4.4探索三角形相似的条件 优生辅导训练 2021-2022学年北师大版九年级数学上册（word版含答案）

2021-2022北师大版九年级数学上册《4.4探索三角形相似的条件》优生辅导训练（附答案）
1．在△ABC中，AB＝6cm，AC＝9cm，动点D从点B开始沿BA边运动，速度为1cm/s；动点E从点A开始沿AC边运动，速度为2cm/s．如果D，E两动点同时运动，那么当它们运动 　 　s时，由D，A，E三点连成的三角形与△ABC相似．
2．在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝5，点D在边AB上，且AD＝2，点E在边AC上，当△ADE∽△ABC时，AE＝　 　．
3．如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，AC＝7，点D，E分别在AB，BC上，将△BDE沿ED折叠，点B的对应点F刚好落在AC上．当△CEF与△ABC相似时，BE的长为　 　．
4．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝1，AD平分∠BAC，点E在BA的延长线上，ED＝EC，DE交AC于点F，则图中与△AFE相似的三角形为　 　；AF的长为　 　．
5．如图所示，在△ABC中D为AC边上一点，请你添加一个条件，使△ABC和△BCD相似，你所添加的条件是　 　．
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AB的中点，点E是线段AC上的动点，BC＝4，AB＝8，当△ABC和△AED相似时，AE的长为　 　．
7．如图，△ABC是边长为6cm等边三角形，动点P、Q同时从A、B出发，分别沿AB、BC方向匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点停止运动，在运动过程中作QR∥BA交AC于点R，连接PR，设运动的时间为t（s），当t＝　 　s时△APR∽△PRQ．
8．如图，正方形ABCD的边长为4，AE＝EB，MN＝2，线段MN的两端在CB、CD上滑动，当CM＝　 　时，△ADE与△CMN相似．
9．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝12，CD＝8，BD＝28，点P在BD上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似时，求PB的长．
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝8cm．点M从点C出发，以2cm/s的速度沿CA向点A匀速运动，点N从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一点也随即停止运动．
（1）经过几秒后，△MCN的面积等于△ABC面积的？
（2）经过几秒，△MCN与△ABC相似？
11．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝10cm，BC＝16cm，AD⊥BC于D，点E，F分别从B，C两点同时出发，其中点E沿BC向终点C运动，速度为4cm/s；点F沿CA向终点A运动速度为5cm/s，一个点到达终点时另一个点也随之停止．设它们运动的时间为x（s），请求出x为何值时，△EFC和△ACD相似．
12．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝9，CD＝1，BD＝6，点E在BD上移动，当以E，C，D为顶点的三角形与△ABE相似时，求DE的长．
13．如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且∠BAC＝∠BDC＝∠DAE．求证：△ABE∽△ACD．
14．如图，点D在△ABC的边AB上，AC2＝AD AB，求证：△ACD∽△ABC．
15．如图，在正方形ABCD中，点E在AD上，EF⊥BE交CD于点F．
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）连接BF，若△ABE∽△EBF，试确定点E的位置并说明理由．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在BC、AB上，且∠BDE＝∠CAD．
（1）求证：△BDE∽△CAD；
（2）求证：△ADE∽△ABD．
17．如图所示，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．点D由点A出发沿AB方向向点B匀速运动，同时点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接DE，设运动时间为t（s）（0＜t＜10），解答下列问题：
（1）当t为何值时，△BDE的面积为7.5cm2；
（2）在点D，E的运动中，是否存在时间t，使得△BDE与△ABC相似？若存在，请求出对应的时间t；若不存在，请说明理由．
18．如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BC，AC上，且BD＝CE，AD与BE相交于点F，
（Ⅰ）证明：△ABD≌△BCE；
（Ⅱ）证明：△ABE∽△FAE；
（Ⅲ）若AF＝7，DF＝1，求BD的长．
19．如图，在△ABC中，AD＝DB，∠1＝∠2．求证：△ABC∽△EAD．
20．如图，AD、CE是△ABC的高，AD与CE相交于点F，连接ED．
（1）求证：△ABD∽△CBE；
（2）求证：△ABC∽△DBE．
21．如图所示，已知∠ABD＝∠ACD，求证：△AOD与△BOC相似．
22．如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠DAE，∠ABC＝∠ADE．
求证：（1）△BAC∽△DAE；
（2）△BAD∽△CAE．
参考答案
1．解：根据题意得：AE＝2t，BD＝t，
∴AD＝6﹣t，
∵∠A＝∠A，
∴分两种情况：
①当＝时，
即＝，解得：t＝；
②当＝时，
即＝，解得：t＝；
综上所述：当t＝或时，△ADE与△ABC相似．
2．解：当，△ADE∽△ABC时，＝
此时AE＝＝＝；
故答案为：．
3．解：∵将△BDE沿DE翻折得到△FDE，
∴BE＝EF，
∵BC＝8，
∴CE＝8﹣BE，
当△CEF与△ABC相似时，＝或＝，即＝或＝，
解得：BE＝或，
故答案是：或．
4．解：（1）∵AB＝AC，ED＝EC，
∴∠ABC＝∠ACB，∠EDC＝∠ECD，
∵∠EDC＝∠ABC+∠BED，∠ECD＝∠ACB+∠ACE
∴∠ECA＝∠FEA，
∵∠FAE＝∠EAC，
∴△AFE∽△AEC．
（2）如图，作EG⊥CD交CD于点G，
∵ED＝EC，
∴，
∵AD∥EG，
∴，
∴＝2，
解得，
∵△AFE∽△AEC，
∴，
∴＝，
解得．
故答案为：．
5．解：∵∠C＝∠BCD，
∴当∠A＝∠CBD或∠CDB＝∠ABC时，△ABC∽△BCD．
故答案是：∠A＝∠CBD或∠CDB＝∠ABC（答案不唯一）．
6．解：∵∠C＝90°，AB＝8，BC＝4，
∴AC＝＝＝4，
∵D为AB的中点，
∴AD＝AB＝4，
∴以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，
①若△ADE∽△ABC，则＝，
即＝，
解得AE＝2，
②若△AED∽△ABC，则＝，
即＝，
解得AE＝，
综上所述，AE的长为2或．
故答案为：2或．
7．解：∵△ABC是边长为6cm等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°
∵QR∥BA
∴∠CRQ＝∠A＝60°，∠CQR＝∠B＝60°
∴△CRQ为等边三角形
∵点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s
∴AP＝t，PB＝6﹣t，BQ＝2t，CQ＝CR＝RQ＝6﹣2t，AR＝2t
∵QR∥BA
∴∠QRP＝∠APR
若要△APR∽△PQR，则需满足∠RPQ＝60°
∴∠BPQ+∠APR＝120°，∠ARP+∠APR＝120°
∴∠BPQ＝∠ARP
又∵∠A＝∠B
∴△APR∽△BQP
∴＝
∴＝
解得t＝1.2
故答案为1.2．
8．解：∵AE＝EB，
∴AD＝2AE，
又∵△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似，
∴分两种情况：
①CM与AD是对应边时，CM＝2CN，
∴CM2+CN2＝MN2＝4，
即CM2+CM2＝4，
解得：CM＝；
②CM与AE是对应边时，CM＝CN，
∴CM2+CN2＝MN2＝4，
即CM2+4CM2＝4，
解得：CM＝．
综上所述：当CM为或时，△AED与△CMN相似．
故答案是：或．
9．解：设DP＝x，则BP＝BD﹣x＝14﹣x，
∵AB⊥BD于B，CD⊥BD于D，
∴∠B＝∠D＝90°，
∴当＝时，△ABP∽△CDP，即＝，
解得x＝，
经检验x＝是分式方程的解，
BP＝28﹣＝16.8；
当＝时，△ABP∽△PDC，即＝，
解得x1＝4，x2＝24，
经检验，x＝4或24是分式方程的解，
BP＝28﹣4＝24，BP＝28﹣24＝4，
∴当BP为16.8或4或24时，以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似．
10．解：（1）设经过x秒，△MCN的面积等于△ABC面积的．
×2x（8﹣x）＝×8×10×．
解得x1＝x2＝4．
答：经过4秒后，△MCN的面积等于△ABC面积的；
（2）设经过t秒，△MCN与△ABC相似．
∵∠C＝∠C，
∴可分为两种情况：
①＝，即＝，
解得t＝；
②＝，即＝．
解得t＝．
答：经过或秒，△MCN与△ABC相似．
11．解：（1）如图1中，
点F在AC上，点E在BD上时，
①当时，△CFE∽△CDA，
∴，
∴t＝，
②当时，即，
∴t＝2，
当点F在AC上，点E在CD上时，不存在△EFC和△ACD相似，
综上所述，t＝s或2s时，△EFC和△ACD相似．
12．解：设DE＝x，则BE＝BD﹣x＝6﹣x，
∵AB⊥BD于B，CD⊥BD于D，
∴∠B＝∠D＝90°，
∴当时，△ABE∽△CDE，即，
解得x＝，
当时，△ABE∽△EDC，即，
整理得x2﹣6x+9＝0，
解得x1＝x2＝3，
∴当DE为或3时，以C、D、E为顶点的三角形与以E、B、A为顶点的三角形相似．
13．解：∵∠BAC＝∠BDC，∠AOB＝∠DOC，
∴∠ABE＝∠ACD
又∵∠BAC＝∠DAE
∴∠BAC+∠EAC＝∠DAE+∠EAC
∴∠DAC＝∠EAB
∴△ABE∽△ACD．
14．证明：∵AC2＝AD AB，
∴AC：AB＝AD：AC．
又∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC．
15．（1）证明∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠D＝90°．
∴∠AEB+∠ABE＝90°．
∵EF⊥BE，
∴∠AEB+∠DEF＝90°．
∴∠ABE＝∠DEF．
在△ABE和△DEF中，∠ABE＝∠DEF，∠A＝∠D，
∴△ABE∽△DEF；
（2）解：点E为AD的中点时，△ABE∽△EBF，理由如下：
∵△ABE∽△DEF，
∴．
∵△ABE∽△EBF，
∴．
∴．
∴DE＝AE．
∴点E为AD的中点．
16．解：（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
又∵∠BDE＝∠CAD，
∴△BDE∽△CAD；
（2）证明：∵△BDE∽△CAD，
∴∠BED＝∠CDA，
∴180°﹣∠BED＝180°﹣∠CDA
即∠AED＝∠ADB．
又∵∠BAD＝∠DAE，
∴△ADE∽△ABD．
17．解：（1）分别过点D、A作DF⊥BC、AG⊥BC，垂足为F、G
如图
∴DF∥AG，＝
∵AB＝AC＝10，BC＝16∴BG＝8，∴AG＝6．
∵AD＝BE＝t，∴BD＝10﹣t，
∴＝
解得DF＝（10﹣t）
∵S△BDE＝BE DF＝7.5
∴（10﹣t） t＝15
解得t＝5．
答：t为5秒时，△BDE的面积为7.5cm2．
（2）存在．理由如下：
①当BE＝DE时，△BDE∽△BCA，
∴＝即＝，
解得t＝，
②当BD＝DE时，△BDE∽△BAC，
＝即＝，
解得t＝．
答：存在时间t为或秒时，使得△BDE与△ABC相似．
18．解：（Ⅰ）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠BCE，
在△ABD与△BCE中
，
∴△ABD≌△BCE（SAS）；
（Ⅱ）由（1）得：∠BAD＝∠CBE，
又∵∠ABC＝∠BAC，
∴∠ABE＝∠EAF，
又∵∠AEF＝∠BEA，
∴△AEF∽△BEA；
（Ⅲ）∵∠BAD＝∠CBE，∠BDA＝∠FDB，
∴△ABD∽△BFD，
∴，
∴BD2＝AD DF＝（AF+DF） DF＝8，
∴BD＝2．
19．证明：∵AD＝DB，
∴∠B＝∠BAD．
∵∠BDA＝∠1+∠C＝∠2+∠ADE，
又∵∠1＝∠2，
∴∠C＝∠ADE．
∴△ABC∽△EAD．
20．（1）证明：∵AD、CE是△ABC的高，
∴∠ADB＝∠CEB＝90°，
∵∠B＝∠B，
∴△ABD∽△CBE．
（2）证明：∵△ABD∽△CBE，
∴＝，
∴＝，
∵∠B＝∠B，
∴△ABC∽△DBE．
21．证明：∵∠ABO＝∠OCD，∠AOB＝∠DOC，
∴△AOB∽△DOC，
∴＝，
∴＝，
∵∠AOD＝∠BOC，
∴△AOD∽△BOC．
22．证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE，∠ABC＝∠ADE．
∴△BAC∽△DAE；
（2）∵△BAC∽△DAE，
∴，
∴，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD∽△CAE．