第4章图形的相似 单元综合训练 2021-2022学年北师大版九年级数学上册（word版含答案）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《第4章图形的相似》单元综合训练（附答案）
1．已知三个数为3、4、12，若再添加一个数，使这四个数能组成一个比例，那么这个数可以是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知＝，则的值为（　　）
A． B． C． D．
3．若＝＝，则的值是（　　）
A． B． C． D．4
4．如图，在△ABC中，AD∥BC，点E在AB边上，EF∥BC，交AC边于点F，DE交AC边于
点G，则下列结论中错误的是（　　）
A． B． C． D．
5．下列各组图形中一定是相似形的是（　　）
A．两个直角三角形 B．两个等边三角形
C．两个菱形 D．两个矩形
6．如果两个相似多边形的面积比为4：9，那么它们的周长比为（　　）
A．4：9 B．2：3 C．： D．16：81
7．如图，下列条件中，不能判定△ACD∽△ABC的是（　　）
A．∠ADC＝∠ACB B．∠B＝∠ACD C．∠ACD＝∠BCD D．
8．已知△ABC，D是AC上一点，尺规在AB上确定一点E，使△ADE∽△ABC，则符合要求的作图痕迹是（　　）
A．B．C．D．
9．如图正方形ABCD，E为AB中点，BC＝4BF，那么图中与△ADE相似的三角形有（　　）
A．△CDF B．△BEF C．△BEF、△DCF D．△BEF，△EDF
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，点E、F分别在AB、AC上，且EF∥BC，交AD于点G，则图中相似的三角形有（　　）
A．5对 B．6对 C．7对 D．8对
11．如图，∠1＝∠2，DE∥AC，则图中的相似三角形有（　　）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
12．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于O，若＝，则的值为（　　）
A． B． C． D．
13．已知点C是线段AB的黄金分割点（AC＜BC），若AB＝4，则AC的长为（　　）
A．（6﹣2） B．（2﹣2） C．（﹣1） D．（3﹣）
14．如图所示，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，BC＝AC，以点B为圆心，BC长为半径做弧，交AB于点D，再以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AC于点E，下列结论错误的是（　　）
A． B． C． D．
15．在一张比例尺为1：8000000江苏省地图上，阜宁与南京的距离为3.75cm，实际上阜宁与南京的距离约为　 　km．
16．已知＝2，那么＝　 　．
17．如图，AD是△ABC的中线，点E在AC上，BE交AD于点F，＝，则＝　 　．
18．如图，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，则α＝　 　．
19．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC∽矩形BCDA，则EC的长为　 　．
20．如图，△ABC与△DEA是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠D＝90度，BC分别与AD、AE相交于点F，G，则图中共有　 　对相似三角形．
21．在△ABC中，AB＝9，AC＝6．点M在边AB上，且AM＝3，点N在AC边上．当AN＝　 　时，△AMN与原三角形相似．
22．一般认为，如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割，则这个人好看．如图，是一个参加空姐选拔的选手的身高情况，那么她应穿　 　cm的鞋子才能好看？（精确到1cm）．
23．如图，在小孔成像问题中，小孔O到物体AB的距离是60cm，小孔O到像CD的距离是30cm，若物体AB的长为16cm，则像CD的长是　 　cm．
24．为测量学校旗杆的高度，小明的测量方法如下：如图，将直角三角形硬纸板DEF的斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上．测得DE＝0.5米，EF＝0.25米，目测点D到地面的距离DG＝1.5米，到旗杆的水平距离DC＝20米．按此方法，请计算旗杆的高度为　 　米．
25．已知△ABC∽△A1B1C1，△ABC的周长与△A1B1C1的周长的比值是，BE、B1E1分别是它们对应边上的中线，且BE＝6，则B1E1＝　 　．
26．如图△ABC与△DEF位似，点O位似中心，且，则＝　 　．
27．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC和正方形ADEF的边OA、AD分别在x轴上，OA＝2，AD＝3，则正方形OABC和正方形ADEF位似中心的坐标是　 　．
28．如图，△ABC中，AB＝8厘米，AC＝16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，设运动的时间为t．
（1）用含t的代数式表示：AP＝　 　，AQ＝　 　．
（2）当以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，求运动时间是多少？
29．已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点．
求证：△ADQ∽△QCP．
30．如图，已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上．如果BC＝4，△ABC的面积是6，求这个正方形的边长．
31．如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽△PDB．
（1）求∠APB的大小．
（2）说明线段AC、CD、BD之间的数量关系．
32．如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣1，4），C（﹣3，2）
（1）画出△ABC关于点B中心对称的△A1BC1，并直接写出点C1的坐标．
（2）以原点O为位似中心，位似比为2：1，在y轴的左侧画出△ABC放大后的△A2B2C2，并直接写出点C2的坐标．
33．已知：在△ABC中，点D、E分别在AC、AB上，且满足∠ABD＝∠ACE，求证：AD CE＝AE BD．
34．如图，在 ABCD中，AC与BD相交于点O，过点B作BE∥AC，联结OE交BC于点F，点F为BC的中点．
（1）求证：四边形AOEB是平行四边形；
（2）如果∠OBC＝∠E，求证：BO OC＝AB FC．
参考答案
1．解：1：3＝4：12，
故选：A．
2．解：由＝，得＝＝．
故选：D．
3．解：设＝＝＝k（K≠0），则x＝2k，y＝7k，z＝5k，
∴＝＝，
故选：C．
4．解：∵EF∥BC
∴，∴答案A正确；
根据合比性质，则有
即：，∴答案D正确；
又∵AD∥EF
∴，∴答案B正确；
而，∴答案C错误．
故选：C．
5．解：∵等边三角形的对应角相等，对应边的比相等，
∴两个等边三角形一定是相似形，
又∵直角三角形，菱形的对应角不一定相等，矩形的边不一定对应成比例，
∴两个直角三角形、两个菱形、两个矩形都不一定是相似形，
故选：B．
6．解：∵两个相似多边形面积的比为4：9，
∴两个相似多边形周长的比等于2：3，
∴这两个相似多边形周长的比是2：3．
故选：B．
7．解：（A）∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB，
∴△ACD∽△ABC，故A能判定△ACD∽△ABC；
（B）∵∠A＝∠A，∠B＝∠ACD，
∴△ACD∽△ABC，故B能判定△ACD∽△ABC；
（D）∵＝，∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，故D能判定△ACD∽△ABC；
故选：C．
8．解：如图，点E即为所求作的点．
故选：A．
9．解：设BC＝4a，则BF＝a，AE＝BE＝2a，CF＝3a，
在Rt△AED中，DE＝＝2a，
在Rt△BEF中，EF＝＝a，
在Rt△DFC中，DF＝＝5a，
∵＝2，＝2，＝2，
∴＝＝，
∴△AED∽△BFE，
同理可得△AED∽△EFD．
故选：D．
10．解：图中共有7对相似三角形，
理由如下：
∵EF∥BC，分别交AB，AC，AD于点E，F，G，
∴△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，△AEF∽△ABC．
∵AB＝AC且AD⊥BC，
∴△AEG≌△AFG，△ABD≌△ACD，
则△AEG∽△ACD，△AFG∽△ABD，
故选：C．
11．解：∵DE∥AC，
∴△BED∽△BAC，∠EDA＝∠DAC，
∵∠1＝∠2，
∴△ADE∽△CAD，
∵DE∥AC，
∴∠2＝∠EDB，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠EDB，
∵∠B＝∠B，
∴△BDE∽△BAD，
∴△ABD∽△CBA，
故选：C．
12．解：∵＝，
∴＝，
∵AD∥BC，
∴△ADO∽△CBO，
∴＝＝，
故选：B．
13．解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＜BC，
∴BC＝AB＝2（﹣1），
则AC＝4﹣2（﹣1）＝6﹣2，
故选：A．
14．解：设BC＝a，则AC＝2a，
由勾股定理得，AB＝＝a，
由题意得，AE＝（﹣1）a，
∴EC＝（3﹣）a，
∴＝＝，A正确，不符合题意；
＝，B正确，不符合题意；
＝，C错误，符合题意；
＝，D正确，不符合题意；
故选：C．
15．解：设实际上阜宁与南京的距离约为xkm，
根据题意得，＝，
∴x＝300km，
答：实际上阜宁与南京的距离约为300km．
故答案为：300．
16．解：＝，
故答案为：
17．解：如图，过点D作DG∥BE，交AC于点G；
∴，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝DC，
∴，
∴，
故答案为：．
18．解：∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，
∴∠A＝∠A'＝62°，∠B＝∠B'＝75°，
∴α＝360°﹣140°﹣62°﹣75°＝83°，
故答案为：83°．
19．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝4，
∵四边形EFDC是矩形，
∴EF＝CD＝2，CE＝DF，
∵余下的矩形EFDC∽矩形BCDA，
∴，
即＝，
∴CE＝1，
故答案为：1．
20．解：∵△ABC与△DEA是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDA＝90°，
∴∠C＝∠B＝∠DAE＝∠E＝45°，
∵∠CFA＝∠B+∠FAB，∠GAB＝∠FAG+∠FAB，
∴∠CFA＝∠BAG，
∴△CAF∽△BGA，
∴△BGA∽△AGF∽△CAF；
还有△ABC≌△DEA，
∴相似三角形共有4对．
故答案为：4．
21．解：由题意可知，AB＝9，AC＝6，AM＝3，
①若△AMN∽△ABC，
则＝，
即＝，
解得：AN＝2；
②若△AMN∽△ACB，
则＝，
即＝，
解得：AN＝4.5；
故AN＝2或4.5．
故答案为：2或4.5．
22．解：设她应穿xcm高的鞋子，
根据题意，得＝0.618．
解得，x≈10，
故答案为：10．
23．解：如图，作OE⊥AB于E，EO的延长线交CD于F．
∵AB∥CD，
∴FO⊥CD，△AOB∽△DOC，
∴（相似三角形的对应高的比等于相似比），
∴CD＝AB＝8cm，
故答案为：8．
24．解：由题意得：∠DEF＝∠DCA＝90°，∠EDF＝∠CDA，
∴△DEF∽△DCA，
则＝，即＝，
解得：AC＝10，
故AB＝AC+BC＝10+1.5＝11.5（米），
即旗杆的高度为11.5米；
故答案为：11.5．
25．解：∵△ABC∽△A1B1C1，△ABC的周长与△A1B1C1的周长的比值是，
∴△ABC与△A1B1C1的相似比为，
∴＝，即＝，
解得，B1E1＝9，
故答案为：9．
26．解：∵△ABC与△DEF位似，点O位似中心，且，
∴＝＝，
∴＝（）2＝．
故答案为：．
27．解：连接FC并延长交x轴于点M，
由题意可得：△MOC∽△MAF，
则＝＝，
∴＝，
解得：MO＝4，
故M点的坐标为：（﹣4，0）．
连接DC，OE，交点为N，
可得△CNO∽△END，
则＝＝，
解得：AN＝，
故N点坐标为：（2，），
综上所述：正方形OABC和正方形ADEF位似中心的坐标是（﹣4，0）或（2，）．
故答案为：（﹣4，0）或（2，）．
28．解：（1）AP＝2t，AQ＝16﹣3t．
（2）∵∠PAQ＝∠BAC，
∴当＝时，△APQ∽△ABC，即＝，解得t＝；
当＝时，△APQ∽△ACB，即＝，解得t＝4．
∴运动时间为秒或4秒．
29．证明：∵四边形ABCD是正方形，BP＝3PC，Q是CD的中点，
∴QC＝QD＝AD，CP＝AD，
∴＝，
又∵∠ADQ＝∠QCP，
∴△ADQ∽△QCP．
30．解：如图，过点A作AM⊥BC于M，
∵S△ABC＝×BC×AM
∴6＝×4×AM
∴AM＝3
∵四边形DEFG是正方形
∴GD＝FG，GF∥BC，GD∥AM，
∴△AGF∽△ABC，△BGD∽△BAM，
∴，
∴
∴GF＝
31．解：（1）∵△PCD是等边三角形，
∴∠PCD＝60°，
∴∠A+∠APC＝60°，
∵△ACP∽△PDB，
∴∠APC＝∠PBD，
∴∠A+∠B＝60°，
∴∠APB＝120°；
（2）∵△ACP∽△PDB，
∴＝，
∴CD2＝AC BD．
32．解：（1）△A1BC1如图所示，点C1的坐标（1，6）．
（2）△A2B2C2如图所示，点C2的坐标（﹣6，4）．
33．解：证明：∵∠ABD＝∠ACE，∠A＝∠A，
∴△ABD∽△ACE，
∴
即AD CE＝AE BD．
34．证明：（1）∵BE∥AC，
∴△COF∽△BFE
∴
∵点F为BC的中点，
∴CF＝BF，
∴OC＝BE
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO
∴AO＝BE
∵BE∥AC，
∴四边形AOEB是平行四边形．
（方法二：也可以利用三角形的中位线定理证明OE∥AB，可得结论）
（2）∵四边形AOEB是平行四边形，
∴∠BAO＝∠E
∵∠OBC＝∠E，
∴∠BAO＝∠OBC
∵∠ACB＝∠BCO，
∴△COB∽△CBA
∴
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝2OC
∵点F为BC的中点，
∴BC＝2FC
∴
即BO OC＝AB FC