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3.3 幂函数
【学习要求】
1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式.
2.结合幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象，掌握它们的性质.
3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小．
【思维导图】
【知识梳理】
1、幂函数的概念
(1)概念：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
(2)特征:
只有同时满足这三个特征的函数才是幂函数．对于形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5……等形式的函数都不是幂函数．
2、幂函数的图象与性质
(1)幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，，y＝x－1的图象．
(2)幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，，y＝x－1的性质．
y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x－1
图象
定义域 R R R [0，＋∞) (－∞，0)(0，＋∞)
值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) (－∞，0)(0，＋∞)
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数
单调性 在(－∞，＋∞)上单调递增 在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增 在(－∞，＋∞)上单调递增 在[0，＋∞)上单调递增 在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减
定点 (1,1)，(0,0) (1,1)，(0,0) (1,1)，(0,0) (1,1)，(0,0) (1,1)
(3)幂函数y＝xα在第一象限的特征
α的范围 过定点 单调性
α＞0 α＞1 (0,0)，(1,1) 下凸递增
0＜α＜1 上凸递增
α＜0 (1,1) 递减，且以两坐标轴为渐近线
3、利用待定系数法求幂函数的解析式及函数值
幂函数的解析式y＝xα中仅含有一个常数α，则只需要一个条件即可确定幂函数的解析式，这样的条件往往是已知f(m)＝n或图象过点(m，n)等等．通常利用待定系数法求解，设出幂函数的解析式为f(x)＝xα，利用已知条件列方程求出常数α的值．
4、与幂函数有关的简单不等式
(1)与幂函数有关的不等式往往是[f(x)]α＞[g(x)]α，通常利用幂函数y＝xα的定义域和单调性，转化为关于f(x)和g(x)的不等式组．解不等式的过程中，不能忽视幂函数的定义域，否则容易出错．(2)解与幂函数有关的不等式也可以结合幂函数的图象，数形结合进行求解．
【高频考点】
高频考点1. 幂函数的概念、解析式
【方法点拨】（1）判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：①指数为常数；②底数为自变量；③系数为1.
（2）对于幂函数过已知的某一点，求幂函数解析式问题：先设出幂函数的解析式y＝xα(α为常数)，再将已知点代入解析式，求出α，即可得出解析式.
【例1】（2021 兴庆区校级期末）已知幂函数过点（2，4），则解析式为（ ）
A．y＝2x B．y＝2x C．y＝x2 D．y＝x﹣2
【答案】C
【分析】由题意利用幂函数的定义和性质，用待定系数法求函数的解析式．
【解析】解：设幂函数为y＝xα，由于它的图象过点（2，4），
∴4＝2α，∴α＝2，故函数的解析式为y＝x2，故选：C．
【变式1-1】（2021 仓山区校级期末）已知点在幂函数y＝f（x）的图象上，则f（x）的表达式（ ）
A．f（x） B．f（x）＝x3 C．f（x）＝x﹣2 D．
【答案】B
【分析】设幂函数的解析式，代入点的坐标即可求出函数的解析式．
【解析】解：设幂函数y＝f（x）＝xα，α∈R；代入点，得，解得α＝3，
所以幂函数y＝f（x）＝x3．故选：B．
【变式1-2】（2021·济南·山东省实验中学高三月考）已知幂函数的图象过点，则（ ）
A． B．2 C．1 D．4
【答案】D
【分析】设，然后将点代入可求出，从而可求出解析式，进而可求得的值
【详解】由题意设，因为幂函数的图象过点，
所以，得，所以，所以，故选：D
【变式1-3】（2021·云南省玉溪第一中学高一月考）已知幂函数的图象过点，则该函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设出幂函数的解析式，根据点求得解析式.
【详解】设，依题意，所以.故选：D
【变式1-4】（2021·罗平县第二中学高一期末）已知幂函数的图象经过点(2，4)，则f(-2)＝（ ）
A．-9 B．9 C．4 D．-4
【答案】C
【分析】设出幂函数的解析式，由给定条件求出解析式再计算即得.
【详解】依题意，设幂函数，于是得，解得，则有，
所以.故选：C
高频考点2 . 幂函数的定义域、值域
【方法点拨】根据幂函数的解析式，可以将分数指数幂化成根式形式，依据根式有意义求定义域，再根据定义域来求幂函数的值域.
【例2】（2021春 浙江月考）已知幂函数f（x）＝xα满足f （3），则该幂函数的定义域为 ．
【分析】根据幂函数f（x）＝xα满足f（3），可求出α，然后根据偶次方根被开发数大于等于0，分式分母不等于0，求法f（x）的定义域．
【详解】解：因为幂函数f（x）＝xα满足f（3），所以f（3）＝3α，解得α，
所以f（x），该幂函数的定义域为（0，+∞）．故答案为：（0，+∞）．
【变式2-1】（2021·全国高三专题练习）下列四个函数：①；②；③；④，其中定义域与值域相同的函数的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据基本初等函数的性质，逐个判断函数的定义域和值域，即可得出结果.
【详解】①函数的定义域为，值域也为；即定义域和值域相同；
②函数的定义域为，值域也为；即定义域和值域相同；
③指数函数的定义域为，值域为，即定义域和值域不同；
④幂函数的定义域为，值域也为，即定义域和值域相同；故选：C.
【变式2-2】（2021·上海高一专题练习）函数的定义域为_______，值域为___________．
【答案】
【分析】根据幂函数的性质计算可得；
【详解】解：，所以，
因此，函数的定义域为，值域为.故答案为：；.
【变式2-3】（2021 临沂校级月考）函数y的定义域是 ，值域是 ．
【分析】根据函数成立的条件，结合幂函数的图象和性质即可得到结论．
【详解】解：由幂函数的图象和性质可知，函数y的定义域为{x|x≠0}，值域为{y|y≠0}，
故答案为：{x|x≠0}；{y|y≠0}.
【变式2-4】（2021·上海高一专题练习）幂函数的定义域的区间表示为__________，值域为________．
【答案】 .
【分析】结合幂函数的图像与性质，即可求解.
【详解】由题意，函数，则满足，解得，即函数的定义域为，
又由幂函数，可得函数在定义域上为单调递增函数，
可得时，函数取得最小值0，所以函数的值域为.故答案为：；.
高频考点3 . 幂函数的图象
【方法点拨】根据一般幂函数的图象特征，对所给的幂函数解析式或图象进行分析，即可得解；
温馨提示：①若幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.②无论为何实数，幂函数的图象最多只能出现在两个象限内，且一定经过第一象限，一定不经过第四象限.
【例3】（2021·山东高一月考）幂函数、、以及将平面直角坐标系第一象限分成八个“卦限”：Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ（如图所示），那么幂函数的图像在第一象限中经过的“卦限”是（ ）
A．Ⅳ和Ⅶ B．Ⅳ和Ⅷ C．Ⅲ和Ⅶ D．Ⅲ和Ⅷ
【答案】C
【分析】本题可通过绘出幂函数的图像得出结果.
【详解】如图所示，在图中绘出幂函数的图像（用虚线表示）
结合图像易知，幂函数的图像经过的“卦限”是Ⅲ和Ⅶ，故选：C.
【变式3-1】（2021 湖北学业考试）如图，①②③④对应四个幂函数的图像，其中②对应的幂函数是（ ）
A．y＝x3 B．y＝x2 C．y＝x D．
【解题思路】根据幂函数的图像和性质判断即可．
【解答过程】解：根据幂函数的图像以及性质得：
①是y，②是y＝x，③是y＝x2，④是y＝x3，故选：C．
【变式3-2】（2021 滨州期末）已知幂函数y1＝xa，y2＝xb，y3＝xc，y4＝xd在第一象限的图象如图所示，则（ ）
A．a＞b＞c＞d B．b＞c＞d＞a C．d＞b＞c＞a D．c＞b＞d＞a
【解题思路】根据幂函数在第一象限内的图象与性质，判断a、b、c、d的大小．
【解答过程】解：根据幂函数y1＝xa，y2＝xb，y3＝xc，y4＝xd在第一象限的图象知，
b＞c＞1＞d＞0＞a，即b＞c＞d＞a．故选：B．
【变式3-3】（2021春 浙江期中）图中C1、C2、C3为三个幂函数y＝xα在第一象限内的图象，则解析式中指数α的值依次可以是（ ）
A．、3、﹣1 B．﹣1、3、 C．、﹣1、3 D．﹣1、、3
【解题思路】根据幂函数y＝xα在第一象限内的图象性质，结合选项即可得出指数α的可能取值．
【解答过程】解：由幂函数y＝xα在第一象限内的图象知，
图中C1对应的α＜0，C2对应的0＜α＜1，C3对应的α＞1；
结合选项知，指数α的值依次可以是﹣1，和3．故选：D．
【变式3-4】（2021·全国高三专题练习）若幂函数 (m，n∈N*，m，n互质)的图像如图所示，则（ ）
A．m，n是奇数，且<1 B．m是偶数，n是奇数，且>1
C．m是偶数，n是奇数，且<1 D．m是奇数，n是偶数，且>1
【答案】C
【分析】根据幂函数的图像和性质利用排除法求解
【详解】由图知幂函数f(x)为偶函数，且，排除B，D；
当m，n是奇数时，幂函数f(x)非偶函数，排除A；故选：C.
高频考点4. 比较幂值的大小
【方法点拨】①直接法：当幂指数相同时，可直接利用幂函数的单调性来比较.
②转化法：当幂指数不同时，可以先转化为相同幂指数，再运用单调性比较大小.
③中间量法：当底数不同且幂指数也不同时，不能运用单调性比较大小，可选取适当的中间值，从而达到比较大小的目的.
【例4】（2021 天心区校级期末）幂函数的图象经过点，若0＜a＜b＜1，则下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】利用待定系数法求出幂函数解析式，再利用幂函数单调性即可比较出函数值的大小关系．
【解答过程】解：设幂函数解析式为：y＝xα （α为常数），
∵幂函数的图象经过点，∴2，解得α＝﹣1，
∴幂函数解析式为：y＝x﹣1，∴幂函数y在（0，+∞）上单调递减，
∵0＜a＜b＜1，∴0＜a＜b＜1，又∵幂函数y在（0，+∞）上单调递减，
∴f（a）＞f（b）＞f（）＞f（），故选：B．
【变式4-1】（2021·湖北高三开学考试）若，，，，则a，b，c，a的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据幂函数的概念，利用幂函数的性质即可求解.
【详解】 幂函数在上单调递增，
又，，故选：C.
【变式4-2】（2021 罗田县期中）已知a＝20.4，b＝30.2，c＝50.2，则（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b
【解题思路】把a，b，c化为指数相同的指数幂，再利用同指数的幂函数的单调性比较出大小．
【解答过程】解：∵a＝20.4＝40.2，b＝30.2，c＝50.2，
又∵幂函数y＝x0.2，在（0，+∞）上单调递增，∴c＞a＞b，故选：B．
【变式4-3】（2021·全国高三专题练习）设，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据指数函数与幂函数的单调性判断的大小关系.
【详解】因为函数在上是增函数，所以，即，又因为函数在上是增函数，所以，所以，故.故选：C
【变式4-4】（2021 金明区校级期中）已知幂函数y＝f（x）的图象过点，则f（﹣1.1）与f（2.2）的大小关系是 ．
【解题思路】求出幂函数的解析式，利用幂函数的单调性与奇偶性判断f（﹣1.1）与f（2.2）的大小．
【解答过程】解：设幂函数为：y＝xa，因为幂函数y＝f（x）的图象过点，
所以，解得a＝﹣2，幂函数为y＝x﹣2，函数的偶函数，x＞0时，是减函数，
f（﹣1.1）＝f（1.1）＞f（2.2）．∴f（﹣1.1）＞f（2.2）．故答案为：f（﹣1.1）＞f（2.2）．
高频考点5 . 利用幂函数的性质求参数
【方法点拨】①根据所给函数解析式是幂函数，可列式求出参数的值；②结合幂函数的单调性或奇偶性，进行分析，得出满足条件的参数值.
【例5】（2021·沙坪坝·重庆南开中学高一期末）已知幂函数为定义在R上的偶函数，则实数___________.
【答案】0
【分析】根据幂函数定义可构造方程求得，将的值代入解析式验证函数奇偶性可确定结果.
【详解】为幂函数， ，解得：或；
当时，，是偶函数，满足题意；当时，，是奇函数，不满足题意；
综上所述：；故答案为：0.
【变式5-1】（2021·巴楚县第一中学高三月考）已知函数是幂函数，且在上递减，则实数m=（ ）
A．2 B．1 C．4 D．2或1
【答案】A
【分析】由幂函数的定义可得或，再根据区间单调性及幂函数的性质确定的值.
【详解】由题意知：，即，解得或，
∴当时，，则在上 为常数，不合题意.
当时，，则在单调递减，符合题意.∴.故选：A
【变式5-2】（2021·河南高三月考）若幂函数在上单调递增，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据幂函数的系数等于，以及的指数位置大于即可求解.
【详解】因为函数是幂函数，所以，解得或．
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，所以．故选：D.
【变式5-3】（2021 皇姑区校级模拟）已知幂函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）x在（0，+∞）上为增函数，则实数m的值是（ ）
A．﹣1 B．3 C．﹣1或3 D．1或﹣3
【解题思路】由题意利用幂函数的定义和性质，可得 m2﹣2m﹣2＝1，且 m2﹣2＞0，由此求得m的值．
【解答过程】解：∵幂函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）x在（0，+∞）上为增函数，
∴m2﹣2m﹣2＝1，且 m2﹣2＞0，求得m＝3，
【变式5-4】（2020·重庆市清华中学校高一月考）已知幂函数在内单调递增，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．1
【答案】B
【分析】根据题意得出关于的等式和不等式，解出即可.
【详解】由于幂函数在内单调递增，
则，解得.故选：B.
【点睛】本题考查利用幂函数的解析式与单调性求参数，同时要注意幂函数的系数为这个条件的限制，考查运算求解能力，属于基础题.
高频考点6 . 利用幂函数的性质解不等式
【方法点拨】利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量或幂指数的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题.求解步骤如下:(1)确定可以利用的幂函数；(2)借助相应的幂函数的单调性、奇偶性，将不等式的大小关系转化为自变量或幂指数的大小关系；(3)解不等式(组)求参数范围，注意分类讨论思想的应用.
【例6】（2021·安徽金安·六安一中高三月考）已知幂函数的图象经过点，且，则的取值范围为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先根据已知条件求出的解析式，再根据的单调性和奇偶性求解即可.
【详解】由题意可知，，解得，，
故，易知，为偶函数且在上单调递减，
又因为，所以，解得，或.
故的取值范围为.故选：C.
【变式6-1】（2021·湖北襄城·襄阳四中高三月考）若幂函数f（x）的图象过点（64，2），则f（x）＜f（x2）的解集为（ ）
A．（﹣∞，0） B．（0，1） C．（1，+∞） D．（0，1）∪（1，+∞）
【答案】C
【分析】设幂函数f（x）＝xα，由题意求得α的值，可得不等式然后解具体的不等式求得x的范围．
【详解】解：设幂函数f（x）＝xα，由于它的图象过点（64，2），
∴2＝64α，∴α＝，f（x）＝．则f（x）＜f（x2），即，∴0≤x＜x2，
∴x＞1，故原不等式的解集为（1，+∞），故选：C．
【变式6-2】（2020·重庆市合川实验中学高三月考（理））已知函数，且满足，则a的取值范围为（ ）
A．或 B． C．或 D．
【答案】D
【分析】结合和的奇偶性与单调性判断出的奇偶性与单调性，进而根据函数的性质即可解不等式.
【详解】因为函数的定义域为,
因为为偶函数且在上单调递减，为偶函数且在上单调递减，
所以函数为偶函数且在上单调递减，
又因为，所以，即，故选：D.
【变式6-3】（2021秋 庐江县期末）已知幂函数f（x）＝x，若f（a+1）＜f（10﹣2a），则a的取值范围是 .
【解题思路】根据幂函数的图象与性质，列出与f（a+1）＜f（10﹣2a）等价的不等式组，求出解集即可．
【解答过程】解：幂函数f（x）＝x，其定义域为[0，+∞），且在定义域上是单调增函数；
所以不等式f（a+1）＜f（10﹣2a），等价于，解得﹣1≤a＜3，
所以a的取值范围是[﹣1，3）．故答案为：[﹣1，3）．
【变式6-4】（2021春 渭滨区期末）已知幂函数f（x）过定点（2，8），且满足f（a2+1）+f（﹣2）＞0，则a的范围为 ．
【解题思路】利用待定系数法求出幂函数y＝f（x）的解析式，再根据f（x）的单调性和奇偶性转化不等式f（a2+1）＞f（2），从而求得a的取值范围．
【解答过程】解：设幂函数y＝f（x）＝xα，α∈R，由f（x）图象过点（2，8），则2α＝8，解得α＝3；
所以f（x）＝x3，且f（x）是R上的单调增函数且为奇函数；
所以不等式f（a2+1）＞f（2）等价于a2+1＞2；解得：a＞1或a＜﹣1，
所以a的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．
【课后训练】
全卷共22题 满分：150分 时间：120分钟
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.（2021 日照模拟）已知幂函数y＝xa的图象经过点（2，4），则f（﹣3）＝（ ）
A．﹣9 B．9 C．3 D．﹣3
【解题思路】根据幂函数的图象过点（2，4）求出函数解析式，再计算所求的函数值．
【解答过程】解：因为幂函数y＝xa的图象过点（2，4），
所以2a＝4，a＝2，y＝f（x）＝x2，所以f（﹣3）＝（﹣3）2＝9．故选：B．
2．（2021·黑龙江道里·哈尔滨三中高三月考）已知是幂函数，且在上单调递增，则满足的实数的范国为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由幂函数的定义求得的可能取值，再由单调性确定的值，得函数解析式，结合奇偶性求解.
【详解】由题意，解得或，
又在上单调递增，所以，，
所以，，易知是偶函数，
所以由得，解得或.故选：D.
3．（2021·全国高一专题练习）已知幂函数的图象过点，则函数在区间上的最小值是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】由代入法可得，求出在区间上单调递增，
即可得到最小值.
【详解】由幂函数的图像过点，可得，解得，所以，
函数，显然在区间上单调递增，
所以的最小值.故选：
4．（2021·重庆市万州南京中学高一期中）给定四个命题：①当时，是减函数；②幂函数的图象都过，两点；③幂函数的图象不可能出现在第四象限；④幂函数在第一象限为减函数，则，其中正确的命题为（ ）
A．①④ B．②③ C．②④ D．③④
【答案】D
【分析】据幂函数的性质：单调性、图象、特殊点，以及指数与函数性质间的关系，即可判断各项的正误.
【详解】①当时，在和都递减，而在不单调，错误；
②幂函数的图象都过，但不一定过，错误；③幂函数的图象不可能出现在第四象限，正确；
④幂函数在第一象限为减函数则，正确；故选：D
5．（2021·全国高一课时练习）已知幂函数的图象关于原点对称，则满足成立的实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由于函数为幂函数，所以，求出或，由于幂函数的图像关于原点对称，所以，然后解不等式即可得答案
【详解】由题意得：，得或
当时，图象关于y轴对称，不成立；当时，是奇函数，成立；
所以不等式转化为，即，解得.故选：D
6．（2021·全国高三专题练习）幂函数是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，则m的值为（ ）
A．﹣6 B．1 C．6 D．1或﹣6
【答案】B
【分析】由题意可得， ，且为偶数，由此求得m的值．
【详解】∵幂函数是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，
∴，且为偶数或
当时，满足条件；当时，，舍去 因此：m＝1故选：B
7.（2021 湖北开学）若，则a，b，c，d的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c＞d B．b＞a＞d＞c C．b＞a＞c＞d D．a＞b＞d＞c
【解题思路】由题意根据幂函数的单调性，得出结论．
【解答过程】解：∵，函数y是（0，+∞）上的增函数，
3＞2，∴b＞a＞c＞d，故选：C．
8.（2021 大连期末）幂函数y＝x﹣1及直线y＝x，y＝1，x＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧（如图所示），那么幂函数的图象经过的“卦限”是（ ）
A．④⑦ B．④⑧ C．③⑧ D．①⑤
【解题思路】结合幂函数的五种形式，再代入和2验证即可．
【解答过程】解：取x得∈（0，1），故在第⑤卦限；
再取x＝2得∈（1，2），故在第①卦限 故选：D．
二 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2021·曲靖市关工委麒麟希望学校高一月考）下列说法正确的是（ ）
A．若幂函数的图像经过点，则解析式为 B．所有幂函数的图象均过点
C．幂函数一定具有奇偶性 D．任何幂函数的图象都不经过第四象限
【答案】AD
【分析】根据幂函数的解析式，研究幂函数的性质，依次分析，得到结果.
【详解】若幂函数的图象经过点，则解析式为，所以A正确；
函数的图象不经过点，所以B不正确；
为奇函数，是偶函数，是非奇非偶函数，所以幂函数不一定具有奇偶性，所以C不正确；
因为对于幂函数，当时，一定成立，
所以任何幂函数的图象都不经过第四象限，所以D正确；故选：AD.
【点睛】该题考查的是有关幂函数的问题，解题方法如下：（1）明确幂函数的解析式的形式，利用待定系数法求得函数解析式，对命题判断正误；（2）明确随着幂指数的变化，图象走向以及函数的定义域要明确，进而清楚函数的奇偶性以及图象所过的象限，从而判断命题的正误.
10．（2021·山东省潍坊第四中学高一开学考试）函数和在同一直角坐标系中图像不可能是图中的（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】结合二次函数与反比例函数的图像性质，分和两种情况讨论求解即可.
【详解】解：由二次函数与反比例函数图象可知当，此时开口向下，且与轴交点在轴正半轴，故A正确，C 错误 由二次函数与反比例函数图象可知当，此时图象开口向上，且与轴交点在轴负半轴，故BD错误；故选：BCD
11．（2021·江苏苏州·高一期末）已知幂函数的图象经过点.则（ ）
A．的定义域为 B．的值域为
C．是偶函数 D．的单调增区间为
【答案】ABD
【分析】先求出幂函数的解析式，再根据解析式判断各项的正误.
【详解】因为为幂函数，故，所以，故，故，
所以函数的定义域为，值域为，单调增区间为，且不是偶函数，故选：ABD.
12．（2021春 衢州月考）已知幂函数，则下列结论正确的有（ ）
A． B．f（x）的定义域是R
C．f（x）是偶函数 D．不等式f（x﹣1）≥f（2）的解集是[﹣1，1）∪（1，3]
【解题思路】先利用幂函数的定义求出m的值，得到函数f（x）的解析式，可判定选项A，B的正确，利用偶函数的定义判定选项C的正误，利用函数f（x）的奇偶性和单调性解选项D的不等式．
【解答过程】解：幂函数，∴m1，∴m，
∴f（x），定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），故选项B错误，
∵f（﹣32），∴选项A正确，
f（x），定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称，
又∵f（﹣x）f（x），∴f（x）是偶函数，选项C正确，
∵f（x），∴f（x）在（0，+∞）上单调递减，在（﹣∞，0）上单调递增，
不等式f（x﹣1）≥f（2）等价于f（|x﹣1|）≥f（2），∴
解得：﹣1≤x＜1，或1＜x≤3，故选项D正确，故选：ACD．
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2021·浙江高一期中）函数的单调递减区间为___________；值域为___________．
【答案】
【分析】首先求出定义域，由复合函数的单调性求法即可求出函数的单调区间；由定义域和函数的单调性可求值域.
【详解】函数有意义，则，解得函数的定义域为，
令，对称轴为，开口向下，所以在上为增函数，在为减函数，又在定义域内为增函数，所以的单调递减区间为；
由，，所以，即，
所以.故答案为 ；
【点睛】本题考查复合函数的单调区间与值域，复合函数的单调性“同增异减”，注意在求单调区间时先求定义域.
14．（2020·江苏高二期中）关于的不等式的解集为__________.
【答案】
【分析】先分析函数的奇偶性和单调性，再讨论时根据单调性可得，当时，由函数值的大小可得即可求解.
【详解】因为函数的定义域为，
由，可得为奇函数，
因为，所以在和上单调递减，
当即时，由可得，解得，所以，
当，即或时，由可得，解得，所以，
综上所述：原不等式的解集为，故答案为：.
15．（2020·山西迎泽·太原五中高一月考）有四个幂函数：①；②；③；④某同学研究上述函数，他给出这个函数的三个性质：（1）偶函数；（2）值域是，且}：（3）在上是减函数．如果他给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数可能是__________．
【答案】①②
【分析】根据基本初等函数的定义与性质，判断是否满足条件即可．
【详解】解：对于①，，是定义域，，上的奇函数，值域是，且，且在上是单调减函数，满足条件；
对于②，，是定义域，，上的偶函数，值域是，且在上是单调减函数，满足条件；
对于③，，是定义域上的奇函数，值域是，且在上是单调增函数，不满足条件；
对于④，，是定义域为，值域是，且在上是单调增函数，不满足条件．
故答案为：①②．
16．（2021·新源县第二中学高二期末）已知幂函数的图象经过点，，是函数图象上的任意不同两点，给出以下结论：
①；②；③；④．
其中正确结论的序号是______
【答案】②③
【分析】设，根据幂函数所过的点求出的解析式，设，，由幂函数的性质可判断与的单调性，由单调性比较大小即可得正确答案.
【详解】因为是幂函数，可设，因为幂函数的图象经过点，
所以，即,解得：，所以，定义域为，
设，定义域为，因为，所以在上单调递增，
若，则有，即，故①不正确，②正确；
设，定义域为，因为，所以在上单调递减，
若，则有，即故③正确，④不正确；
因此正确结论的序号是②③，故答案为：②③.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17．（2021·全国高一单元测试）研究下列函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，并作出其大致图像．
（1）； （2）； （3）； （4）．
【答案】（1）定义域：；值域：；偶函数；在上单调递增，在上单调递减；图像见解析；（2）定义域：；值域：；奇函数：在和上单调递减；图像见解析；（3）定义域；R；值域：R；奇函数；在上单调递增；图像见解析；（4）定义域：值域：；非奇非偶函数；在上单调递增；图像见解析
【分析】将幂函数化为根式的形式，分析其定义域和值域，由奇偶性的定义判断其奇偶性，由指数的正负结合幂函数的性质先判断出函数在第一象限内的单调性，再根据奇偶性得出单调区间，作出其大致图像.
【详解】（1），设，的定义域为，
因为，所以值域为： 显然，为偶函数，
在中，，为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减.
（2），设，定义域：，
由，所以值域：，由，所以奇函数，
在中，，为奇函数，所以在上单调递减，在上单调递减.
（3），设，所以定义域；R；值域：R；
由，所以奇函数，在中，，在上单调递增.
（4），设，由得定义域：值域：
因为定义域：，所以非奇非偶函数；
在中，，定义域为，所以在上单调递增；
【点睛】本题考查了函数的图象的画法和识别，以及函数的定义域、值域、奇偶性、单调性，属于基础题．
18．（2021·河南郑州·高一月考）已知幂函数是偶函数，且在上单调递增．（1）求函数的解析式；（2）解不等式．
【答案】（1）或；（2）．
【分析】（1）根据是幂函数，得到，再由是偶函数和在上单调递增，由，且为偶函数求解.
（2）根据（1）偶函数在上递增，转化为求解.
【详解】（1）因为是幂函数，则，解得或，
又是偶函数，所以是偶数，又在上单调递增，所以，
解得，所以、、或．所以或；
（2）由（1）偶函数在上递增，，可化为，
即，所以或．所以的范围是．
19．（2022·全国高三专题练习）已知幂函数在上单调递减.
（1）求的值并写出的解析式；（2）试判断是否存在，使得函数在上的值域为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1），；（2）存在，.
【分析】（1）根据幂函数的定义及单调性，令幂的系数为1及指数为负，列出方程求出的值，将的值代入即可；（2）求出的解析式，按照与的大小关系进行分类讨论，利用的单调性列出方程组，求解即可.
【详解】（1）（1）因为幂函数在上单调递减，
所以解得：或(舍去)，所以；
（2）由（1）可得，，所以，
假设存在，使得在上的值域为，
①当时，，此时在上单调递减，不符合题意；
②当时，，显然不成立；
③当时，，在和上单调递增，故，解得.
综上所述，存在使得在上的值域为.
20．（2021·江苏海安高级中学高一期中）已知幂函数(，)在区间上单调递减.（1）求的解析式；（2）当时，恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】(1)利用幂函数的定义及性质结合已知条件列式计算即得；
(2)构造函数，再求出函数在指定区间上的最小值即可得解.
【详解】（1）因幂函数在区间上单调递减，所以，解得
又，，则，此时，，即，所以的解析式是；
（2）由(1)得，于是得不等式在上恒成立，
令，由(当且仅当，即时等号成立)，即，
所以实数的取值范围是.
21．（2021·江西省乐平中学高一开学考试）已知幂函数是偶函数，且在上单调递增.（1）求函数的解析式；（2）若，求的取值范围：
（3）若实数满足，求的最小值.
【答案】（1）；（2）；（3）2．
【分析】（1）由幂函数定义得值，由单调性得的范围，结合奇偶性得值．（2）利用偶函数和单调性解不等式；（3）由（1）得，用“1”的代换凑配出定值，由基本不等式得最小值．
【详解】（1）是幂函数，则，，又是偶函数，所以是偶数，
在上单调递增，则，，所以或2．所以；
（2）由（1）偶函数在上递增，．所以的范围是．
（3）由（1），，，
，当且仅当，即时等号成立．
所以的最小值是2．
22．（2021·全国高一课时练习）已知函数是图象经过点的幂函数，函数是定义域为的奇函数，且当时，.
（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求当时函数的解析式，并在给定的坐标系中画出（）的图象（Ⅲ）写出函数（）的单调区间.
【答案】（1）；（2）当时，；在上的图象见解析；（3）的单调递增区间为和，递减区间为
【分析】（1）设出幂函数的解析式，把点代入即可求出函数解析式；
（2）利用奇函数的性质可以直接写出当时，的解析式，并画出图像；
（3）利用的图象写出单调区间即可
【详解】（1）设， 则
（2），当时 设则，
是上的奇函数
即当时，图象如下图所示：
（3）由在上的图象可知：的单调递增区间为和，递减区间为
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3.3 幂函数
【学习要求】
1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式.
2.结合幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象，掌握它们的性质.
3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小．
【思维导图】
【知识梳理】
1、幂函数的概念
(1)概念：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
(2)特征:
只有同时满足这三个特征的函数才是幂函数．对于形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5……等形式的函数都不是幂函数．
2、幂函数的图象与性质
(1)幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，，y＝x－1的图象．
(2)幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，，y＝x－1的性质．
y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x－1
图象
定义域 R R R [0，＋∞) (－∞，0)(0，＋∞)
值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) (－∞，0)(0，＋∞)
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数
单调性 在(－∞，＋∞)上单调递增 在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增 在(－∞，＋∞)上单调递增 在[0，＋∞)上单调递增 在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减
定点 (1,1)，(0,0) (1,1)，(0,0) (1,1)，(0,0) (1,1)，(0,0) (1,1)
(3)幂函数y＝xα在第一象限的特征
α的范围 过定点 单调性
α＞0 α＞1 (0,0)，(1,1) 下凸递增
0＜α＜1 上凸递增
α＜0 (1,1) 递减，且以两坐标轴为渐近线
3、利用待定系数法求幂函数的解析式及函数值
幂函数的解析式y＝xα中仅含有一个常数α，则只需要一个条件即可确定幂函数的解析式，这样的条件往往是已知f(m)＝n或图象过点(m，n)等等．通常利用待定系数法求解，设出幂函数的解析式为f(x)＝xα，利用已知条件列方程求出常数α的值．
4、与幂函数有关的简单不等式
(1)与幂函数有关的不等式往往是[f(x)]α＞[g(x)]α，通常利用幂函数y＝xα的定义域和单调性，转化为关于f(x)和g(x)的不等式组．解不等式的过程中，不能忽视幂函数的定义域，否则容易出错．(2)解与幂函数有关的不等式也可以结合幂函数的图象，数形结合进行求解．
【高频考点】
高频考点1. 幂函数的概念、解析式
【方法点拨】（1）判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：①指数为常数；②底数为自变量；③系数为1.
（2）对于幂函数过已知的某一点，求幂函数解析式问题：先设出幂函数的解析式y＝xα(α为常数)，再将已知点代入解析式，求出α，即可得出解析式.
【例1】（2021 兴庆区校级期末）已知幂函数过点（2，4），则解析式为（ ）
A．y＝2x B．y＝2x C．y＝x2 D．y＝x﹣2
【变式1-1】（2021 仓山区校级期末）已知点在幂函数y＝f（x）的图象上，则f（x）的表达式（ ）
A．f（x） B．f（x）＝x3 C．f（x）＝x﹣2 D．
【变式1-2】（2021·济南·山东省实验中学高三月考）已知幂函数的图象过点，则（ ）
A． B．2 C．1 D．4
【变式1-3】（2021·云南省玉溪第一中学高一月考）已知幂函数的图象过点，则该函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-4】（2021·罗平县第二中学高一期末）已知幂函数的图象经过点(2，4)，则f(-2)＝（ ）
A．-9 B．9 C．4 D．-4
高频考点2 . 幂函数的定义域、值域
【方法点拨】根据幂函数的解析式，可以将分数指数幂化成根式形式，依据根式有意义求定义域，再根据定义域来求幂函数的值域.
【例2】（2021春 浙江月考）已知幂函数f（x）＝xα满足f （3），则该幂函数的定义域为 ．
【变式2-1】（2021·全国高三专题练习）下列四个函数：①；②；③；④，其中定义域与值域相同的函数的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2-2】（2021·上海高一专题练习）函数的定义域为_______，值域为___________．
【变式2-3】（2021 临沂校级月考）函数y的定义域是 ，值域是 ．
【变式2-4】（2021·上海高一专题练习）幂函数的定义域的区间表示为_______，值域为______．
高频考点3 . 幂函数的图象
【方法点拨】根据一般幂函数的图象特征，对所给的幂函数解析式或图象进行分析，即可得解；
温馨提示：①若幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.②无论为何实数，幂函数的图象最多只能出现在两个象限内，且一定经过第一象限，一定不经过第四象限.
【例3】（2021·山东高一月考）幂函数、、以及将平面直角坐标系第一象限分成八个“卦限”：Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ（如图所示），那么幂函数的图像在第一象限中经过的“卦限”是（ ）
A．Ⅳ和Ⅶ B．Ⅳ和Ⅷ C．Ⅲ和Ⅶ D．Ⅲ和Ⅷ
【变式3-1】（2021 湖北学业考试）如图，①②③④对应四个幂函数的图像，其中②对应的幂函数是（ ）
A．y＝x3 B．y＝x2 C．y＝x D．
【变式3-2】（2021 滨州期末）已知幂函数y1＝xa，y2＝xb，y3＝xc，y4＝xd在第一象限的图象如图所示，则（ ）
A．a＞b＞c＞d B．b＞c＞d＞a C．d＞b＞c＞a D．c＞b＞d＞a
【变式3-3】（2021春 浙江期中）图中C1、C2、C3为三个幂函数y＝xα在第一象限内的图象，则解析式中指数α的值依次可以是（ ）
A．、3、﹣1 B．﹣1、3、 C．、﹣1、3 D．﹣1、、3
【变式3-4】（2021·全国高三专题练习）若幂函数 (m，n∈N*，m，n互质)的图像如图所示，则（ ）
A．m，n是奇数，且<1 B．m是偶数，n是奇数，且>1
C．m是偶数，n是奇数，且<1 D．m是奇数，n是偶数，且>1
高频考点4. 比较幂值的大小
【方法点拨】①直接法：当幂指数相同时，可直接利用幂函数的单调性来比较.
②转化法：当幂指数不同时，可以先转化为相同幂指数，再运用单调性比较大小.
③中间量法：当底数不同且幂指数也不同时，不能运用单调性比较大小，可选取适当的中间值，从而达到比较大小的目的.
【例4】（2021 天心区校级期末）幂函数的图象经过点，若0＜a＜b＜1，则下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-1】（2021·湖北高三开学考试）若，，，，则a，b，c，a的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2021 罗田县期中）已知a＝20.4，b＝30.2，c＝50.2，则（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b
【变式4-3】（2021·全国高三专题练习）设，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-4】（2021 金明区校级期中）已知幂函数y＝f（x）的图象过点，则f（﹣1.1）与f（2.2）的大小关系是 ．
高频考点5 . 利用幂函数的性质求参数
【方法点拨】①根据所给函数解析式是幂函数，可列式求出参数的值；②结合幂函数的单调性或奇偶性，进行分析，得出满足条件的参数值.
【例5】（2021·沙坪坝·重庆南开中学高一期末）已知幂函数为定义在R上的偶函数，则实数___________.
【变式5-1】（2021·巴楚县第一中学高三月考）已知函数是幂函数，且在上递减，则实数m=（ ）
A．2 B．1 C．4 D．2或1
【变式5-2】（2021·河南高三月考）若幂函数在上单调递增，则（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（2021 皇姑区校级模拟）已知幂函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）x在（0，+∞）上为增函数，则实数m的值是（ ）
A．﹣1 B．3 C．﹣1或3 D．1或﹣3
【变式5-4】（2020·重庆市清华中学校高一月考）已知幂函数在内单调递增，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．1
高频考点6 . 利用幂函数的性质解不等式
【方法点拨】利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量或幂指数的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题.求解步骤如下:(1)确定可以利用的幂函数；(2)借助相应的幂函数的单调性、奇偶性，将不等式的大小关系转化为自变量或幂指数的大小关系；(3)解不等式(组)求参数范围，注意分类讨论思想的应用.
【例6】（2021·安徽金安·六安一中高三月考）已知幂函数的图象经过点，且，则的取值范围为( )
A． B． C． D．
【变式6-1】（2021·湖北襄城·襄阳四中高三月考）若幂函数f（x）的图象过点（64，2），则f（x）＜f（x2）的解集为（ ）
A．（﹣∞，0） B．（0，1） C．（1，+∞） D．（0，1）∪（1，+∞）
【变式6-2】（2020·重庆市合川实验中学高三月考（理））已知函数，且满足，则a的取值范围为（ ）
A．或 B． C．或 D．
【变式6-3】（2021秋 庐江县期末）已知幂函数f（x）＝x，若f（a+1）＜f（10﹣2a），则a的取值范围是 .
【变式6-4】（2021春 渭滨区期末）已知幂函数f（x）过定点（2，8），且满足f（a2+1）+f（﹣2）＞0，则a的范围为 ．
【课后训练】
全卷共22题 满分：150分 时间：120分钟
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.（2021 日照模拟）已知幂函数y＝xa的图象经过点（2，4），则f（﹣3）＝（ ）
A．﹣9 B．9 C．3 D．﹣3
2．（2021·黑龙江道里·哈尔滨三中高三月考）已知是幂函数，且在上单调递增，则满足的实数的范国为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·全国高一专题练习）已知幂函数的图象过点，则函数在区间上的最小值是（ ）
A．1 B． C． D．
4．（2021·重庆市万州南京中学高一期中）给定四个命题：①当时，是减函数；②幂函数的图象都过，两点；③幂函数的图象不可能出现在第四象限；④幂函数在第一象限为减函数，则，其中正确的命题为（ ）
A．①④ B．②③ C．②④ D．③④
5．（2021·全国高一课时练习）已知幂函数的图象关于原点对称，则满足成立的实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·全国高三专题练习）幂函数是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，则m的值为（ ）
A．﹣6 B．1 C．6 D．1或﹣6
7.（2021 湖北开学）若，则a，b，c，d的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c＞d B．b＞a＞d＞c C．b＞a＞c＞d D．a＞b＞d＞c
8.（2021 大连期末）幂函数y＝x﹣1及直线y＝x，y＝1，x＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧（如图所示），那么幂函数的图象经过的“卦限”是（ ）
A．④⑦ B．④⑧ C．③⑧ D．①⑤
二 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2021·曲靖市关工委麒麟希望学校高一月考）下列说法正确的是（ ）
A．若幂函数的图像经过点，则解析式为 B．所有幂函数的图象均过点
C．幂函数一定具有奇偶性 D．任何幂函数的图象都不经过第四象限
10．（2021·山东省潍坊第四中学高一开学考试）函数和在同一直角坐标系中图像不可能是图中的（ ）
A．B．C．D．
11．（2021·江苏苏州·高一期末）已知幂函数的图象经过点.则（ ）
A．的定义域为 B．的值域为
C．是偶函数 D．的单调增区间为
12．（2021春 衢州月考）已知幂函数，则下列结论正确的有（ ）
A． B．f（x）的定义域是R
C．f（x）是偶函数 D．不等式f（x﹣1）≥f（2）的解集是[﹣1，1）∪（1，3]
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2021·浙江高一期中）函数的单调递减区间为___________；值域为___________．
14．（2020·江苏高二期中）关于的不等式的解集为__________.
15．（2020·山西迎泽·太原五中高一月考）有四个幂函数：①；②；③；④某同学研究上述函数，他给出这个函数的三个性质：（1）偶函数；（2）值域是，且}：（3）在上是减函数．如果他给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数可能是__________．
16．（2021·新源县第二中学高二期末）已知幂函数的图象经过点，，是函数图象上的任意不同两点，给出以下结论：
①；②；③；④．
其中正确结论的序号是______
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17．（2021·全国高一单元测试）研究下列函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，并作出其大致图像．（1）； （2）； （3）； （4）．
18．（2021·河南郑州·高一月考）已知幂函数是偶函数，且在上单调递增．（1）求函数的解析式；（2）解不等式．
19．（2022·全国高三专题练习）已知幂函数在上单调递减.
（1）求的值并写出的解析式；（2）试判断是否存在，使得函数在上的值域为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
20．（2021·江苏海安高级中学高一期中）已知幂函数(，)在区间上单调递减.（1）求的解析式；（2）当时，恒成立，求的取值范围.
21．（2021·江西省乐平中学高一开学考试）已知幂函数是偶函数，且在上单调递增.（1）求函数的解析式；（2）若，求的取值范围：
（3）若实数满足，求的最小值.
22．（2021·全国高一课时练习）已知函数是图象经过点的幂函数，函数是定义域为的奇函数，且当时，.
（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求当时函数的解析式，并在给定的坐标系中画出（）的图象（Ⅲ）写出函数（）的单调区间.
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