第2章一元二次方程 期中复习训练 2021-2022学年北师大版数学九年级上册（word版含解析）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《第2章一元二次方程》期中复习训练（附答案）
1．已知关于x的方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m＜1 B．m＞1 C．m＜1，且m≠0 D．m＞1，且m≠0
2．将一元二次方程2x2﹣1＝3x化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（　　）
A．2，﹣1 B．2，0 C．2，3 D．2，﹣3
3．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．x（x+3）＝0 B．x2﹣4y＝0
C．x2﹣＝5 D．ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数）
4．若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个根，则2021+3a﹣3b的值为（　　）
A．2018 B．2020 C．2022 D．2024
5．一元二次方程2x2﹣x＝0的解是（　　）
A．x＝0 B．x1＝0，x2＝2 C．x1＝0，x2＝ D．x＝2
6．若实数x满足方程（x2+2x） （x2+2x﹣2）﹣8＝0，那么x2+2x的值为（　　）
A．﹣2或4 B．4 C．﹣2 D．2或﹣4
7．在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手15次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是（　　）
A．x（x﹣1）＝15 B．x（x+1）＝15 C． D．
8．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（　　）
A．x2﹣2x﹣99＝0化为（x﹣1）2＝100
B．2t2﹣7t﹣4＝0化为（t﹣）2＝
C．x2+8x+9＝0化为（x+4）2＝25
D．3x2﹣4x﹣2＝0化为（x﹣）2＝
9．某公司今年4月的营业额为2500万元，按计划第二季度的总营业额要达到9100万元，求该公司5、6两个月营业额的月均增长率．若设该公司5、6两个月营业额的月均增长率为x，则可列方程为（　　）
A．2500（1+x）2＝9100 B．2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100
C．2500（1+x）＝9100 D．2500[1+（1+x）+（1+x）2]＝9100
10．若（a2+b2）（a2+b2﹣3）＝4，则a2+b2的值为（　　）
A．4 B．﹣4 C．﹣1 D．4或﹣1
11．已知三角形的两边长是4和6，第三边的长是方程（x﹣3）2＝4的根，则此三角形的周长为（　　）
A．17 B．11 C．15 D．11或15
12．下表是求代数式ax2﹣bx的值的情况，根据表格中的数据可知，方程ax2﹣bx＝2的解是（　　）
x 2 1 0 1 2 3 …
ax2﹣bx 6 2 0 0 2 6 …
A．x＝1 B．x ＝0，x ＝1 C．x＝2 D．x ＝ 1，x ＝2
13．欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程x2+ax＝b2的方法，类似地我们可以用折纸的方法求方程x2+x﹣1＝0的一个正根．如图，一张边长为1的正方形的纸片ABCD，先折出AD、BC的中点G、H，再折出线段AN，然后通过沿线段AN折叠使AD落在线段AH上，得到点D的新位置P，并连接NP、NH，此时，在下列四个选项中，有一条线段的长度恰好是方程x2+x﹣1＝0的一个正根，则这条线段是（　　）
A．线段BH B．线段DN C．线段CN D．线段NH
14．关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 　 　．
15．一元二次方程2x2﹣bx+c＝0的两根为x1，x2，若x1+x2＝5，x1 x2＝﹣2，则b＝　 　，c＝　 　．
16．关于x的一元二次方程xm﹣1+4x﹣n＝0有两个相等的实数根，则m+n的值为 　 　．
17．已知方程x2+x+p＝0的两根之差为3，那么p＝　 　．
18．某种服装原价每件120元，经两次降价，现售价每件80元．若设该服装平均每次降价的百分率为x，则可列出关于x的方程为 　 　．
19．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a2＝0有两个不相等的实数根x1，x2，则x1+x2＝　 　；若+＝﹣8，则a＝　 　．
20．关于x的方程mx2﹣4x﹣5＝0的两个实数根分别为x1和x2，若x1＝n，且mn2﹣4n+m＝6，则x12+x22的值为 　 　．
21．中新网4月26日电，据法新社26日最新消息，墨西哥卫生部长称，可能已有81人死于猪流感（又称甲型H1N1流感）．若有一人患某种流感，经过两轮传染后共有81人患流感，则每轮传染中平均一人传染了　 　人，若不加以控制，以这样的速度传播下去，经三轮传播，将有　 　人被感染．
22．已知等腰△ABC的三边长为a，b，c，其中a，b满足：a2+b2＝6a+12b﹣45，求△ABC的周长．
23．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12米的住房墙，另外三边用25米长的建筑材料围成的，为了方便进出，在垂直于住房墙的一边留一扇1米宽的门．当所围矩形与墙垂直的一边长为多少时，猪舍面积为80平方米？
24．某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，如果这种商品每件的销售价每提高0.5元，其销售量就减少10件．
问（1）应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润为640元？
（2）店主想要获得每天800元的利润，小红同学认为不可能．如果你同意小红同学的说法吗？（说明理由）
25．已知关于x的方程x2﹣4x+m＝0的一个根为2+．
（1）求m的值及方程的另一个根．
（2）设方程的两个根为x1，x2，求x12020x22021+x1的值．
26．已知：x1，x2是关于x的方程x2+mx﹣m＝0的两个实数根，x1，x2满足（x1﹣x2）2＝5，且x1 x2＜0．
（1）求m的值．
（2）不解方程，求3x1﹣x24．
27．先阅读，再解决问题：
【阅读材料】通过解一元二次方程x2﹣3x+2＝0，可得根是x1＝1，x2＝2．由于一个根比另一个根大1，所以我们称一元二次方程x2﹣3x+2＝0为邻根方程．其实，不需解方程就可以判定一个一元二次方程是否是邻根方程．方法如下：
若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，设这两个根是α和β（α＞β），则α+β＝﹣，αβ＝．
∵α＞β，∴α﹣β＞0．
∴α﹣β＝＝＝＝＝．
显然，当α﹣β＝1时，原方程即为邻根方程．
【问题解决】下列方程都有两个实数根，不解方程，通过计算，判断是否为邻根方程．
（1）x2+x＝0； （2）4x2+16x+15＝0．
28．某工厂生产并销售A，B两种型号车床共14台，生产并销售1台A型车床可以获利10万元；如果生产并销售不超过4台B型车床，则每台B型车床可以获利17万元，如果超出4台B型车床，则每超出1台，每台B型车床获利将均减少1万元．设生产并销售B型车床x台．（1）当x＞4时，完成以下两个问题：
①请补全下面的表格：
A型 B型
车床数量/台 　 　 x
每台车床获利/万元 10 　 　
②若生产并销售B型车床比生产并销售A型车床获得的利润多70万元，问：生产并销售B型车床多少台？
（2）当0＜x≤14时，设生产并销售A，B两种型号车床获得的总利润为W万元，如何分配生产并销售A，B两种车床的数量，使获得的总利润W最大？并求出最大利润．
29．已知关于x的一元二次方程2mx2﹣（5m﹣1）x+3m﹣1＝0．
（1）求证：无论m为任意实数，方程总有实数根；
（2）如果这个方程的根的判别式的值等于2，求m的值．
30．解方程：
（1）+1＝；
（2）3（x﹣2）2﹣27＝0；
（3）2x2﹣4x﹣3＝0．
31．已知关于x的一元二次方程kx2+x﹣3＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）设方程两个实数根分别为x1，x2，且满足（x1+x2）2+x1 x2＝4，求k的值．
32．已知一元二次方程两个根为a，b，求下列各式的值．
（1）；
（2）．
33．为了绿化学校附近的荒山，某校初三年级学生连续三年春季上山植树，至今已成活了2000棵，已知这些学生在初一时种了400棵，若平均成活率95%，求这个年级两年来植树数的年平均增长率．（只列式不计算）
34．在丝绸博览会期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长60cm，宽40cm，中间镶有宽度相同的三条丝绸条带．
（1）若丝绸条带的面积为650cm2，求丝绸条带的宽度；
（2）已知该工艺品的成本是40元/件，如果以单价为100元/件销售，那么每天可售出200件，另外每天除工艺品的成本外所需支付的各种费用是2000元，根据销售经验，如果将销售单价降低1元，每天可多售出20件，请问该公司每天把销售单价定为多少元时，当日所获利润为22500元．
参考答案
1．解：∵关于x的方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴，
解得：m＜1且m≠0．
故选：C．
2．解：将一元二次方程2x2﹣1＝3x化成一般形式是2x2﹣3x﹣1＝0，二次项的系数和一次项系数分别是2和﹣3，
故选：D．
3．解：A、x（x+3）＝0，是一元二次方程，符合题意；
B、x2﹣4y＝0，含有两个未知数，最高次数是2，不是一元二次方程，不符合题意；
C、x2﹣＝5，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
D、ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数），一次项系数可以为任意数，二次项系数一定不能为0，此方程才为一元二次方程，但题目中并没给出这个条件，故此方程不一定是一元二次方程，不符合题意；
故选：A．
4．解：将x＝﹣1代入方程，得：a﹣b﹣1＝0，
则a﹣b＝1，
所以原式＝2021+3（a﹣b）
＝2021+3×1
＝2021+3
＝2024，
故选：D．
5．解：方程2x2﹣x＝0，
分解因式得：x（2x﹣1）＝0，
可得x＝0或2x﹣1＝0，
解得：x1＝0，x2＝．
故选：C．
6．解：设x2+2x＝y，则原方程化为y（y﹣2）﹣8＝0，
解得：y＝4或﹣2，
当y＝4时，x2+2x＝4，此时方程有解，
当y＝﹣2时，x2+2x＝﹣2，此时方程无解，舍去，
所以x2+2x＝4．
故选：B．
7．解：设x人参加这次聚会，则每个人需握手：x﹣1（次）．
根据题意，得＝15．
故选：C．
8．解：A．由x2﹣2x﹣99＝0得x2﹣2x＝99，则x2﹣2x+1＝99+1，即（x﹣1）2＝100，此选项正确，不符合题意；
B．由2t2﹣7t﹣4＝0得2t2﹣7t＝4，则t2﹣t＝2，继而得t2﹣t+＝2+，即（t﹣）2＝，此选项正确，不符合题意；
C．由x2+8x+9＝0得x2+8x＝﹣9，则x2+8x+16＝﹣9+16，即（x+4）2＝7，此选项错误，符合题意；
D．由3x2﹣4x﹣2＝0得3x2﹣4x＝2，则x2﹣x＝，继而得x2﹣x+1＝+1，即（x﹣1）2＝，此选项正确，不符合题意；
故选：C．
9．解：设该公司5、6两个月营业额的月均增长率为x，
则可列方程为2500[1+（1+x）+（1+x）2]＝9100，
故选：D．
10．解：设y＝a2+b2（y≥0），则由原方程得到y（y﹣3）＝4．
整理，得（y﹣4）（y+1）＝0．
解得y＝4或y＝﹣1（舍去）．
即a2+b2的值为4．
故选：A．
11．解：（x﹣3）2＝4，
x﹣3＝±2，
解得x1＝5，x2＝1．
若x＝5，则三角形的三边分别为4，5，6，其周长为4+5+6＝15；
若x＝1时，6﹣4＝2，不能构成三角形，
则此三角形的周长是15．
故选：C．
12．解：由表知当x＝﹣1和x＝2时，ax2﹣bx＝2，
∴ax2﹣bx＝2的解为x1＝﹣1，x2＝2，
故选：D．
13．解：设DN＝m，则NC＝1﹣m．
由题意可知：△ADN≌△APN，H是BC的中点，
∴DN＝NP＝m，CH＝0.5．
∵S正方形＝S△ABH+S△ADN+S△CHN+SANH，
∴1×1＝×1×+×1×m+××（1﹣m）+××m，
∴m＝．
∵x2+x﹣1＝0的解为：x＝﹣±，
∴取正值为x＝．
∴这条线段是线段DN．
故选：B．
14．解：由题意得：Δ＞0，
∴（﹣2）2﹣4m×1＞0，
整理得：m＜1．
又∵m≠0，
∴实数m的取值范是m＜1且m≠0．
故答案是：m＜1且m≠0．
15．解：∵x1+x2＝＝5，x1 x2＝＝﹣2，
∴b＝10，c＝﹣4．
故答案是：10；﹣4．
16．解：∵关于x的一元二次方程xm﹣1+4x﹣n＝0有两个相等的实数根，
∴m﹣1＝2，Δ＝b2﹣4ac＝16+4n＝0，
解得m＝3，n＝﹣4，
∴m+n＝﹣1，
故答案为﹣1．
17．解：设x1、x2是方程x2+x+p＝0的两根．
∵方程x2+x+p＝0二次项系数是1，一次项系数是1，常数项是p，
∴x1+x2＝﹣1，x1 x2＝p；
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1 x2＝1﹣4p＝32，
解得，p＝﹣2．
故答案是：﹣2．
18．解：根据题意，可列出关于x的方程为120（1﹣x）2＝80，
故答案为：120（1﹣x）2＝80．
19．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣a2＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣2）2+4a2＞0．
∴a是任意实数．
根据题意知，x1+x2＝2，x1 x2＝﹣a2，
则由+＝﹣8得：＝＝﹣8．
解得a＝±．
故答案是：2；±．
20．解：∵关于x的方程mx2﹣4x﹣5＝0的两个实数根分别为x1和x2，且x1＝n，
∴mn2﹣4n﹣5＝0，即mn2﹣4n＝5，
∵mn2﹣4n+m＝6，
∴5+m＝6，
解得m＝1，
则方程为x2﹣4x﹣5＝0，
∴x1+x2＝4，x1x2＝﹣5，
∴x12+x22
＝（x1+x2）2﹣2x1x2
＝42﹣2×（﹣5）
＝16+10
＝26，
故答案为：26．
21．解：患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然是患者，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了x个人．
依题意列方程：1+x+x（1+x）＝81，即（1+x）2＝81，
解方程得：x1＝8，x2＝﹣10（舍去），
答：每轮传染中平均一个人传染了8个人，
经三轮传播，将有（1+x）3＝（1+8）3＝729人被感染．
22．解：a2+b2＝6a+12b﹣45，
a2﹣6a+9+b2﹣12b+36＝0，
（a﹣3）2+（b﹣6）2＝0，
则a﹣3＝0，b﹣6＝0，
解得，a＝3，b＝6，
∵△ABC为等腰三角形，
∴三边长分别为3、6、6，
∴△ABC的周长为3+6+6＝15．
23．解：设所围矩形与墙垂直的一边长为x米时，猪舍面积为80平方米，此时所围矩形与墙平行的一边长为（25+1﹣2x）米，
依题意得：x（25+1﹣2x）＝80，
整理得：x2﹣13x+40＝0，
解得：x1＝5，x2＝8．
当x＝5时，25+1﹣2x＝25+1﹣2×5＝16＞12，不符合题意，舍去；
当x＝8时，25+1﹣2x＝25+1﹣2×8＝10＜12，符合题意．
答：当所围矩形与墙垂直的一边长为8米时，猪舍面积为80平方米．
24．解：（1）设售价定为x元，则每件的销售利润为（x﹣8）元，每天的销售量为200﹣10×＝（400﹣20x）件，
依题意得：（x﹣8）（400﹣20x）＝640，
整理得：x2﹣28x+192＝0，
解得：x1＝12，x2＝16．
答：应将每件售价定为12元或16元时，才能使每天利润为640元．
（2）同意，理由如下：
依题意得：（x﹣8）（400﹣20x）＝800，
整理得：x2﹣28x+200＝0．
∵Δ＝（﹣28）2﹣4×1×200＝﹣16＜0，
∴该方程没有实数根，
∴小红的说法正确．
25．解：设方程的另一个根为a，
则由根与系数的关系得：a+2+＝4，（2+）a＝m，
解得：a＝2﹣，m＝1，
即m＝1，方程的另一个根为2﹣．
（2）x1，x2是方程x2﹣4x+1＝0的两个根，
则x1+x2＝4，x1 x2＝1，
∴x12020x22021+x1＝（x1x2）2020x2+x1＝x2+x1＝4．
26．解：∵x1，x2是关于x的方程x2+mx﹣m＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣m，x1x2＝﹣m，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝m2+4m，
∴m2+4m＝5，
解得m1＝1，m2＝﹣5，
如果m2＝﹣5，那么x1x2＝5＞0，不合题意舍去，
当m1＝1时，满足Δ＞0，且x1 x2＜0，
∴m＝1；
（2）当m＝1时，原方程即为x2+x﹣1＝0，
∴x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣1，＝1﹣x1，＝1﹣x2，
∴+＝2﹣（x1+x2）＝3，
∴3x1﹣x24
＝3x1﹣（1﹣x2）2
＝3x1﹣1+2x2﹣x22
＝2x1+2x2﹣（1﹣x1+）
＝2（x1+x2）﹣（+）
＝﹣2﹣3
＝﹣5．
27．解：（1）x2+x＝0．
这里a＝1，b＝1，c＝0，
∵，
∴x2+x＝0是邻根方程．
（2）4x2+16x+15＝0．
这里a＝4，b＝16，c＝15，
∵，
∴4x2+16x+15＝0是邻根方程．
28．解：（1）①由题意得，生产并销售B型车床x台时，生产并销售A型车床（14﹣x）台，当x＞4时，每台B型车床可以获利[17﹣（x﹣4）]＝（21﹣x）万元．
故答案应为：14﹣x，21﹣x；
②由题意得方程10（14﹣x）+70＝[17﹣（x﹣4）]x，
解得x1＝10，x2＝21（舍去），
答：生产并销售B型车床10台；
（2）当0＜x≤4时，总利润W＝10（14﹣x）+17x，
整理得，W＝7x+140，
∵7＞0，
∴当x＝4时总利润W最大为7×4+140＝168（万元）；
当x＞4时，总利润
W＝10（14﹣x）+[17﹣（x﹣4）]x，
整理得W＝﹣x2+11x+140，
∵﹣1＜0，
∴当x＝﹣＝5.5时总利润W最大，
又由题意x只能取整数，
∴当x＝5或x＝6时，
∴当x＝5时，总利润W最大为﹣52+11×5+140＝170（万元）
又∵168＜170，
∴当x＝5或x＝6时，总利润W最大为170万元，
而14﹣5＝9，
14﹣6＝8，
答：当生产并销售A，B两种车床各为9台、5台或8台、6台时，使获得的总利润W最大；最大利润为170万元．
29．解：（1）关于x的一元二次方程2mx2﹣（5m﹣1）x+3m﹣1＝0．
∵Δ＝（5m﹣1）2﹣8m（3m﹣1）＝（m﹣1）2≥0，
∴无论m为任何实数，方程总有实根．
（2）由题意得，Δ＝（m﹣1）2＝2，
解得m＝1±．
30．解：（1）原方程化为：+1＝，
方程两边都乘x（x﹣1），得（1﹣x）（x﹣1）+x（x﹣1）＝2，
解得：x＝3，
检验：当x＝3时，x（x﹣1）≠0，所以x＝3是原方程的解，
即原方程的解是x＝3；
（2）3（x﹣2）2﹣27＝0，
3（x﹣2）2＝27，
（x﹣2）2＝9，
开方，得x﹣2＝±3，
解得：x1＝5，x2＝﹣1；
（3）2x2﹣4x﹣3＝0，
∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣3）＝40＞0，
∴x＝＝，
解得：x1＝，x2＝．
31．解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0且k≠0，即12﹣4k×（﹣3）＞0且k≠0，
解得k＞﹣且k≠0；
（2）由根与系数的关系可得x1+x2＝﹣，x1 x2＝﹣，
由题意可得（﹣）2﹣＝4，即4k2+3k﹣1＝0，
解得k＝或k＝﹣1，
经检验可知：k1＝，k2＝﹣1都是原分式方程的解，
由（1）可知k＞﹣且k≠0，
∴k＝．
32．解：∵a，b是的两个根，
∴，，，
∴．
（1）＝
＝
＝
＝8；
（2）＝
＝
＝
＝6．
33．解：设这个年级两年来植树数的年平均增长率为x，
由题意得：初二时植树数为：400（1+x），
那么这些学生在初三时的植树数为：400（1+x）2，由题意得：
95%[400+400（1+x）+400（1+x）2]＝2000．
34．解：（1）设条带的宽度为xcm，
根据题意，得（60﹣2x）（40﹣x）＝60×40﹣650．
整理，得x2﹣70x+325＝0，
解得x1＝5，x2＝65（舍去）．
答：丝绸条带的宽度为5cm．
（2）设每件工艺品降价y元出售，
由题意得：（100﹣y﹣40）（200+20y）﹣2000＝22500．
解得：y1＝y2＝25．
所以售价为100﹣25＝75（元）．
答：当售价定为75元时能达到利润22500元