(共20张PPT)
菱形的性质和判定的应用
人教版 八年级下
第十八章 平行四边形
18.2.4
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【2021·十堰】如图，已知△ABC中，D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，过点A作AF∥BC交直线DE于点F，连接AE，CF.
(1)求证：四边形AECF是菱形；
1
证明：在△ABC中，点D是AC的中点，∴AD＝DC.
∵AF∥BC，∴∠FAD＝∠ECD，∠AFD＝∠CED.
∴△AFD≌△CED(AAS)．
∴AF＝EC.
∴四边形AECF是平行四边形．
又∵EF⊥AC，
∴平行四边形AECF是菱形．
(2)若CF＝2，∠FAC＝30°，∠B＝45°，求AB的长．
解：如图，过点A作AG⊥BC于点G.
∵四边形AECF是菱形，CF＝2，∠FAC＝30°，
∴AE＝CF＝2，∠FAE＝2∠FAC＝60°.
∵AF∥BC，
∴∠AEB＝∠FAE＝60°.
∴∠GAE＝30°.
【2021·呼和浩特】如图，四边形ABCD是平行四边形，BE∥DF且分别交对角线AC于点E，F.
(1)求证△ABE≌△CDF；
2
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD.
∴∠BAE＝∠DCF.
∵BE∥DF，
∴∠BEC＝∠DFA.
∴180°－∠BEC＝180°－∠DFA.
∴∠AEB＝∠CFD.
解：当四边形ABCD是矩形时，
四边形BEDF是平行四边形；
当四边形ABCD是菱形时，四边形BEDF是菱形．
(2)当四边形ABCD分别是矩形和菱形时，请分别说出四边形BEDF的形状(无需说明理由)．
【2021·聊城】如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在BD上，满足∠EAO＝∠DCO.
(1)求证：四边形AECD是平行四边形；
3
(2)若AB＝BC，CD＝5，AC＝8，求四边形AECD的面积．
【2020·娄底】如图，在 ABCD中，BC＝2AB，AB⊥AC，分别在边BC，AD上的点E与点F关于AC对称，连接EF，AE，CF，DE.
(1)试判断四边形AECF的形状，并说明理由；
4
解：四边形AECF是菱形．
理由如下：设AC，EF交于点O，如图所示．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC.
∴∠OAF＝∠OCE.
∵点E与点F关于AC对称，
∴AE＝AF，CE＝CF，OE＝OF.
(2)求证AE⊥DE.
证明：∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°.
∴∠BAE＋∠EAC＝∠B＋∠ACB＝90°.
由(1)知AE＝EC，
∴∠EAC＝∠ACB.
∴∠BAE＝∠B.
∴AE＝BE.(共34张PPT)
测素质
平行四边形的性质和判定
课题
人教版 八年级
集训课堂
第十八章 平行四边形
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答 案 呈 现
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答 案 呈 现
①②④
A
1
如图，在 ABCD中，AC＝4 cm.若△ACD的周长是
12 cm，则平行四边形ABCD的周长是( )
A．16 cm
B．18 cm
C．20 cm
D．24 cm
D
2
【教材P49习题T3变式】【2020·益阳】如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AC＝6，BD＝8，则AB的长可能是( )
A．10
B．8
C．7
D．6
D
3
【2020·温州】如图，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，点D在AC边上，以CB，CD为边作 BCDE，则∠E的度数为( )
A．40°
B．50°
C．60°
D．70°
4
A
【教材P51习题T12变式】如图，在 ABCD中，已知∠ODA＝90°，AC＝10 cm，BD＝6 cm，则AD的长为( )
A．4 cm
B．5 cm
C．6 cm
D．8 cm
D
5
把直线a沿水平方向平移4 cm，平移后为直线b，则直线a与b之间的距离( )
A．等于4 cm
B．小于4 cm
C．大于4 cm
D．小于或等于4 cm
【点拨】
分两种情况：
如图①，若直线a与水平方向垂直，则直线a与b之间的距离为4 cm；
如图②，若直线a与水平方向不垂直，则直线a与b之间的距离小于4 cm.
综上可得，直线a与b之间的距离小于或等于4 cm.
C
6
如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B，C，连接AB分别以A，C为圆心，BC，AB的长为半径作弧，两弧交于点D，分别连接AD，CD，若
∠ABC＋∠ADC＝120°，则∠A的度数是( )
A．100°
B．110°
C．120°
D．125°
7
D
8
C
9
5
【教材P49练习T1变式】【2021·邵阳】如图，点D，E，F分别为△ABC三边的中点．若△ABC的周长为10，则△DEF的周长为________．
【2020·沈阳】如图，在平行四边形ABCD中，点M为边AD上一点，AM＝2MD，点E，F分别是BM，CM的中点，若EF＝6，则AM的长为________．
10
8
AF＝CE(答案不唯一)
11
如图，点E，F分别在 ABCD的边BC，AD上，AC，EF交于点O，请你添加一个条件(只添加一个即可)，使四边形AECF是平行四边形，你所添加的条件是________________________．
12
【教材P51习题T12变式】如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O且AB＝12，AC＝10，BD＝26，则 ABCD的面积为________．
120
13
如图，已知 ABCD与 DCFE的周长相等，且∠BAD＝60°，∠CFE＝110°，则下列结论：
①四边形ABFE为平行四边形；
②△ADE是等腰三角形；
③ ABCD与 DCFE全等；
④∠DAE＝25°.
其中正确的结论是________(填正确结论的序号)．
①②④
14
(12分)【2020·广西北部湾经济区】如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF.
(1)求证△ABC≌△DEF；
(2)连接AD，求证：四边形ABED是平行四边形．
证明：由(1)得△ABC≌△DEF，
∴∠B＝∠DEF.
∴AB∥DE.
又∵AB＝DE，
∴四边形ABED平行四边形．
15
(12分)【2020·重庆】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，分别过点A，C作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F.AC平分∠DAE.
(1)若∠AOE＝50°，求∠ACB的度数；
解：∵AE⊥BD，∴∠AEO＝90°.
∵∠AOE＝50°，∴∠EAO＝40°.
∵AC平分∠DAE，∴∠DAC＝∠EAO＝40°.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC.
∴∠ACB＝∠DAC＝40°.
(2)求证AE＝CF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC.
∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEO＝∠CFO＝90°.
又∵∠AOE＝∠COF，∴△AEO≌△CFO(AAS)．
∴AE＝CF.
16
(12分)在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E，F分别是BC，AC的中点，延长BA到点D，使得AB＝2AD，连接DE，DF，AE，EF，AF与DE交于点O.
(1)求证：AF与DE互相平分；
证明：∵E，F分别是BC，AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线．
∴EF∥AB，AB＝2EF.
又∵AB＝2AD，∴AD＝EF.
又∵AD∥EF，∴四边形ADFE是平行四边形．
∴AF与DE互相平分．
(2)若AB＝6，BC＝10，求DE的长．
17
(12分)【2021·绍兴】问题：如图，在 ABCD中，AB＝8，AD＝5，∠DAB，∠ABC的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F，求EF的长．
答案：EF＝2.
探究：
(1)把“问题”中的条件“AB＝8”去掉，其余条件不变．
①当点E与点F重合时，求AB的长；
②当点E与点C重合时，求EF的长．
解：①如图所示．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，BC＝AD＝5，AB∥CD.
∴∠DEA＝∠BAE.
∵AE平分∠DAB，∴∠DAE＝∠BAE.
∴∠DEA＝∠DAE. ∴DE＝AD＝5.
同理，CF＝BC＝5.
∵点E与点F重合，∴AB＝CD＝DE＋CF＝10.
②如图所示．
∵点E与点C重合，DE＝AD＝5，
∴DE＝DC＝5.
∵CF＝BC＝5，∴点F与点D重合，
∴EF＝DC＝5.(共16张PPT)
菱形的判定
人教版 八年级下
第十八章 平行四边形
18.2.4
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4
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C
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D
答 案 呈 现
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C
如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，且OB＝OD，请你添加一个适当的条件：______________________，使四边形ABCD成为菱形(只需添加一个即可) .
1
OA＝OC(答案不唯一)
【2020·南通】下列条件中，能判定 ABCD是菱形的是( )
A．AC＝BD
B．AB⊥BC
C．AD＝BD
D．AC⊥BD
D
2
【2021·无锡】如图，D，E，F分别是△ABC各边中点，则以下说法错误的是( )
A．△BDE和△DCF的面积相等
B．四边形AEDF是平行四边形
C．若AB＝BC，则四边形AEDF是菱形
D ．若∠A＝90°，则四边形AEDF是矩形
3
C
【2021·北京】如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AF＝EC.只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是_________________________(写出一个即可)．
4
AE＝AF(答案不唯一)
5
【教材P57思考改编】下列说法中不正确的是( )
A．四边相等的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形
D．一组邻边相等的平行四边形是菱形
C
【点拨】
利用对角线判定菱形时，如果已知平行四边形，那么只需对角线互相垂直；如果已知四边形，那么需要对角线互相垂直平分．
6
【2021·丹东】如图，在平行四边形ABCD中，点O是AD的中点，连接CO并延长交BA的延长线于点E，连接AC，DE.
(1)求证：四边形ACDE是平行四边形；
∴△AEO≌△DCO(AAS)．
∴AE＝CD.
∵AE∥DC，
∴四边形ACDE是平行四边形．
(2)若AB＝AC，判断四边形ACDE的形状，并说明理由．
解：四边形ACDE是菱形．理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD.
∵AB＝AC，
∴CD＝AC.
∴四边形ACDE是菱形．
【2021·遂宁】如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线EF与BA，DC的延长线分别交于点E，F.
(1)求证AE＝CF；
7
(2)请再添加一个条件，使四边形BFDE是菱形，并说明理由．
解：当EF⊥BD时，四边形BFDE是菱形．
理由如下：
如图所示．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD.
∵△AOE≌△COF，
∴OE＝OF.
∴四边形BFDE是平行四边形．
∵EF⊥BD，
∴四边形BFDE是菱形．
(答案不唯一)(共15张PPT)
三角形的中位线
人教版 八年级下
第十八章 平行四边形
18.1.4
20
1
2
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5
B
6
答 案 呈 现
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5
B
【教材P49练习T1改编】【2021·青海】如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，若△DEF的周长为10，则△ABC的周长为________．
1
20
【教材P49练习T1变式】【2021·衢州】如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝5，BC＝6，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，连接DE，EF，则四边形ADEF的周长为( )
A．6
B．9
C．12
D．15
B
2
【教材P49练习T1变式】【2021·梧州】如图，在Rt△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，AC＝8，BC＝6，则四边形CEDF的面积是( )
A．6
B．12
C．24
D．48
3
B
【2021·湘潭】如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AB的中点．已知BC＝10，则OE＝________．
4
5
如图，E为 ABCD中DC边的延长线上一点，且CE＝DC，连接AE，分别交BC，BD于点F，G，连接AC交BD于O，连接OF.判断AB与OF的位置关系和数量关系，并证明你的结论．
5
6
(2)若BD，CE是△ABC的内角平分线，(1)中的其余条件不变(如图②)，则线段FG与△ABC的三边又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明．(共20张PPT)
平行四边形及其边的性质
人教版 八年级下
第十八章 平行四边形
18.1.1
C
1
2
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4
5
B
B
6
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8
C
答 案 呈 现
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C
D
【教材P51习题T11改编】如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC上的点，且DE∥AC，EF∥AB，DF∥BC，则图中平行四边形共有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
1
C
【点拨】
∵DE∥AC，EF∥AB，DF∥BC，∴图中的平行四边形有 ADEF， BEFD， DECF.
若图中已被分割为多个三角形，看相邻两个三角形能否组成平行四边形，逐个排查即可得出结果．
【2021·荆门】如图，将一副三角板在平行四边形ABCD中作如下摆放，∠1＝30°，那么∠2＝( )
A．55°
B．65°
C．75°
D．85°
C
2
【点拨】
如图，延长EH交AB于点N.
∵△EFH是等腰直角三角形，
∴∠FHE＝45°.
∴∠NHB＝∠FHE＝45°.
∵∠1＝30°，
∴∠HNB＝180°－∠1－∠NHB＝105°.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB.
∴∠2＋∠HNB＝180°.
∴∠2＝180°－∠HNB＝75°.
【2021·恩施州】如图，在 ABCD中，AB＝13，AD＝5，AC⊥BC，则 ABCD的面积为( )
3
B
4
C
【教材P50习题T8变式】【2021·天津】如图， ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是(0，1)，(－2，－2)，
(2，－2)，则顶点D的坐标是( )
A．(－4，1)
B．(4，－2)
C．(4，1)
D．(2，1)
【2021·贵阳】如图，在 ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，若AB＝3，AD＝4，则EF的长是( )
A．1
B．2
C．2.5
D．3
5
B
【点拨】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AB＝CD＝3.
∴∠DFC＝∠FCB.
又∵CF平分∠BCD，
∴∠DCF＝∠FCB.
∴∠DFC＝∠DCF.
∴DF＝DC＝3.
同理，AE＝AB＝3.
∵AD＝4，
∴AF＝4－3＝1.
∴EF＝3－1＝2.
在 ABCD中，∠DAB的平分线分边BC为3 cm和4 cm两部分，则 ABCD的周长为( )
A．20 cm
B．22 cm
C．10 cm
D．20 cm或22 cm
6
D
【点拨】
如图①，BE＝3 cm，CE＝4 cm.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝CD，AD∥BC.
∴∠DAE＝∠AEB.
∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE.
∴∠BAE＝∠AEB.
∴AB＝BE＝3 cm.
∴平行四边形ABCD的周长＝(3＋3＋4)×2＝20(cm)．
如图②，BE＝4 cm，CE＝3 cm.
同理可得AB＝BE＝4 cm，
∴平行四边形ABCD的周长＝(4＋4＋3)×2＝22(cm)．
本题利用了分类讨论思想，AE把BC分成3 cm和4 cm两部分，没有明确哪部分是3 cm，哪部分是4 cm，故分两种情况．
【2021·桂林】如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD的中点，EF过点O，交AB于点E，交CD于点F.求证：
(1)∠1＝∠2；
7
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD.
∴∠1＝∠2.
(2)△DOF≌△BOE.
【2021·怀化】已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，点E，A，C，F在同一直线上，AE＝CF.求证：
(1)△ADE≌△CBF；
8
(2)ED∥BF.
解：由(1)知△ADE≌△CBF，
∴∠E＝∠F.
∴ED∥BF.(共20张PPT)
练素养1
构造三角形中位线的常用方法
课题
人教版 八年级
集训课堂
第十八章 平行四边形
1
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1
如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝8，AD＝6，点M，N分别为线段BC，AB上的动点(含端点，但点M不与点B重合)，点E，F分别为DM，MN的中点．求EF长度的最大值．
2
如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，BD⊥AC于点D，CE平分∠ACB，交AB于点E，交BD于点F.求证：
(1)△BEF是等腰三角形；
证明：在△ABC中，∵AB＝BC，BD⊥AC于点D，∠ABC＝90°，
∴∠ACB＝45°.
∵CE平分∠ACB，
∴∠ECB＝∠ACE＝22.5°.
∴∠BEF＝∠CFD＝∠BFE＝67.5°.
∴BE＝BF，即△BEF是等腰三角形．
3
如图，在△ABC中，AD是中线，AE是∠BAC的平分线，CF⊥AE于点F，AB＝10，AC＝6.求DF的长．
4
(1)如图①，在四边形ABCD中，AB＝CD，E，F分别是AD，BC的中点，连接FE并延长，与BA的延长线、CD的延长线分别交于点M，N.
求证∠BME＝∠CNE.
【点拨】
(1)中欲证相等的两个角所在三角形不全等，考虑到E，F分别是AD，BC的中点，故可连接BD，取其中点构造三角形中位线，利用三角形中位线的性质进行等角的转换．
(2)如图②，在△ABC中，F是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线FE交BA的延长线于点G.若
AB＝DC＝2，∠FEC＝45°，求EF的长．
【点拨】
(2)的解法可类比(1)．(共9张PPT)
矩形的性质和判定的应用
人教版 八年级下
第十八章 平行四边形
18.2.2
1
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如图，在 ABCD中，AC＝8，BD＝12，点E，F在对角线BD上，点E从点B出发以每秒1个单位的速度向点D运动，同时点F从点D出发以相同速度向点B运动，到端点时运动停止，运动时间为t秒．
(1)求证：四边形AECF为平行四边形；
1
(2)求t为何值时，四边形AECF为矩形．
当点E在OD上，点F在OB上时，BE＝DF＝12－2＝10.
综上所述，当t＝2或10时，四边形AECF为矩形．
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E，F两点在边BC上，AB∥DE，AF∥DC，且四边形AEFD是平行四边形．
(1)AD与BC有何数量关系？请说明理由．
2
解：BC＝3AD.理由如下：
∵AD∥BC，AB∥DE，AF∥DC，
∴四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形．
∴AD＝BE，AD＝FC.
又∵四边形AEFD是平行四边形，
∴AD＝EF，
∴AD＝BE＝EF＝FC，
∴BC＝3AD.
证明：∵四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形，
∴DE＝AB，AF＝DC.
又∵AB＝DC，∴DE＝AF.
又∵四边形AEFD是平行四边形，
∴ AEFD是矩形．
(2)当AB＝DC时，求证： AEFD是矩形．(共18张PPT)
菱形性质的应用
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第十八章 平行四边形
18.2.3
1
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3
4
【中考·百色】如图，在菱形ABCD中，作BE⊥AD，CF⊥AB，分别交AD，AB的延长线于点E，F.
(1)求证AE＝BF；
1
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AD∥BC.
∴∠A＝∠CBF.
∵BE⊥AD，CF⊥AB，
∴∠AEB＝∠BFC＝90°.
∴△AEB≌△BFC(AAS)．
∴AE＝BF.
(2)若点E恰好是AD的中点，AB＝2，求BD的长．
解：∵E是AD的中点，且BE⊥AD，
∴直线BE为AD的垂直平分线．
∴BD＝AB＝2.
如图，四边形ABCD为菱形，E为对角线AC上的一个动点(不与点A，C重合)，连接DE并延长交射线AB于点F，连接BE.
2
(1)求证△DCE≌△BCE；
证明：∵△DCE≌△BCE，
∴∠CDE＝∠EBC.
∵CD∥AB，
∴∠CDE＝∠AFD.
∴∠AFD＝∠EBC.
(2)求证∠AFD＝∠EBC；
解：①当点F在线段AB上时，∵∠EFB为钝角，
∴只能是FE＝FB.
设∠BEF＝∠EBF＝x°，则有∠AFD＝2x°，易得∠AFD＝∠FDC＝∠CBE，
∴x＋2x＝90，即x＝30.
∴∠EFB＝120°.
(3)若∠DAB＝90°，当△BEF为等腰三角形时，求∠EFB的度数．
②当点F在线段AB的延长线上时，
∵∠EBF为钝角，∴只能是BE＝BF.
设∠BEF＝∠BFE＝y°，
在△EBF中，有y＋y＋y＋90＝180，
∴y＝30.
∴∠EFB＝30°.
综上，∠EFB＝30°或120°.
如图，在 ABCD中，AE是BC边上的高，将△ABE沿BC方向平移，使点E与点C重合，得到△GFC.
(1)求证BE＝DG；
3
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC.
∵△GFC是由△ABE沿BC方向平移得到的，
∴AB∥GF，BE＝FC.
∴CD∥GF.
∵GD∥FC，∴四边形CDGF是平行四边形．
∴DG＝FC.
∴BE＝DG.
(2)若四边形ABFG是菱形，且∠B＝60°，求AB:BC.
如图，在边长为m的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，E是AD上不同于A，D两点的一动点，F是CD上一动点，且AE＋CF＝m.
(1)求证：无论E，F怎样移动，△BEF总是等边三角形；
4
(2)求△BEF面积的最小值．(共18张PPT)
从对角线或一组对边的角度判定平行四边形
人教版 八年级下
第十八章 平行四边形
18.1.3
5；4
1
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5
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B
答 案 呈 现
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A
C
若AC＝10，BD＝8，AC与BD相交于点O，则当AO＝______，DO＝______时，四边形ABCD是平行四边形．
1
5
4
如图，E是 ABCD的边AD延长线上一点，连接BE，CE，BD，BE交CD于点F.添加以下条件，不能判定四边形BCED为平行四边形的是( )
A．∠ABD＝∠DCE
B．DF＝CF
C．∠AEB＝∠BCD
D．∠AEC＝∠CBD
C
2
【点拨】
由 ABCD可得AB∥CD，AD∥BC，
∴∠ABD＝∠CDB，∠DEB＝∠CBF，∠ADB＝∠CBD.
A．由∠ABD＝∠DCE，结合∠ABD＝∠CDB可得∠CDB＝∠DCE，∴BD∥CE.
又∵DE∥BC，∴四边形BCED为平行四边形．
B．由DF＝CF，∠DFE＝∠CFB，∠DEB＝∠CBF，可得△DEF≌△CBF(AAS)．
∴EF＝BF.
∴四边形BCED为平行四边形．
D．由∠AEC＝∠CBD，结合∠ADB＝∠CBD可得∠ADB＝∠AEC，∴BD∥CE.
又∵DE∥BC，∴四边形BCED为平行四边形．
由C中条件无法判定四边形BCED为平行四边形．
【2020·衡阳】如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是( )
A．AB∥DC，AD∥BC
B．AB＝DC，AD＝BC
C．AB∥DC，AD＝BC
D．OA＝OC，OB＝OD
3
C
【2021·河北】如图①， ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角．要在对角线BD上找点N，M，使四边形ANCM为平行四边形，现有图②中的甲、乙、丙三种方案
4
则正确的方案( )
A．甲、乙、丙都是
B．只有甲、乙才是
C．只有甲、丙才是
D．只有乙、丙才是
A
【点拨】
方案甲：连接AC，则AC过点O，利用“对角线互相平分”判定四边形ANCM是平行四边形；
方案乙：通过证△ABN≌△CDM得出AN＝CM，又易得AN∥CM，利用“一组对边平行且相等”判定四边形ANCM是平行四边形；
方案丙：易证AN＝CM，AN∥CM，利用“一组对边平行且相等”判定四边形ANCM是平行四边形．
5
【教材P46例3变式】如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于O，E，F是对角线AC上的两点，给出下列4个条件：①OE＝OF；②DE＝BF；③∠ADE＝∠CBF；④∠ABE＝∠CDF.
其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
B
【点拨】
给出条件①OE＝OF，由题易知OD＝OB，∴四边形DEBF为平行四边形，故①正确．
给出条件③∠ADE＝∠CBF，由题易知∠DAE＝∠BCF，AD＝BC，
∴△ADE≌△CBF(ASA)．
∴DE＝BF，∠DEA＝∠BFC.
∴∠DEO＝∠BFO.
∴DE∥BF.
∴四边形DEBF为平行四边形，故③正确．
给出条件④，理由同③，亦可判定四边形DEBF为平行四边形．
只有给出条件②无法判定四边形DEBF为平行四边形．
6
【2020·淮安】如图，在 ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AC与EF相交于点O，且AO＝CO.
(1)求证△AOF≌△COE；
(2)连接AE，CF，则四边形AECF________(填“是”或“不是”)平行四边形．
是
【教材P47练习T4改编】【2021·岳阳】如图，在四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为点E，F.
(1)请你只添加一个条件(不另加辅助线)，使得四边形AECF为平行四边形，你添加的条件是________________；
7
AE＝CF
(2)添加了条件后，证明四边形AECF为平行四边形．
证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CF.
∵AE＝CF，
∴四边形AECF为平行四边形．
(本题答案不唯一)(共16张PPT)
正方形的判定
人教版 八年级下
第十八章 平行四边形
18.2.5
1
2
3
4
5
B
6
7
A
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B
B
C
【2021·娄底】如图，点E，F在矩形ABCD的对角线BD所在的直线上，BE＝DF，则四边形AECF是( )
A．平行四边形
B．矩形
C．菱形
D．正方形
1
A
在菱形ABCD中，若要添加一个条件后，使它是正方形，则添加的条件可以是( )
A．AB＝AD
B．AB⊥BC
C．AC⊥BD
D．AC平分∠BAD
2
B
【教材P60练习T3改编】【2021·泸州】下列命题是真命题的是( )
A．对角线相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
3
B
【2020·绍兴】如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B移动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为( )
A．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形
B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形
C．平行四边形→正方形→菱形→矩形
D．平行四边形→菱形→正方形→矩形
4
B
5
【教材P59思考变式】【2021·玉林】如图，一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形：
a．两组对边分别相等 b．一组对边平行且相等
c．一组邻边相等 d．一个角是直角
顺次添加的条件：
①a→c→d；②b→d→c；③a→b→c，则正确的是( )
A．① B．③ C．①② D．②③
C
【点拨】
①由a得到该四边形是平行四边形，添加c即一组邻边相等的平行四边形是菱形，再添加d即一个角是直角的菱形是正方形，故①正确；
②由b得到该四边形是平行四边形，添加d即有一个角是直角的平行四边形是矩形，再添加c即一组邻边相等的矩形是正方形，故②正确；
③由a得到该四边形是平行四边形，添加b得到一组对边平行且相等的平行四边形仍是平行四边形，再添加c即一组邻边相等的平行四边形是菱形，不能得到四边形是正方形，故③不正确．
6
【2021·扬州】如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，DE∥AB，DF∥AC.
(1)试判断四边形AFDE的形状，并说明理由；
解：四边形AFDE是菱形．理由如下：
∵DE∥AB，DF∥AC，
∴四边形AFDE是平行四边形．
∵AD平分∠BAC，∴∠FAD＝∠EAD.
∵DE∥AB，∴∠EDA＝∠FAD.
∴∠EDA＝∠EAD.
∴AE＝DE.
∴平行四边形AFDE是菱形．
【2021·泰安】四边形ABCD为矩形，E是AB延长线上的一点．
(1)若AC＝EC，如图①，求证：四边形BECD为平行四边形；
7
证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD，CB⊥AE.
又∵AC＝EC，
∴AB＝BE.
∴BE＝CD.
又∵BE∥CD，
∴四边形BECD为平行四边形．
(2)若AB＝AD，点F是AB上的点，AF＝BE，EG⊥AC于点G，如图②，求证：△DGF是等腰直角三角形．
解：∵AB＝AD，
∴矩形ABCD是正方形．
∴∠GAB＝∠DAG＝45°.
∵EG⊥AC，∴∠E＝∠GAE＝45°.
∴GE＝GA.又∵AF＝BE，
∴AB＝FE. ∴FE＝AD.(共21张PPT)
矩形及其性质
人教版 八年级下
第十八章 平行四边形
18.2.1
D
1
2
3
4
5
C
6
7
8
6.8
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D
30°
如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是( )
A．AB＝CD
B．AD＝BC
C．∠AOB＝45°
D．∠ABC＝90°
1
D
【2021·阜新】如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B的对应点E落在CD边上，GH为折痕，已知AB＝6，BC＝10.当折痕GH最长时，线段BH的长为________．
6.8
2
【点拨】
由题意知，当E点与D点重合时GH最长．
设BH＝x，则CH＝10－x，HE＝BH＝x.
由勾股定理得HC2＋CE2＝HE2，
即(10－x)2＋62＝x2，
解得x＝6.8.
【2020·怀化】如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，若△AOB的面积为2，则矩形ABCD的面积为( )
A．4
B．6
C．8
D．10
3
C
【点拨】
由题易知S△AOD＝S△BOC＝S△COD＝S△AOB＝2，
∴S矩形ABCD＝4S△AOB＝8.
4
D
【教材P53例1变式】【2020·毕节】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，若AB＝6 cm，BC＝8 cm，则EF的长是( )
A．2.2 cm
B．2.3 cm
C．2.4 cm
D．2.5 cm
【2021·哈尔滨】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥BC，垂足为点E，过点A作AF⊥OB，垂足为点F.若BC＝2AF，OD＝6，则BE的长为________．
5
【点拨】
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB＝OC＝OD＝6.
∵OE⊥BC，
∴BE＝CE，∠BOE＝∠COE.
又∵BC＝2AF，
∴AF＝BE.
如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E是BC上一点，且AB＝BE，∠1＝15°，则∠2＝________．
6
30°
【点拨】
本题的关键是得出△AOB是等边三角形，进而推出OB＝BE，从而求出∠2＝30°.本题易错点是对矩形的性质不能灵活运用．
【2021·贵阳】如图，在矩形ABCD中，点M在DC上，AM＝AB，且BN⊥AM，垂足为N.
(1)求证△ABN≌△MAD；
7
(2)若AD＝2，AN＝4，求四边形BCMN的面积．
【2021·雅安】如图，△OAD为等腰直角三角形，延长OA至点B，使OB＝OD，四边形ABCD是矩形，其对角线AC，BD交于点E，连接OE交AD于点F.
(1)求证△OAF≌△DAB；
8
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴BE＝DE，∠BAD＝∠OAD＝90°.
∴∠ABD＋∠ADB＝90°.
∵OB＝OD, BE＝DE，∴OE⊥BD.
∴∠OEB＝90°.
∴∠BOE＋∠OBE＝90°.
∴∠BOE＝∠BDA.(共20张PPT)
正方形对角线的性质
人教版 八年级下
第十八章 平行四边形
18.2.5
1
2
3
4
5
C
6
7
22
答 案 呈 现
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B
【2020·包头】如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，AE的延长线交CD于点F，连接CE.若∠BAE＝56°，则∠CEF＝________°.
1
22
【2020·枣庄】如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝8，AE＝CF＝2，则四边形BEDF的周长是________．
2
【2021·重庆】如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N.若四边形MOND的面积是1，则AB的长为( )
3
C
【点拨】
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠MDO＝∠NCO＝45°，
OD＝OC，∠DOC＝90°.
∴∠DON＋∠CON＝90°.
∵ON⊥OM，∴∠MON＝90°.
∴∠DON＋∠DOM＝90°.
∴∠DOM＝∠CON.
∴△DOC的面积是1.
∴正方形ABCD的面积是4，
即AB：2＝4.
∴AB＝2.
【中考·宜昌】如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥AB，EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J，则图中阴影部分的面积等于( )
4
B
5
【2021·铜仁】如图，将边长为1的正方形ABCD绕点A顺时针旋转30°到AB1C1D1的位置，则阴影部分的面积是________．
6
【2021·绍阳】如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F是对角线AC上的两点，且
AE＝CF.连接DE，DF，BE，BF.
(1)求证△ADE≌△CBF；
【2020·武威】如图，点M，N分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且∠MAN＝45°.把△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABE.
(1)求证△AEM≌△ANM；
7
证明：∵把△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABE，
∴△ADN≌△ABE.
∴∠DAN＝∠BAE，DN＝BE，AN＝AE.
由题易知E在CB的延长线上．
∵∠DAB＝90°，∠MAN＝45°，
∴∠MAE＝∠BAE＋∠BAM＝∠DAN＋∠BAM＝45°.
∴∠MAE＝∠MAN. 又∵MA＝MA，AE＝AN，
∴△AEM ≌△ANM(SAS)．
(2)若BM＝3，DN＝2，求正方形ABCD的边长．
解：设CD＝BC＝x，则CM＝x－3，CN＝x－2.
∵△AEM ≌△ANM，
∴EM＝MN.
∵BE＝DN，
∴MN＝EM＝BM＋BE＝BM＋DN＝5.
∵∠C＝90°，
∴MN2＝CM2＋CN2，即52＝(x－3)2＋(x－2)2.
化简，得x2－5x－6＝0.
因式分解，得(x－6)(x＋1)＝0.
故x－6＝0或x＋1＝0，
解得x＝6或x＝－1(舍去)．
∴正方形ABCD的边长为6.(共13张PPT)
菱形及其边的性质
人教版 八年级下
第十八章 平行四边形
18.2.3
B
1
2
3
4
5
C
B
答 案 呈 现
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【教材P61习题T10拓展】【2021·绍兴】数学兴趣小组同学从“中国结”的图案(图①)中发现，用相同的菱形纵向排列放置，可得到更多的菱形．如图②，用2个相同的菱形放置，得到3个菱形
1
下面说法正确的是( )
A．用3个相同的菱形放置，最多能得到6个菱形
B．用4个相同的菱形放置，最多能得到16个菱形
C．用5个相同的菱形放置，最多能得到27个菱形
D．用6个相同的菱形放置，最多能得到41个菱形
B
【2020·锦州】如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥AB于点F.若菱形ABCD的周长为20，面积为24，则PE＋PF的值为( )
B
2
【2021·成都】如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在BC，DC边上，添加以下条件不能判定△ABE≌△ADF的是( )
A．BE＝DF
B．∠BAE＝∠DAF
C．AE＝AD
D．∠AEB＝∠AFD
3
C
4
【2021·广安】如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在边AB，AD的延长线上，且BE＝DF，连接CE，CF.求证CE＝CF.
【2020·桂林】如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是AD，AB的中点．
(1)求证△ABE≌△ADF；
5
解：如图，连接BD.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠A＝∠C＝60°.
∴△ABD是等边三角形．
∵点E是边AD的中点，∴BE⊥AD.
∴∠ABE＝30°.
∴AB＝2AE.(共18张PPT)
菱形对角线的性质
人教版 八年级下
第十八章 平行四边形
18.2.3
B
1
2
3
4
5
B
6
7
①③
答 案 呈 现
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B
B
【教材P57练习T2改编】【2021·南通】菱形的两条对角线的长分别是6和8，则这个菱形的周长是( )
A．24
B．20
C．10
D．5
1
B
【2021·临沂】数学知识在生产和生活中被广泛应用，下列实例所应用的最主要的几何知识，说法正确的是________(只填写序号)．
①射击时，瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直线”；
②车轮做成圆形，应用了“圆是中心对称图形”；
①③
2
③学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“菱形的对角线互相垂直平分”；
④地板砖可以做成矩形，应用了“矩形对边相等”．
【2021·海南】如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边BC，CD的中点，连接AE，AF，EF，若菱形ABCD的面积为8，则△AEF的面积为( )
A．2
B．3
C．4
D．5
3
B
【2020·南充】如图，面积为S的菱形ABCD中，点O为对角线的交点，点E是线段BC的中点，过点E作EF⊥BD于F，EG⊥AC于G，则四边形EFOG的面积为( )
4
B
5
如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，则MP＋PN的最小值是( )
B
【点拨】
利用直线AC是著作形ABCD的对称轴求解．如图，取AD的中点M′，连接M′N，M′P，则有MP＝M′P.MP＋PN的最小值为线段M′N的长，即菱形的边长．
6
【教材P56例3变式】如图，四边形ABCD是边长为
10 cm的菱形，其中对角线BD的长为16 cm，求：
(1)对角线AC的长；
解：∵四边形ABCD是菱形，且边长为10 cm，
∴AC⊥BD，AD＝10 cm.
∵BD＝16 cm.
∴OD＝8 cm.
∴OA＝6 cm.
∴AC＝2OA＝12 cm.
(2)菱形ABCD的面积．
如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝OC，连接CE，OE，连接AE交OD于点F.
(1)求证OE＝CD；
7
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝OC，AD＝CD.
∵DE∥AC，DE＝OC，
∴DE∥AO，DE＝AO.
∴四边形AOED是平行四边形．
∴OE＝AD.
∴OE＝CD.
(2)若菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝60°，求AE的长．(共23张PPT)
练素养2
特殊平行四边形间的关系的综合应用
课题
人教版 八年级
集训课堂
第十八章 平行四边形
1
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1
如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD，BE，BC于点P，O，Q，连接BP，EQ.
(1)求证：四边形BPEQ是菱形；
∴△BOQ≌△EOP(ASA)．
∴QB＝PE.
∵BC∥AD，
∴四边形BPEQ是平行四边形．
又∵QB＝QE，
∴四边形BPEQ是菱形．
(2)若AB＝6，F为AB的中点，OF＋OB＝9，求PQ的长．
解：∵O，F分别为BE，AB的中点，
∴AE＋BE＝2OF＋2OB＝18.
设AE＝x，则BE＝18－x.
在Rt△ABE中，62＋x2＝(18－x)2，
解得x＝8，
则BE＝18－x＝10.
2
【中考·海南】如图，在边长为1的正方形ABCD中，E是边CD的中点，点P是边AD上一点(与点A，D不重合)，射线PE与BC的延长线交于点Q.
(1)求证△PDE≌△QCE.
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠BCD＝90°.
∴∠ECQ＝90°＝∠D.
∵E是CD的中点，
∴DE＝CE.
又∵∠DEP＝∠CEQ，
∴△PDE≌△QCE(ASA)．
(2)过点E作EF∥BC交PB于点F，连接AF，当PB＝PQ时，
①求证：四边形AFEP是平行四边形；
②请判断四边形AFEP是否为菱形，并说明理由．
解：四边形AFEP不是菱形．理由如下：
设PD＝x，则AP＝1－x.
由(1)可知△PDE≌△QCE，
∴CQ＝PD＝x. ∴BQ＝BC＋CQ＝1＋x.
∵点E，F分别是PQ，PB的中点，
∴EF是△PBQ的中位线．
3
如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交对角线AC于点M，ME⊥AB，MF⊥BC，垂足分别是E，F，判定四边形MEBF的形状，并证明你的结论．
解：四边形MEBF是正方形．证明如下：
∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°.
∵ME⊥AB，MF⊥BC，
∴∠MEB＝∠MFB＝90°.
∴四边形MEBF是矩形．
又∵BM是∠ABC的平分线，∴ME＝MF.
∴矩形MEBF是正方形．
4
如图，在△ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F.
(1)探究OE与OF的数量关系并加以证明．
解：OE＝OF.
证明：∵MN∥BC，
∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠DCF.
又∵CE平分∠BCO，CF平分∠DCO，
∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠DCF.
∴∠OCE＝∠OEC，∠OCF＝∠OFC.
∴EO＝CO，FO＝CO. ∴OE＝OF.
(2)连接BE，当点O在边AC上运动时，四边形BCFE能否为菱形？若能，请证明；若不能，请说明理由．
解：不能为菱形．
理由：如图，连接BF，交EC于点G.
∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
(3)连接AE，AF，当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？请说明理由．
解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．
理由：当点O运动到AC的中点时，AO＝CO.
又∵EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形．
∵FO＝CO，∴AO＝CO＝EO＝FO.
∴AO＋CO＝EO＋FO，即AC＝EF.
∴四边形AECF是矩形．
(4)在(3)的条件下，△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？请说明理由．
解：当点O运动到AC的中点，且△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形．
理由：由(3)知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．
已知MN∥BC，当∠ACB＝90°时，
∠AOE＝∠ACB＝90°，
∴AC⊥EF.
∴四边形AECF是正方形．(共15张PPT)
练素养1
正方形的性质和判定的应用
课题
人教版 八年级
集训课堂
第十八章 平行四边形
1
2
3
4
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5
A
B
答 案 呈 现
A
1
【2020·台州】下面是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线相等；②它是一个正方形；③它是一个矩形．下列推理过程正确的是( )
A．由②推出③，由③推出①
B．由①推出②，由②推出③
C．由③推出①，由①推出②
D．由①推出③，由③推出②
A
2
【教材P62习题T13改编】如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝5，则四边形EFGH的面积是( )
A．30
B．34
C．36
D．40
B
3
【教材P68复习题T9变式】如图，点E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，
①若AC＝BD，则四边形EFGH为矩形；
②若AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形；
③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；
④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且
相等．
则下列说法中正确的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
A
4
如图，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．
(1)判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论；
(2)当BD，AC满足____________________时，四边形EFGH是正方形．
BD＝AC且BD⊥AC
5
(1)求证：四边形ABCD是正方形．
(2)若H是边AB上一点(H与A，B不重合)，连接DH，将线段DH绕点H顺时针旋转90°，得到线段HE，过点E分别作BC及AB延长线的垂线，垂足分别为F，G.设四边形BGEF的面积为S1，以HB，BC为邻边的矩形的面积为S2，且S1＝S2.当AB＝2时，求AH的长．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB＝∠ABC＝∠CBG＝90°，AB＝AD＝BC＝2.
∵EF⊥BC，EG⊥AG，
∴∠G＝∠EFB＝∠FBG＝90°.
∴四边形BGEF是矩形．
∵将线段DH绕点H顺时针旋转90°得到线段HE，
∴∠DHE＝90°，DH＝HE.
又∵∠DAB＝90°，
∴∠ADH＋∠AHD＝∠AHD＋∠EHG＝90°.
∴∠ADH＝∠EHG.
又∵∠DAH＝∠G＝90°，DH＝HE，
∴△ADH≌△GHE(AAS)．
∴AD＝HG，AH＝EG.
∵AB＝AD，∴AB＝HG.
∴AH＝BG. ∴BG＝EG.(共17张PPT)
从两组对边或对角的角度判定平行四边形
人教版 八年级下
第十八章 平行四边形
18.1.3
C
1
2
3
4
5
B
6
7
A
答 案 呈 现
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D
四边形ABCD中，AB∥CD，要判定四边形ABCD是平行四边形，应满足( )
A．∠A＋∠D＝180°
B．∠A＋∠C＝180°
C．∠A＋∠B＝180°
D．∠B＋∠C＝180°
1
C
【教材P46思考改编】【2021·牡丹江】如图，在四边形ABCD中，AB＝DC，请添加一个条件，使四边形ABCD成为平行四边形，你所添加的条件为
_______________________．
AB∥DC(答案不唯一)
2
在四边形ABCD中，∠A＝50°，能够使此四边形为平行四边形的条件是( )
A．∠D＝130°
B．∠B＝130°，∠C＝50°
C．∠C＝50°
D．∠B＝50°，∠C＝130°
3
B
下列条件不能确定四边形ABCD为平行四边形的是( )
A．∠A＝∠C，∠B＝∠D
B．∠A＝∠B＝∠C＝90°
C．∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°
D．∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠D＝180°
4
D
5
下列说法：①平行四边形的对边平行且相等；
②两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
③平行四边形的对角相等；
④一组对角相等、一组对边平行的四边形是平行四边形．
其中能判定一个四边形是平行四边形的是( )
A．②④ B．②③ C．①④ D．①②③
A
【点拨】
本题说法中既有性质又有判定，首先要选出判定，即②④.再判断②④是否正确．
6
如图，以BC为底边的等腰三角形ABC，点D，E，G分别在BC，AB，AC上，且EG∥BC，DE∥AC，延长GE至点F，使得BF＝BE.
(1)求证：四边形BDEF为平行四边形；
证明：∵三角形ABC是以BC为底边的等腰三角形，
∴∠ABC＝∠C.
∵EG∥BC，DE∥AC，
∴四边形CDEG是平行四边形．
∴∠DEG＝∠C.
∵EG∥BC，
∴∠AEG＝∠ABC.
∴∠DEG＝∠AEG.
∵BE＝BF，
∴∠BFE＝∠BEF＝∠AEG.
∴∠BFE＝∠DEG.
∴BF∥DE.
又∵FG∥BD，
∴四边形BDEF为平行四边形．
(2)当∠C＝45°，BD＝2时，求D，F两点间的距离．
【教材P47例4变式】如图，在 ABCD中，∠DAB＝60°，点E，F分别在CD，AB的延长线上，且AE＝AD，CF＝CB.
(1)求证：四边形AFCE是平行四边形．
7
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，∠DCB＝∠DAB＝60°.
∴∠ADE＝∠DAB＝∠DCB＝∠CBF＝60°.
∵AE＝AD，CF＝CB，
∴△AED，△CFB是等边三角形．
∴∠AEC＝∠BFC＝60°，∠EAD＝∠FCB＝60°.
∴∠EAF＝∠FCE＝120°.
∴四边形AFCE是平行四边形．
(2)若去掉已知条件的“∠DAB＝60°”，上述的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
解：上述的结论还成立．证明如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB，AD＝BC，DC∥AB，AD∥BC.
∴∠ADE＝∠BCD，∠BCD＝∠CBF.
∴∠ADE＝∠CBF.
∵AE＝AD，CB＝CF，
∴∠ADE＝∠AED，∠CBF＝∠CFB.
∴∠AED＝∠CFB.
又∵∠ADE＝∠CBF，AD＝CB，
∴△ADE≌△CBF(AAS)．∴ED＝BF，AE＝CF.
∵DC＝AB，∴DC＋ED＝AB＋BF，
即EC＝AF. 又∵AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形．(共15张PPT)
练素养2
判定平行四边形的五种常用方法
课题
人教版 八年级
集训课堂
第十八章 平行四边形
1
2
3
4
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5
1
如图，在 ABCD中，E，F分别为AD，BC上的点，且BF＝DE，连接AF，CE，BE，DF，AF与BE相交于M点，DF与CE相交于N点．
求证：四边形FMEN为平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，DE＝BF，∴DE BF.
∴四边形BFDE为平行四边形．
∴BE∥DF.
同理，AF∥CE.
∴四边形FMEN为平行四边形．
2
如图，已知△ABD，△BCE，△ACF都是等边三角形．求证：四边形ADEF是平行四边形．
证明：∵△ABD，△BCE，△ACF都是等边三角形，
∴BA＝BD＝AD，BC＝BE，
AF＝AC，∠DBA＝∠EBC＝60°.
∴∠EBC－∠EBA＝∠DBA－∠EBA，
即∠ABC＝∠DBE.
∴△ABC≌△DBE(SAS)．
∴AC＝DE.
∴AF＝DE.
同理可证△ABC≌△FEC，
∴AB＝FE.
∴AD＝EF.
∴四边形ADEF是平行四边形．
3
4
【教材P50习题T10变式】如图，在 ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，DF平分∠ADC，交BC于点F，那么四边形BFDE是平行四边形吗？请说明理由．
【中考·哈尔滨】如图①， ABCD中，点O是对角线AC的中点，EF过点O，与AD，BC分别相交于点E，F，GH过点O，与AB，CD分别相交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH.
(1)求证：四边形EGFH是平行四边形；
5
∴△OAE≌△OCF(ASA)．
∴OE＝OF.
同理可得OG＝OH，
∴四边形EGFH是平行四边形．
(2)如图②，若EF∥AB，GH∥BC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形(四边形AGHD除外)．
解：与四边形AGHD面积相等的平行四边形有 GBCH， ABFE， EFCD， EGFH.(共18张PPT)
矩形的判定方法
人教版 八年级下
第十八章 平行四边形
18.2.2
B
1
2
3
4
5
B
6
7
B
答 案 呈 现
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C
【2020·十堰】已知平行四边形ABCD中，下列条件：①AB＝BC；②AC＝BD；③AC⊥BD；④AC平分∠BAD，其中能说明平行四边形ABCD是矩形的是( )
A．①
B．②
C．③
D．④
1
B
【2021·威海】如图，在 ABCD中，AD＝3，CD＝2.连接AC，过点B作BE∥AC，交DC的延长线于点E，连接AE，交BC于点F.若∠AFC＝2∠D，则四边形ABEC的面积为( )
B
2
【点拨】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，∠D＝∠ABC.
∵BE∥AC，∴四边形ABEC是平行四边形．
∴FA＝FE, FB＝FC.
∵∠AFC＝2∠D，∴∠AFC＝2∠ABC.
∵∠AFC＝∠ABF＋∠FAB.
【中考·上海】已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是( )
A．∠A＝∠B
B．∠A＝∠C
C．AC＝BD
D．AB⊥BC
3
B
【教材P60习题T1变式】【2021·黑龙江龙东地区】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件___________________________，使平行四边形ABCD是矩形．
4
∠ABC＝90°(答案不唯一)
5
在一组对边平行的四边形中，添加下列条件中的哪一个，可判定这个四边形是矩形？( )
A．另一组对边相等，对角线相等
B．另一组对边相等，对角线互相垂直
C．另一组对边平行，对角线相等
D．另一组对边平行，对角线互相垂直
C
【点拨】
此题易因对矩形的判定方法理解错误而出错．在一组对边平行的前提下，再找该组对边相等或另一组对边平行即可判定这个四边形为平行四边形，再结合对角线相等即可判定这个四边形是矩形．
6
【2021·连云港】如图，点C是BE的中点，四边形ABCD是平行四边形．
(1)求证：四边形ACED是平行四边形；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，且AD＝BC.
∵点C是BE的中点，
∴BC＝CE.
∴AD＝CE.
又∵AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC.
∵AB＝AE，
∴DC＝AE.
又∵四边形ACED是平行四边形，
∴四边形ACED是矩形．
(2)如果AB＝AE，求证：四边形ACED是矩形．
如图，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形，即△ABD，△BCE，△ACF，连接DE，EF.请回答下列问题：
(1)四边形ADEF是什么四边形？并说明理由．
7
解：四边形ADEF是平行四边形．
理由：∵△ABD，△BEC都是等边三角形，
∴BD＝AB＝AD，BE＝BC，∠DBA＝∠EBC＝60°.
∵∠DBE＝60°－∠EBA，∠ABC＝60°－∠EBA，
∴∠DBE＝∠ABC.
∴△DBE≌△ABC(SAS)．
∴DE＝AC.
∵△ACF是等边三角形，
∴AC＝AF.
∴DE＝AF.
同理可得△ABC≌△FEC，
∴EF＝BA＝DA.
∵DE＝AF，DA＝EF，
∴四边形ADEF为平行四边形．
(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？
解：若四边形ADEF为矩形，则∠DAF＝90°.
易知∠DAB＝∠FAC＝60°，
∴∠BAC＝360°－∠DAB－∠FAC－∠DAF＝360°－60°－60°－90°＝150°.
∴当△ABC满足∠BAC＝150°时，
四边形ADEF是矩形．
【点拨】
本题(2)问利用逆向思维法来解，即由四边形ADEF是矩形来推断△ABC应满足的条件，利用周角的定义来探究∠BAC的度数即可．(共21张PPT)
平行四边形角的性质
人教版 八年级下
第十八章 平行四边形
18.1.1
B
1
2
3
4
5
4a＋2b
C
6
7
8
C
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7或17
B
【教材P43练习T1(2)变式】【2021·株洲】如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在线段BC的延长线上，若∠DCE＝132°，则∠A＝( )
A．38°
B．48°
C．58°
D．66°
1
B
【2021·泸州】如图，在 ABCD中，AE平分∠BAD且交BC于点E，∠D＝58°，则∠AEC的大小是( )
A．61°
B．109°
C．119°
D．122°
C
2
【2021·江西】如图，将 ABCD沿对角线AC翻折，
点B落在点E处，CE交AD于点F.若∠B＝80°，∠ACE＝2∠ECD，FC＝a，FD＝b，则 ABCD的周长为________．
3
4a＋2b
【点拨】
∵∠B＝80°，四边形ABCD为平行四边形，
∴∠D＝80°，AD∥BC.
∴∠DAC＝∠ACB.
由折叠可知∠ACB＝∠ACE，
∴∠ACE＝∠DAC. ∴△AFC为等腰三角形．
∴AF＝FC＝a.
∴AD＝AF＋FD＝a＋b.
设∠ECD＝x，则∠ACE＝2x，∴∠DAC＝2x.
在△ADC中，由三角形内角和定理可知2x＋2x＋x＋80°＝180°，解得x＝20°.
由三角形外角定理可得∠DFC＝4x＝80°，
∴△DFC为等腰三角形．∴DC＝FC＝a.
∴ ABCD的周长为2(DC＋AD)＝2(a＋a＋b)＝4a＋2b.
【2020·铜仁】设AB，CD，EF是同一平面内三条互相平行的直线，已知AB与CD的距离是12 cm，EF与CD的距离是5 cm，则AB与EF的距离等于________cm.
4
7或17
【点拨】
分两种情况：
(1)当EF在AB，CD之间时，如图①所示．
∵AB与CD的距离是12 cm，
EF与CD的距离是5 cm，
∴EF与AB的距离为12－5＝7(cm)．
(2)当EF在AB，CD同侧时，如图②所示．
∵AB与CD的距离是12 cm，
EF与CD的距离是5 cm，
∴EF与AB的距离为12＋5＝17(cm)．
综上，EF与AB的距离为7 cm或17 cm.
如图，已知l1∥l2，AB∥CD，CE⊥l2，FG⊥l2，垂足分别为E，G，下列说法错误的是( )
A．l1与l2之间的距离是线段FG的长度
B．CE＝FG
C．线段CD的长度就是l1与l2之间的距离
D．AC＝BD
5
C
6
B
【2020·重庆】如图，在平行四边形ABCD中，AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，交对角线BD于点E，F.
(1)若∠BCF＝60°，求∠ABC的度数；
7
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD.
∴∠ABC＋∠BCD＝180°.
∵CF平分∠DCB，
∴∠BCD＝2∠BCF.
∵∠BCF＝60°，
∴∠BCD＝120°.
∴∠ABC＝180°－120°＝60°.
(2)求证BE＝DF.
如图，在平行四边形ADBC中，∠C＝60°，AC＝BC，点E，F分别在BC，AC上，BE＝CF，AE与BF相交于点G.
(1)求∠EGB的度数；
8
(2)连接DG，求证：DG＝AG＋BG.
证明：延长GE至点H，使GH＝GB，
连接BH，如图所示．
∵∠BGE＝60°，
∴△BGH为等边三角形．
∴BG＝BH＝GH，∠GBH＝60°.
∵四边形ADBC是平行四边形，
∴△ABD是等边三角形．
【点拨】
截长补短法是证明线段的和、差关系中常用的一种基本方法，它有两种思路求线段的和差问题．截长法——在长线段上截取一条线段使它等于两条加数线段中的一条线段，并证明长线段中余下线段等于另一条加数线段；补短法——即延长两条加数线段中一条线段，使延长部分等于另一条加数线段，并证明这两条线段的和等于长线段．(共16张PPT)
直角三角形斜边上的中线
人教版 八年级下
第十八章 平行四边形
18.2.1
A
1
2
3
4
5
20
6
7
3
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C
A
【2021·雅安】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BF是AC边上的中线，DE是△ABC的中位线．若
DE＝6，则BF的长为( )
A．6
B．4
C．3
D．5
1
A
【2021·扬州】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，连接CD.若CD＝5，BC＝8，则DE＝________．
3
2
【教材P53例1变式】【2021·十堰】如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为______．
3
20
【2020·连云港】如图，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点A落在对角线BD上的A′处，若∠DBC＝24°，则∠A′EB等于( )
A．66°
B．60°
C．57°
D．48°
4
C
5
【中考·朝阳】如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，CE⊥BD，垂足为点E，CE＝5，且EO＝2DE，则AD的长为( )
A
6
【中考·哈尔滨】已知：在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F.
(1)如图①，求证AE＝CF；
解：符合题意的四个三角形为△ABE，△CDF，△BCE，△ADF.
如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠DCB＝90°，E，F分别是BD，AC的中点．
(1)请你猜测EF与AC的位置关系，并给予证明；
7
(2)当AC＝8，BD＝10时，求EF的长．(共61张PPT)
全章热门考点整合应用
人教版 八年级
第十八章 平行四边形
1
2
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6
7
8
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9
10
11
12
D
45°
B
①
D
13
14
15
16
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17
1
【2020·宜宾】如图，M，N分别是△ABC的边AB，AC的中点，若∠A＝65°，∠ANM＝45°，则∠B＝( )
A．20°
B．45°
C．65°
D．70°
D
2
【2021·山西】如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝8，AC＝6，OE∥AB，交BC于点E，则OE的长为________．
3
如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．求证：
(1)四边形ADEF是平行四边形；
证明：∵点D，E分别是AB，BC的中点，
∴DE∥AC.
同理可得EF∥AB，
∴四边形ADEF是平行四边形．
(2)∠DHF＝∠DEF.
4
B
【2021·苏州】如图，在平行四边形ABCD中，将△ABC沿着AC所在的直线折叠得到△AB′C，B′C交AD于点E，连接B′D.若∠B＝60°，∠ACB＝45°，AC＝6，则B′D的长是( )
【点拨】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，∠ADC＝∠B＝60°.
∴∠CAE＝∠ACB＝45°.
∵将△ABC沿AC翻折至△AB′C，
∴∠ACB′＝∠ACB＝45°，∠AB′C＝∠B＝60°，AB＝AB′.
∴∠AEC＝180°－∠CAE－∠ACB′＝90°.
5
如图， ABCD中E，F分别是AB，CD上的点，BE＝DF.
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
∵BE＝DF，
∴AE＝CF.
∴四边形AECF是平行四边形．
(2)连接EF，连接BD分别交AF，EF，CE于点P，Q，R，不添加任何辅助线的条件下，写出面积等于四边形ABCD面积一半的4个图形．
45°
6
【2021·贺州】如图，在矩形ABCD中，E，F分别为BC，DA的中点，以CD为斜边作Rt△GCD，GD＝GC，连接GE，GF，若BC＝2GC，则∠EGF＝________．
【点拨】
在Rt△GCD中，GD＝GC，
∴∠GDC＝∠GCD＝45°，∠DGC＝90°.
∵∠BCD＝90°，
∴∠BCG＝∠BCD＋∠DCG＝90°＋45°＝135°.
∵E为BC的中点，BC＝2GC，
∴CE＝CG.
7
【教材P54例2变式】【2021·长沙】如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形，
AB＝4.
(1)求证： ABCD是矩形；
(2)求AD的长．
8
①
【2021·益阳】如图，已知四边形ABCD是平行四边形，从①AB＝AD，②AC＝BD，③∠ABC＝∠ADC中选择一个作为条件，补充后使四边形ABCD成为菱形，则其选择是________(限填序号)．
9
【2021·玉林】如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知OA＝OC，OB＝OD，过点O作EF⊥BD，分别交AB，DC于点E，F，连接DE，BF.
(1)求证：四边形DEBF是菱形；
∴BE＝DF.
∵BE∥DF，
∴四边形DEBF是平行四边形．
又∵EF⊥BD，
∴四边形DEBF是菱形．
(2)设AD∥EF，AD＋AB＝12，BD＝43，求AF的长．
∴AB＝8. ∴∠ABD＝30°.
∵四边形DEBF是菱形，
∴∠EBF＝2∠ABD＝60°，BE＝BF.
∴△BEF是等边三角形．
∵OB＝OD，EF∥AD，∴AE＝BE＝4.
∵FG⊥BE，∴EG＝BG＝2.
10
【教材P68复习题T8变式】如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AB，AD上，且BE＝AF，连接CE，BF相交于点G，则下列结论不正确的是( )
A．BF＝CE
B．∠AFB＝∠ECD
C．BF⊥CE
D．∠AFB＋∠BEC＝90°
D
11
如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF.
(1)求证AD＝AF；
(2)如果AB＝AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
解：当AB＝AC时，四边形ADCF是正方形．
证明如下：由(1)可知AD＝AF＝DC，
又∵AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形．
∵AB＝AC，AD是中线，∴AD⊥BC.
∴∠ADC＝90°.
又∵AD＝AF，∴四边形ADCF是正方形．
12
如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，点E，F分别在AB，CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在矩形ABCD外部的点A1，D1处，求阴影部分图形的周长．
解：∵在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，
∴CD＝AB＝10，AD＝BC＝5.
又∵将矩形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在矩形ABCD外部的点A1，D1处，
∴根据轴对称的性质可得A1E＝AE，A1D1＝AD，D1F＝DF.
设线段D1F与线段AB交于点M，则阴影部分的周长为(A1E＋EM＋MD1＋A1D1)＋(MB＋MF＋FC＋CB)＝AE＋EM＋MD1＋AD＋MB＋MF＋FC＋CB＝(AE＋EM＋MB)＋(MD1＋MF＋FC)＋AD＋CB＝AB＋(FD1＋FC)＋10＝AB＋(FD＋FC)＋10＝10＋10＋10＝30.
13
【教材P63实验与探究图1改编】如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O也是正方形A′B′C′O的一个顶点，如果两个正方形的边长都等于1，那么正方形A′B′C′O绕顶点O转动，两个正方形重叠部分的面积大小有什么规律？请说明理由．
14
如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD＝16，对角线AC，BD相交于点G，点O是直线BD上的动点，OE⊥AB于点E，OF⊥AD于点F.
(1)求对角线AC的长及菱形ABCD的面积．
(2)如图①，当点O在对角线BD上运动时，OE＋OF的值是否发生变化？请说明理由．
(3)如图②，当点O在对角线BD的延长线上运动时，OE＋OF的值是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请探究OE，OF之间的数量关系．
∴OE＋OF的值发生变化，OE，OF之间的数量关系为OE－OF＝9.6.
15
如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在△ABC的内部，∠BOC＝90°，OB＝OC，D，E，F，G分别是AB，OB，OC，AC的中点．
(1)求证：四边形DEFG是矩形；
证明：如图，连接AO并延长交BC于点H.
∵AB＝AC，OB＝OC，
∴AH是BC的垂直平分线，
即AH⊥BC.
∵D，E，F，G分别是AB，OB，OC，AC的中点，
∴DG∥EF∥BC，DE∥AH∥GF.
∴四边形DEFG是平行四边形．
∵EF∥BC，AH⊥BC，
∴AH⊥EF.
又∵DE∥AH，
∴EF⊥DE.
∴四边形DEFG是矩形．
(2)若DE＝2，EF＝3，求△ABC的面积．
16
如图，在四边形ABCD中，∠C＝90°，∠ABD＝∠CBD，AB＝CB，P是BD上一点，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为点E，F.求证PA＝EF.
证明：如图，连接PC.
∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠ECF＝90°，
∴∠PEC＝∠PFC＝∠ECF＝90°.
∴四边形PECF是矩形．
∴PC＝EF.
在△ABP和△CBP中，
17
运用：
(1)如图，矩形ONEF的对角线相交于点M，
ON，OF分别在x轴和y轴上，O为坐标原
点，点E的坐标为(4，3)，则点M的坐标
为____________；
(2，1.5)
(2)在平面直角坐标系中，有A(－1，2)，B(3，1)，C(1，4)三点，另有一点D与点A，B，C构成平行四边形的顶点，求点D的坐标．(共17张PPT)
正方形及其边角性质
人教版 八年级下
第十八章 平行四边形
18.2.5
1
2
3
4
5
C
6
D
答 案 呈 现
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A
【中考·兰州】 ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件：_______________________________，使得 ABCD为正方形．
1
AC＝BD (答案不唯一)
【2021·张家界】如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，设正方形ABCD的面积为S，黑色部分面积为S1，则S1：S的比值为( )
A
2
【教材P61习题T12(3)改编】【2020·天津】如图，四边形OBCD是正方形，O，D两点的坐标分别是(0，0)，(0，6)，点C在第一象限，则点C的坐标是( )
A．(6，3)
B．(3，6)
C．(0，6)
D．(6，6)
3
D
【2021·常德】已知F，E分别是正方形ABCD的边AB与BC的中点，AE与DF交于P，则下列结论成立的是( )
4
C
【2021·哈尔滨】已知四边形ABCD是正方形，点E在边DA的延长线上，连接CE交AB于点G，过点B作BM⊥CE，垂足为点M，BM的延长线交AD于点F，交CD的延长线于点H.
(1)如图①，求证CE＝BH；
5
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠BCD＝∠ADC＝90°.
∵BM⊥CE，
∴∠HMC＝∠ADC＝90°.
∴∠H＋∠HCM＝90°＝∠E＋∠ECD.
∴∠H＝∠E.
(2)如图②，若AE＝AB，连接CF，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中的四个三角形(△AEG除外)，使写出的每个三角形都与△AEG全等．
解：符合题意的四个三角形为△BCG，
△DCF，△DHF，△ABF.
6
【教材P62习题T15拓展】【2020·呼和浩特】如图，在正方形ABCD中，G是BC边上任意一点(不与B，C重合)，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F.
(1)求证：AF－BF＝EF.
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠BAF＋∠DAE＝90°.
∵DE⊥AG，∴∠AED＝∠DEG＝90°，
∠DAE＋∠ADE＝90°. ∴∠ADE＝∠BAF.
又∵BF∥DE，∴∠BFA＝∠DEG＝90°＝∠AED.
∴△ABF≌△DAE(AAS)．
∴AF＝DE，AE＝BF. ∴AF－BF＝AF－AE＝EF.
(2)四边形BFDE是否可能是平行四边形？如果可能，请指出此时点G的位置；如果不可能，请说明理由．
解：不可能．理由如下：
如图，连接AC，
若要使四边形BFDE是平行四边形，
已知DE∥BF，则当DE＝BF时，
四边形BFDE为平行四边形．
由(1)可知DE＝AF，
∴BF＝AF，即此时∠BAF＝45°.
又易知∠BAC＝45°，
∴点G与点C重合．
与题中点G不与点C重合矛盾，
∴四边形BFDE不可能是平行四边形．(共17张PPT)
平行四边形对角线的性质
人教版 八年级下
第十八章 平行四边形
18.1.2
D
1
2
3
4
5
A
6
7
A
答 案 呈 现
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C
【2021·宜宾】下列说法正确的是( )
A．平行四边形是轴对称图形
B．平行四边形的邻边相等
C．平行四边形的对角线互相垂直
D．平行四边形的对角线互相平分
1
D
【2021·遵义】如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列结论一定正确的是( )
A．OB＝OD
B．AB＝BC
C．AC⊥BD
D．∠ABD＝∠CBD
A
2
【教材P44练习T2变式】【2021·南充】如图，点O是 ABCD对角线的交点，EF过点O分别交AD，BC于点E，F，下列结论一定成立的是( )
A．OE＝OF
B．AE＝BF
C．∠DOC＝∠OCD
D．∠CFE＝∠DEF
3
A
【教材P51习题T15变式】如图，在 ABCD中，E是对角线BD上一点，过点E的线段FG，HP分别交平行四边形四边于点F，G，H，P.若要确保图中两个阴影部分的面积相等，则需要添加的条件是( )
A．∠ABC＝90°
B．DE:EB＝2:3
C．FG∥BC，HP∥AB
D．AB＜BC
4
C
【点拨】
如图，当FG∥BC，HP∥AB时，图中两个阴影部分的面积相等．
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AB∥CD，AD∥BC.
∵FG∥BC，AB∥PH，
∴AD∥FG∥BC，AB∥HP∥CD.
∵S四边形AFEH＝S△ABD－S△BFE－S△DHE，S四边形EPCG＝S△BCD－S△BEP－S△DEG，
∴S四边形AFEH＝S四边形EPCG.
∴当FG∥BC，HP∥AB时，图中两个阴影部分的面积相等．
由平行四边形的一条对角线所分得的两个三角形的面积相等，由平行四边形的两条对角线所分得的四个三角形的面积相等．
5
6
【教材P47练习T2变式】【2021·宿迁】在①AE＝CF；②OE＝OF；③BE∥DF这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并完成证明过程．
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，______________
(填写序号)．
求证BE＝DF.
②
证明：如图，连接BF，DE.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD.
∵OE＝OF，
∴四边形BEDF为平行四边形．
∴BE＝DF.
(答案不唯一)
如图①，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，过点O作直线EF分别交AD，BC于点E，F.
(1)求证OE＝OF.
7
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AO＝CO.
∴∠EAO＝∠FCO.
又∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF(ASA)．
∴OE＝OF.
(2)如图②，若过O点的直线EF与BA，DC的延长线分别交于点E，F，能得到(1)中的结论吗？由此你能得到什么样的一般性结论？
解：能得到OE＝OF，方法同(1)．
一般性结论：经过平行四边形的对角线的交点的直线被平行四边形的对边或对边的延长线截得的线段被平行四边形的对角线的交点平分．(共37张PPT)
测素质
特殊平行四边形的性质和判定
课题
人教版 八年级
集训课堂
第十八章 平行四边形
1
2
3
4
5
6
7
8
答 案 呈 现
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9
10
11
12
B
C
C
C
B
D
B
C
70
24
55°
13
14
15
16
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17
答 案 呈 现
B
1
【2020·绵阳】如图是以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形，则此图形的对称轴有( )
A．2条
B．4条
C．6条
D．8条
C
2
【2020·荆门】如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF＝5，则菱形ABCD的周长为( )
A．20
B．30
C．40
D．50
C
3
【2020·黔东南州】如图，将矩形ABCD沿AC折叠，使点B落在点B′处，B′C交AD于点E，若∠1＝25°，则∠2等于( )
A．25°
B．30°
C．50°
D．60°
4
B
【教材P57练习T2改编】【2021·柳州】如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝10，则△AOD的面积为( )
A．9
B．10
C．11
D．12
C
5
如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上的一点，过点P作EP∥BC，分别交AB，CD于点E，F，连接PB，PD.若AE＝2，PF＝8，则阴影部分的面积为( )
A．10
B．12
C．16
D．18
B
6
【2020·襄阳】已知四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，下列结论错误的是( )
A．OA＝OC，OB＝OD
B．当AB＝CD时，四边形ABCD是菱形
C．当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形
D．当AC＝BD且AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形
7
D
【教材P61习题T12(2)变式】【2021·烟台】如图，在直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点B的坐标为(－1，0)，∠BCD＝120°，则点D的坐标为( )
8
C
【2021·重庆】如图，把含30°角的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中，∠PMN＝30°，直角顶点P在正方形ABCD的对角线BD上，点M，N分别在AB和CD边上，MN与BD交于点O，且点O为MN的中点，则∠AMP的度数为( )
A．60° B．65°
C．75° D．80°
∴∠AMP＝360°－∠A－∠ADB－∠DPM＝360°－90°－45°－150°＝75°.
9
70
【2020·岳阳】如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠A＝20°，则∠BCD＝________°.
如图，已知面积为1的正方形ABCD的对角线相交于点O，过点O任意作一条直线分别交AD，BC边于点E，F，则阴影部分的面积是________．
10
24
11
【2021·徐州】如图，四边形ABCD与AEGF均为矩形，点E，F分别在线段AB，AD上，若BE＝FD＝2 cm，矩形AEGF的周长为20 cm，则图中阴影部分的面积为________cm2.
【点拨】
∵矩形AEGF的周长为20 cm，
∴AE＋AF＝10 cm.
∵AB＝AE＋BE, AD＝AF＋DF, BE＝FD＝2 cm，
∴S阴影＝S矩形ABCD－S矩形AEGF＝AB·AD－AE·AF＝
(AE＋2)(AF＋2)－AE·AF＝2(AE＋AF)＋4＝2×10＋4＝24(cm2)．
12
如图，在菱形ABCD中，∠A＝110°，E，F分别是AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC＝________．
55°
13
【中考·安顺】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为________．
14
(10分)【2021·恩施州】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且DE∥AC，AE∥BD，连接OE.求证OE⊥AD.
证明：∵DE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AODE为平行四边形．
∵四边形ABCD为矩形，
∴OA＝OD.
∴平行四边形AODE为菱形．
∴OE⊥AD.
15
(10分)【2021·菏泽】如图，在菱形ABCD中，点M，N分别在AB，CB上，且∠ADM＝∠CDN.求证BM＝BN.
16
(12分)【2020·青岛】如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，CF.
(1)求证△ADE≌△CBF.
(2)连接AF，CE.当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是什么特殊四边形？请说明理由．
解：如图，当BD平分∠ABC时，
四边形AFCE是菱形．
理由：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD.
∵∠ADB＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠ADB.
∴AB＝AD. ∴平行四边形ABCD是菱形．
∴AC⊥BD，即AC⊥EF.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵DE＝BF，∴OE＝OF.
∴四边形AFCE是平行四边形．
又∵AC⊥EF，∴四边形AFCE是菱形．
17
(16分)【中考·天水】如图①，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
(1)概念理解：如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，
CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？
请说明理由．
解：四边形ABCD是垂美四边形．
理由：如图，连接BD，AC.
∵AB＝AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上．
∵CB＝CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上．
∴直线AC是线段BD的垂直平分线．
∴AC⊥BD，
即四边形ABCD是垂美四边形．
(2)性质探究：如图①，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD.求证：AB2＋CD2＝AD2＋BC2.
证明：∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°.
由勾股定理，得AB2＋CD2＝AO2＋BO2＋CO2＋DO2，
AD2＋BC2＝AO2＋DO2＋BO2＋CO2，
∴AB2＋CD2＝AD2＋BC2.
(3)解决问题：如图③，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE.已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．
