即，解得或(舍)，
则存在一点，且济钢高中 2020 级高二第二次测试 2021.10.8
数学试题
一、单项选择（8小题，每题 5分,共 40分）
2
1．已知O(0，0，0) ， A(3， 2 ， 4) ，B(0 ，5， 1) ，若OC AB，则C 的坐标是 ( )
3
14 10 14 10
A． (2 ， ， ) B． ( 2， ， )
3 3 3 3
14 10 14 10
C． (2 ， ， ) D． ( 2， ， )
3 3 3 3
2．已知直线 l 过点 ( 2,1) ，且倾斜角是 ，则直线 l 的方程是 ( )
2
1
A． x y 1 0 B． y x C． x 2 0 D． y 1 0
2
3．已知 a (1，1，0) ，b ( 1，0， 2) ，且 a 与 ka b 互相垂直，则 k 的值为 ( )
1 1
A． B． C． 1 D．1
2 2
4. 已知直线 l1， l2， l3 的斜率分别是 k1 ， k2 ，k3 ，如图所示，则（ ）
A． k1 k2 k3 B． k3 k2 k1 C． k1 k3 k2 D． k3 k1 k2
5．如图，正方体 ABCD A1 B1 C1 D的棱长为 1， O 是底面1 A B C D 的中心，则O 到平面1 1 1 1
ABC 的距离为 ( ) 1D1
1 2 2 3
A． B． C． D．
2 4 2 2
6．若直线 ax y 1 0与 x (2a 1)y 2 0平行，则 a的值为 ( )
1 1 1
A． B． 或 1 C． 或 1 D． 1
2 2 2
7．已知直线 l 的方程为 3x y 1 0，若 l l ，则直线 的倾斜角为（ ） 1 1 l
π π 2π 5π
A. B. C. D.
6 3 3 6
8．如图所示，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，点 P 是底面 A1B1C1D1内（含边界）的一点，
且 AP//平面DBC1，则异面直线 AP 与 BD所成角的取值范围为（ ）
3 2
A． , B． , C． , D． ,
4 4 4 2 3 2 3 3
二、多项选择（4 小题，每题 5 分，共 20 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题
目要求，全部选对的得 5分，选对但不全的得 2分，有选错的得 0分.）
9．下列命题中，正确的命题有（ ）
A． a b a b 是 a，b共线的充要条件
B．若a / /b则存在唯一的实数 ，使得a= b
C．对空间中任意一点O和不共线的三点 A, B,C,若OP 2OA 4OB 3OC，则P, A, B,C四
点共面
D．若 a，b，c 为空间的一个基底，则 a b，b 2c，c 3a 构成空间的另一个基底
10．如图，正三棱柱 ABC﹣A1B1C1的侧面是边长为 2的正方形 D、E分别是 BB1、AC的中点，
则下列结论成立的是（ ）
A．直线 A1D 与直线 BC是异面直线
B．直线 BE与平面 A1CD 不平行
5
C．直线 AC与直线 A1D所成角的余弦值等于
5
10
D．直线 CD与平面 AA1C1C 所成角的正弦值等于
5
11．已知 ABCD﹣A1B1C1D1 为正方体，下列说法中正确的是（ ）
2 2
A． A 1A A1D1 A1B1 3 A1B1
B． A1C A1B1 A1A 0
C．向量AD1与向量 A1B的夹角是 60°
D．正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的体积为 AB AA1 AD
12．如图，在三棱柱 ABC A1B1C1中，侧棱 AA1 底面 A1B1C1， BAC 90
，
AB AC AA1 1，D是棱CC1 的中点，P 是 AD的延长线与 A1C1的延长线的交点.若点Q
在直线B1P上，则下列结论错误的是（ ）.
A．当Q为线段B1P的中点时，DQ 平面 A1BD
B．当Q为线段 B1P的三等分点时，DQ 平面 A1BD
C．在线段B1P的延长线上，存在一点Q，使得DQ 平面 A1BD
D．不存在点Q，使DQ与平面 A1BD 垂直
三、填空题（4小题，共 20分）
13．已知 a (1，1，0) ，b ( 1，0， 2) ，则 | 2a b | ．
14.如图所示，在平行六面体 ABCD A1B1C1D1 中， A1C1 B1D1 F ，若
AF xAB yAD zAA ，则 x y z 1 ___________.
15．设点 A(2, 1)， B( 2, 2) ，直线 l 过点 P(1,2)且与线段 AB 相交，则直线 l 的斜率 k 的取
值范围是 ．
16．如图，边长为 1的正方形 ABCD所在平面与正方形 ABEF 所在平面互相垂直，动点
M , N 分别在正方形对角线 AC 和 BF 上移动，且CM BN a(0 a 2).则下列结论：
则下列结论：
①CN ME ；
1
②当a 时，ME 与CN 相交；
2
③MN 始终与平面BCE 平行；
④异面直线 AC 与BF 所成的角为45 .
正确的序号是___________.
四、解答题（6小题，共 70分）
17．（10 分）已知直线 l 经过点 P(2,1)，且斜率为 2，
（1）求直线 l 的方程；
（2）若直线 m 与直线 l 平行，且在 y 轴上的截距为 3，求直线 m 的方程.
18. （12 分）如图，三棱柱 ABC A1B1C1中，底面边长和侧棱长都等于 1，
BAA1 CAA1 60
．
（1）设 AA a ， AB b ， AC c ，用向量 a ，b ， c 表示 BC ，并求出BC1 的长度； 1 1
（2）求异面直线 AB1与 BC1所成角的余弦值．
19. （12 分）如图，在四棱锥 P ABCD中， PD 2 AD， PD DA， PD DC ，底面
ABCD为正方形，M ． N 分别为 AD ，PD 的中点．
（Ⅰ）求证：PA / / 平面MNC；
（Ⅱ）求直线 PB与平面MNC所成角的正弦值．
20．（12 分）如图，在四棱锥 P ABCD中， PA 平面 ABCD， AC AD ， AB BC ，
BAC 45 ， PA AD 2， AC 1．
（1）证明：PC AD；
（2）求平面 PAC 与平面PCD夹角的正弦值；
（3）设 E 为棱 PA上的点，满足异面直线BE 与CD所成的角为30 ，求 AE 的长．
21．（12 分）如图，在直角梯形 ABCD 中，AB / / DC，∠ABC=90°，AB=2DC=2BC，E为 AB的
中点，沿 DE将△ ADE折起，使得点 A到点 P 位置，且 PE⊥EB，M 为 PB的中点，N是 BC
上的动点(与点 B，C不重合).
（2） 求证：平面 EMN⊥平面 PBC；
6
（2）是否存在点 N，使得二面角 B﹣EN﹣M 的余弦值 ？若存在，确定 N点位置；若不
6
存在，说明理由.
22．(12 分)如图所示，正方形 ABCD所在平面与梯形 ABMN 所在平面垂直，
AN / /BM , AB AN 2, BM 4,CN 2 3
（1）证明：BM 平面 ABCD；
3
（2）在线段CM 上是否存在一点E ，使得二面角E BN M 的余弦值为 ，若存在求
3
CE
出 的值，若不存在，请说明理由.
EM
