2021-2022学年数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.1.1倾斜角与斜率知识点总结（Word）

2.1.1　倾斜角与斜率知识点总结
知识点一、倾斜角
1.当直线l与x轴相交时,以x轴为基准,x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角（简记：交右上）
2.规定：当直线l与x轴平行或重合时,规定直线l的倾斜角为0°
3.范围：0°≤α<180°
4.作用：(1)表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度;
(2)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是:直线上的一个定点以及它的倾斜角,二者缺一不可
5.强调：倾斜角还可以这样定义:在平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的直线,把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角.并规定:与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.
6.考查题型：题型1.倾斜角的定义；2.倾斜角的范围；3.已知x=数，求倾斜角；4.已知y=数，求倾斜角
典型例题
题型1.倾斜角的定义
例1：求图中各直线的倾斜角．
题型2.倾斜角的范围
例2：判断下列是否正确：
任意一条直线都有倾斜角
2．直线倾斜角的范围是
3．直线倾解角的范围是
题型3.已知x=数，求倾斜角
例3：直线的倾斜角是____________，
题型4.已知y=数，求倾斜角
例4：直线y=-2的倾斜角是____________，
知识点二、斜率
定义：一条直线的倾斜角α（α≠90°）的正切值叫做这条直线的斜率
当α=90°时，直线斜率不存在
常用小写字母k表示,当已知直线的倾斜角是，k=tan α
范围：R
作用：用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度
直线经过两点,则直线的斜率公式为k=
注意：运用公式的前提是x1≠x2,即直线不与x轴垂直.
斜率公式与P1,P2在直线上的位置无关,在直线上任取两点,得到的斜率是相同的.
需注意公式中横、纵坐标之差的顺序
考查题型：题型1.已知倾斜角求斜率；2.已知斜率求倾斜角；3.已知两点求斜率；4.已知两点求倾斜角
典型例题
题型1.已知倾斜角求斜率
例5：判断下列是否正确：
1.若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为
2.平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率
3.若一条直线的斜率为，则该直线的倾斜角为
4.平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率
5.若两条直线的倾斜角不相等，则它们中倾斜角大的，斜率较小
6.倾斜角和斜率都是反映直线相对于轴正方向的倾斜程度
7.若两条直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等；
8.若两条直线的斜率相等，则它们的倾斜角也一定相等；
9.若两条直线的斜率不相等，则它们中斜率大的，其倾斜角也大．
题型2.已知斜率求倾斜角
例6：图中的直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则（　　）
A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k1＜k2
C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k2
题型3.已知两点求斜率
例7：下列两点确定的直线的斜率不存在的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
例8：已知直线经过两点，且直线的倾斜角为，则（ ）
A． B． C． D．不存在
例9：经过点M（﹣2，m2）、N（m，4）的直线的斜率等于2，则m的值为（ ）
A．0 B．0或﹣2
C．﹣2 D．0或2
例10：如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，倾斜角分别为α1，α2，α3，则下列选项正确的是（ ）
A．k1＜k3＜k2 B．k3＜k2＜k1 C．α1＜α3＜α2 D．α3＜α2＜α1
题型4.已知两点求倾斜角
例11：已知，，其中，则直线AB的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
练习：
1．下列说法中，正确的是（ ）
A．直线的倾斜角为，且，则为锐角
B．直线的斜率为，则此直线的倾斜角为
C．若直线的倾斜角为，则
D．任意直线都有倾斜角，且时，斜率为
2．直线，，在平面直角坐标系中的位置如图所示，记直线的倾斜角和斜率分别为和，其中，2，3，则，，中最大的是________；
3.过点P(，m)，Q(m，4)的直线的倾斜角为60°，则m的值为（ ）
A． B．
C． D．
4.已知点A（2，0），，则直线AB的倾斜角为（　　）
A．30° B．45° C．120° D．135°
5.已知直线l过不同的两点A(5，6)，B(5，y)，则l的斜率（ ）
A．等于0 B．等于5
C．不存在 D．与y的取值有关
6.若直线经过A(1，0)，B(4，)两点，则直线AB的倾斜角为（ ）
A．30° B．60°
C．120° D．150°
7．过点和的直线的斜率是1，则_______.
8．若斜率，求倾斜角的范围_________________.
2.1.1　倾斜角与斜率知识点总结例题和练习答案
例1：【答案】（1）；（2）；（3）．
【详解】
（1）如图①，可知为直线的倾斜角，
因为，所以，即直线的倾斜角为．
（2）如图②，可知为直线的倾斜角，
，，，即直线的倾斜角为．
（3）如图③，可知为直线的倾斜角，
，，
，即直线的倾斜角为．
①　　　　　　 ②　　　　　　　　　　③
例2：1.对；2.错；3.错
例3：【答案】
【详解】
解：直线垂直于轴，所以倾斜角为，故答案为：；
例4：【答案】0
【详解】
解：直线y=-2平行于轴，所以倾斜角为0
故答案为：0
例5：1.×2.×3.×4.×5.×6.√7.√8.9.×
例6：【答案】D
【详解】
由题可得，直线l1的倾斜角为钝角，
∴直线l1的斜率k1＜0，
由于l2、l3的倾斜角为锐角，且l2的倾斜角大于直线l3的倾斜角，
∴k2＞k3＞0，
∴k1＜k3＜k2，
故选：D．
例7：【答案】D
【详解】
当两个点横坐标相同时，过这两点的直线斜率不存在，
D选项中的两个点横坐标相同，过这两点的直线斜率不存在.
ABC中两点确定的直线斜率存在.
故选：D
例8：【答案】A
【详解】
由题设，直线的斜率，又，
∴，解得.
故选：A
例9：【答案】A
【详解】
经过点M（﹣2，m2）、N（m，4）的直线的斜率等于2，可得：，解得m=0或m=﹣2（舍去）．
故选:A．
例10：【答案】AD
【详解】
如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，倾斜角分别为α1，α2，α3，
则k2＞k3＞0，k1＜0，，α1为钝角，
所以k1＜k3＜k2，α3＜α2＜α1.
故选：AD．
例11：【答案】A
【详解】
由斜率公式得，当，，
当时，，
所以斜率的取值范围是，
由正切函数的图像可知倾斜角的范围是．
故选：A
1.【答案】AD
【详解】
解：对于A，因为，且，则为锐角，故A正确；
对于B，虽然直线的斜率为，但只有时，才是此直线的倾斜角，故B错误；
对于C，因为，所以，故C错误；
对于D，任意直线都有倾斜角，且时，斜率为，故D正确.
故选：AD.
2.【答案】
【详解】
由图观察可知的倾斜角最大，
，的倾斜角为钝角，斜率为负，倾斜角为锐角，斜率为正，
所以最大．
故答案为：，．
3.【答案】C
【详解】
因过点P(，m)，Q(m，4)的直线的倾斜角为60°，
于是得直线PQ斜率，解得m，
所以m的值为.
故选：C
4.【答案】C
【详解】
点A（2，0），，则直线AB的斜，
则直线的倾斜角120°，
故选：C．
5.【答案】C
【详解】
因点A(5，6)，B(5，y)是不同的两点，且A、B的横坐标相同，则直线l与x轴垂直，
所以l的斜率不存在.
故选：C
6.【答案】D
【详解】
因直线经过A(1，0)，B(4，)两点，则直线AB的斜率等于，
设直线AB的倾斜角等于，则有，而，于是得，
所以直线AB的倾斜角为.
故选：D
7.【答案】1.
【详解】
由题知，
∴.
故答案为：.
8.【答案】
【详解】
由题意，直线的倾斜角，则，且斜率，
当时，；
当时，，
综上可得，倾斜角.
故答案为：.