2021-2022学年人教A版（2019）高中数学必修第一册4.4.3 不同函数增长的差异 同步练习（含解析）

4.4.3 不同函数增长的差异-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册同步练习（含解析）
一、单选题
下列函数中随x的增大而增长速度最快的是
A. B. C. D.
三个变量，，随着变量x的变化情况如下表：
x 1 3 5 7 9 11
5 135 625 1715 3645 6655
5 29 245 2189 19685 177149
5
则关于x分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
下列四种说法中，正确的是
A. 幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
B. 对任意的，
C. 对任意的，
D. 不一定存在，当时，总有
下列散点图中，有可能用函数来模拟的是
A. B.
C. D.
设函数，，，当时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列结论正确的是
A. 增长最快，增长最慢 B. 增长最快，增长最慢
C. 增长最快，增长最慢 D. 增长最快，增长最慢
有一组实验数据如下：
x
y
现在从下列函数中选一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最恰当的一个是
A. B. C. D.
函数的大致图象是
A. B.
C. D.
当时，有下列结论：
指数函数，当a越大时，其函数值的增长越快；
指数函数，当a越小时，其函数值的增长越快；
对数函数，当a越大时，其函数值的增长越快；
对数函数，当a越小时，其函数值的增长越快．
其中正确的结论是
A. B. C. D.
某市的房价均价经过6年时间从1200元平方米增加到了4800元平方米，则这6年间平均每年的增长率是
A. 600元 B. C. D.
某新款电视投放市场后第一个月销售了100台，第二个月销售了200台，第三个月销售了400台，第四个月销售了790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数之间关系的是
A. B.
C. D.
二、多选题
如图所示是某池塘中的浮萍蔓延的面积与时间月的关系：，且蔓延3个月时，浮萍面积为下列叙述正确的是
A. 第5个月时浮萍面积就会超过
B. 浮萍面积从蔓延到要经过个月
C. 每月增加的浮萍面积相等
D. 若浮萍面积为，，所经过的时间分别为，，，则
三、填空题
用洗衣机洗衣服时，假设每次能洗去污垢的，则要使留在衣服上的污垢不超过衣服上最初污垢量的，则至少要洗 次．
在最近的30天内，某商品的价格与时间单位：天的函数关系是N，销售量与时间t的函数关系是N，这种商品的日销售金额的最大值是________．
近几年由于北京房价的上涨，引起二手房市场交易火爆，房子几乎没有变化，但价格却上涨了小张在2013年以180万的价格购得一套新房子，假设这10年来价格年膨胀率不变，那么到2023年，这套房子的价格万元与价格年膨胀率x之间的函数关系式是____．
函数与函数在区间上增长较快的一个是________．
函数与在区间上增速较慢的是 ．
某种病菌30分钟可繁殖为原来的2倍，且知这种病菌的繁殖规律为其中k为常数，t为时间，单位：时，e为常用对数的底数，，y表示病菌个数，则 ；经过5小时，1个病菌能繁殖为 个．
四、解答题
甲、乙、丙三个公司分别到慈善总会捐款给某灾区，捐款方式如下：
甲公司：在10天内，每天捐款5万元给灾区；乙公司：在10天内，第1天捐款1万元，以后每天比前一天多捐款1万元；丙公司：在10天内，第1天捐款万元，以后每天捐款都比前一天翻一番．
你觉得哪个公司捐款最多？
某企业拟用10万元投资甲、乙两种商品．已知各投入x万元，甲、乙两种商品可分别获得，万元的利润，利润曲线：，：如图所示．
求函数，的解析式；
为使投资获得最大利润，应怎样分配投资额，才能获得最大利润．
已知函数，，的图象如图所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三个函数的增长差异以1，a，b，c，d，f为分界点．
甲厂根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：生产产品量单位：百台，其总成本为单位：万元，其中固定成本为3万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元总成本固定成本生产成本，销售收入单位：万元假定该产品产销平衡即生产的产品都能卖掉，请根据上述统计规律，完成下列问题．
写出利润函数的解析式利润销售收入总成本．
甲厂生产多少百台产品时，可使盈利最多
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查的是函数增长速度，由指数函数中底数大于1的情况下，增加速度呈现一种指数爆炸模式，就是增加速度非常快可得结果是容易题．
【解答】
解：因为指数函数中底数大于1的情况下，增加速度非常快，而，故增加速度最快的是A．
故选A．
2.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查指数函数，对数函数，幂函数在相同情况下，函数值的变化快慢情况，掌握相应变化规律即可．
函数值的增长速度最快为指数函数，其次为幂函数，最后为对数函数，据此求出结果．
【解答】
解：函数值的增长速度最快为指数函数，其次为幂函数，最后为对数函数．
由列表可知，增加最快的是，其次为，最后为．
则关于x分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为，，，
故选C．

3.【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了指数函数及其性质、对数函数及其性质、幂函数的相关知识，试题难度较易
【解答】解：对于A，幂函数与一次函数的增长速度受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长速度不能比较．
对于B，C，当时，显然不成立．
对于D，当，时，一定存在，使得当时，总有，但若去掉限制条件“，”，则结论不成立．
故选D．
4.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查对数函数的图象，属于基础题．
根据对数函数的图象及，结合选项即可判断．
【解答】
解：根据函数的图象及，
结合选项可知，有可能用函数来模拟的是选项C．
故选C．
5.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查幂指对函数的增长快慢的比较，属基础题，根据幂指对函数规律做出比较即可得出结论．
【解答】
解：在时，指数函增长的最快，对数函数增长的最慢，幂函数的增长速度介于和之间，
故选B．
6.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查函数模型的选择，属于基础题．
选择x，计算对应的函数值，对照题设中实验数据，偏离程度较大的可排除，进而可确定结果．
【解答】
解：取，可得，可排除AB；
取，得，排除D．
故最恰当的一个函数是．
故选C．
7.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查函数图象的应用，考查特殊值法在选择题中的应用，属于基础题．
根据特殊值即可排除选项BCD，得到结果．
【解答】
解：当或4时，，所以函数的图象与x轴的正半轴有两个交点，排除BC；
当时，，排除D．
故选A．
8.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查指数函数与对数函数的图像与性质，根据图像直接得到答案即可．
【解答】
解：指数函数，当a越大时，其函数值的增长越快；故正确，错误；对数函数，当a越小时，其函数值的增长越快．故错误，正确，
因此正确的是．
故选B．
9.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查指数函数模型，属基础题．
设平均每年的增长率为x，可得，解之即可．
【解答】
解：设这6年间平均每年的增长率为x，
则有，
解得．
故选C．
10.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查函数模型的应用，属于基础题型．
将题目中的数据代入各函数中，易知指数型函数能较好地与题中的数据相对应即可求解．
【解答】
解：由题干信息可得，各数据为，，，，
将数据代入各函数中，
易知指数型函数能较好地与题中的数据相对应．
故选C．
11.【答案】AD
【解析】
【分析】
本题考查了指数函数的图象和性质，熟练掌握指数函数的性质以及对数函数和指数函数的关系是解题的关键
首先根据图象上的点坐标，不难确定a的值，由此分析A的正误
对于B，求出和对应t的值，从而可以作出判断，对于C，可结合图象分析增长的面积的大小即可得解
对于D，由可得，将浮萍的面积分别代入即可求得，，，继而利用对数的运算性质即可作出判断．
【解答】
解：由图象可知，时，，所以，
当时，，故A正确
当时，由知，
当时，由知
，故B错误
浮萍每月增长的面积不相等，实际上增长速度越来越快， C错误
对于D，，，，
即，故D正确．
综上可得AD正确．
12.【答案】5
【解析】
【分析】
本题以实际问题为载体，考查指数函数模型，考查解不等式，属于基础题．
由题意，设至少要洗n次，则，解不等式即可．
【解答】
解：由题意，设至少要洗n次，则，
，
，
故答案为5．

13.【答案】506
【解析】
【分析】
本题考查函数模型的构建，考查函数的最值，解题的关键是把实际问题转化为数学问题进行求解．
日销售额，利用配方法可求这种商品的日销售额的最大值．
【解答】
解：由题意可得，日销售额，
，
或13时，日销售额取得最大值为506元．
故答案为：506．
14.【答案】
【解析】
【分析】本题考查函数模型的应用，涉及指数函数模型，正确理解题意是解题的关键，属于基础题，由题意，根据1年后的价格，2年后的价格，类推可得10年后的价格．
【解答】
解：1年后的价格为万元，
2年后的价格为万元，
由此可推得10年后的价格为万元．

15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数增长速度的概念，清楚二次函数、一次函数，以及对数函数增长速度的关系．
可以知道一次函数的增长速度大于对数函数的增长速度，从而可得出的增长速度大于的增长速度．
【解答】
解：，；
一次函数的增长速度大于对数函数的增长速度；
的增长速度大于的增长速度；
的增长速度较快．
故答案为：．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了对数函数与幂函数之间的增长差异，属于基础题．
作出函数与图象可得答案．
【解答】
解：作出函数与图象：

故可得函数与在区间上增速较慢的是，
故答案为：

17.【答案】2ln2
1024
【解析】
【分析】
本题考查指数对数的综合应用，涉及利用指数式与对数式的转换解指数方程，对数恒等式及其运算，，由题意可得，在函数中，当时，，可求k的值，然后利用所求的函数解析式可得当时的函数值．
【解答】
解：因为该病菌30分钟可繁殖为原来的2倍，所以在函数中，当时，，所以，，
当时，，
故答案为2ln2；1024．
18.【答案】解：三个公司在10天内捐款情况如下表所示．
由上表可以看出，丙公司捐款最多，为万元．
【解析】本题考查函数模型的应用，根据题目条件列表观察即可．
19.【答案】解：：，过点，，
，
，
：，过点，，
，
．
设用x万元投资甲商品，那么投资乙商品为万元，总利润为y万元．
则，
当且仅当即时，，
此时投资乙商品为万元，
答：用万元投资甲商品，万元投资乙商品，才能获得最大利润．
【解析】根据函数的模型设出函数解析式，从两个图中分别找出特殊点坐标，代入函数解析式求出两个函数解析式．
将企业获利表示成对产品甲投资x的函数，将函数配方转化为关于的二次函数，求出对称轴，求出函数的最值．
本题考查将实际问题的最值问题转化为函数的最值问题、考查利用待定系数法求函数的解析式、考查换元法注意新变量的范围、二次函数的最值与对称轴有关．
20.【答案】解：曲线对应的函数是，
曲线对应的函数是，
曲线对应的函数是．
由题图知，当时，；当时，；
当时，；当时，；
当时，；当时，；
当时，．
【解析】本题考查指数函数、对数函数、幂函数的图像以及性质，属于中档题．
由指数函数、对数函数、幂函数的图像特征进行判断，由性质得增长．
21.【答案】解：由题意得，
又
当时，函数单调递减，
当时，，
当时，有最大值．
综上，当甲厂生产4百台产品时，可使盈利最大．
【解析】本题考查分了段函数模型：求单调性和最值，考查一次函数和二次函数的单调性及最值，属于一般题．
由题意可得，对x讨论，即可得到；
分别讨论，的函数的单调性，即可得到最大值．
第2页，共3页
第1页，共1页