3.3.3 点到直线的距离
3.3.4 两条平行直线间的距离
学 习 目 标 核 心 素 养
1.了解点到直线距离公式的推导方法．(重点)2.掌握点到直线距离公式，并能灵活应用于求平行线间的距离等问题．(难点)3.初步掌握用解析法研究几何问题．(重点、难点) 通过点到直线距离、两条平行线间距离公式的学习，提升逻辑推理、数学运算、直观想象的数学学科素养．
1．点到直线的距离
(1)概念：过一点向直线作垂线，则该点与 之间的距离，就是该点到直线的距离．
(2)公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝ ．
思考：在使用点到直线距离公式时对直线方程有什么要求？
2．两平行直线间的距离
(1)概念：夹在两条平行直线间的 的长度就是两条平行直线间的距离．
(2)公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝ ．
思考：在应用两条平行线间的距离公式时对直线方程有什么要求？
1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为( )
A．1 B． C．2 D．
2．两条平行线l1：3x＋4y－7＝0和l2：3x＋4y－12＝0的距离为( )
A．3 B．2 C．1 D.
3．分别过点A(－2，1)和点B(3，－5)的两条直线均垂直于x轴，则这两条直线间的距离是________．
4．若第二象限内的点P(m，1)到直线x＋y＋1＝0的距离为，则m的值为________．
点到直线的距离
【例1】 求点P(3，－2)到下列直线的距离：
(1)y＝x＋；(2)y＝6；(3)x＝4.
1．已知△ABC三个顶点坐标A(－1，3)，B(－3，0)，C(1，2)，求△ABC的面积S.
两条平行线间的距离
【例2】 (1)两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为________．
(2)已知直线l与两直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，则l的方程为________．
2．求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且与直线l距离为3的直线方程．
距离公式的综合应用
[探究问题]
1. 两条互相平行的直线分别过点A(6，2)和B(－3，－1)，并且各自绕着点A，B同时旋转(旋转过程两直线保持平行)，如果两条平行直线间的距离为d，你能求出d的变化范围吗？
2.上述问题中当d取得最大值时你能求出两条直线的方程吗？
【例3】 已知正方形的中心为直线2x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0的交点，正方形一边所在的直线l的方程为x＋3y－5＝0，求正方形其他三边所在直线的方程．
1．求过本例中正方形中心且与原点距离最大的直线方程．
2．本例中条件不变，你能求出正方形对角线所在直线方程吗？
综上可知正方形的两条对角线方程为x－2y＋1＝0或2x＋y＋2＝0.
距离公式综合应用的三种常用类型
(1)最值问题
①利用对称转化为两点之间的距离问题．
②利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离．
③利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题，通过配方求最值．
(2)求参数问题
利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方程或方程组求值．
(3)求方程的问题
立足确定直线的几何要素——点和方向，利用直线方程的各种形式，结合直线的位置关系(平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系)，巧设直线方程，在此基础上借助三种距离公式求解．
1．对点到直线的距离公式的两点说明
(1)适用范围：点到直线的距离公式适用于平面内任意一点到任意一条直线的距离．
(2)结构特点：公式中的分子是用点P(x0，y0)的坐标代换直线方程中的x，y，然后取绝对值，分母是直线方程中的x，y的系数的平方和的算术平方根．
特别提醒 在使用点到直线的距离公式时，要特别注意直线方程的形式．
2．对两条平行直线间的距离的两点说明
(1)这个距离与所选点的位置无关，但一般要选取特殊的点(如与坐标轴的交点).
(2)两条平行直线间的距离公式．
除了将两平行直线间的距离转化为点到直线的距离求解外，还可以利用两条平行直线间的距离公式d＝.
1．点(5，－3)到直线x＋2＝0的距离等于( )
A．7 B．5 C．3 D．2
2．直线x－2y－1＝0与直线x－2y－c＝0的距离为2，则c的值为( )
A．9 B．11或－9 C．－11 D．9或－11
3．点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O是坐标原点，则|OP|的最小值是( )
A． B． C．2 D．
4．直线l到直线x－2y＋4＝0的距离和原点到直线l的距离相等，则直线l的方程是________．
5．已知直线l经过点(－2，3)，且原点到直线l的距离等于2，求直线l的方程．
PAGE3.3.3 点到直线的距离
3.3.4 两条平行直线间的距离
学 习 目 标 核 心 素 养
1.了解点到直线距离公式的推导方法．(重点)2.掌握点到直线距离公式，并能灵活应用于求平行线间的距离等问题．(难点)3.初步掌握用解析法研究几何问题．(重点、难点) 通过点到直线距离、两条平行线间距离公式的学习，提升逻辑推理、数学运算、直观想象的数学学科素养．
1．点到直线的距离
(1)概念：过一点向直线作垂线，则该点与垂足之间的距离，就是该点到直线的距离．
(2)公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝．
思考：在使用点到直线距离公式时对直线方程有什么要求？
[提示] 要求直线的方程应化为一般式．
2．两平行直线间的距离
(1)概念：夹在两条平行直线间的公垂线段的长度就是两条平行直线间的距离．
(2)公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝．
思考：在应用两条平行线间的距离公式时对直线方程有什么要求？
[提示] 两条平行直线的方程都是一般式，且x, y对应的系数应分别相等．
1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为( )
A．1 B． C．2 D．
D [d＝＝.]
2．两条平行线l1：3x＋4y－7＝0和l2：3x＋4y－12＝0的距离为( )
A．3 B．2 C．1 D.
C [d＝＝1.]
3．分别过点A(－2，1)和点B(3，－5)的两条直线均垂直于x轴，则这两条直线间的距离是________．
5 [d＝|3－(－2)|＝5.]
4．若第二象限内的点P(m，1)到直线x＋y＋1＝0的距离为，则m的值为________．
－4 [由＝，得m＝－4或m＝0，
又∵m<0，∴m＝－4.]
点到直线的距离
【例1】 求点P(3，－2)到下列直线的距离：
(1)y＝x＋；(2)y＝6；(3)x＝4.
[解] (1)把方程y＝x＋写成3x－4y＋1＝0，由点到直线的距离公式得d＝＝.
(2)法一：把方程y＝6写成0·x＋y－6＝0，由点到直线的距离公式得d＝＝8.
法二：因为直线y＝6平行于x轴，
所以d＝|6－(－2)|＝8.
(3)因为直线x＝4平行于y轴，所以d＝|4－3|＝1.
点到直线距离的求解方法
(1)求点到直线的距离，首先要把直线化成一般式方程，然后再套用点到直线的距离公式．
(2)当点与直线有特殊位置关系时，也可以用公式求解，但是这样会把问题变复杂了，要注意数形结合．
1．已知△ABC三个顶点坐标A(－1，3)，B(－3，0)，C(1，2)，求△ABC的面积S.
[解] 由直线方程的两点式得直线BC的方程为＝，即x－2y＋3＝0.
由两点间距离公式得
|BC|＝＝2，
点A到BC的距离为d，即为BC边上的高，
d＝＝，
所以S＝|BC|·d＝×2×＝4，
即△ABC的面积为4.
两条平行线间的距离
【例2】 (1)两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为________．
(2)已知直线l与两直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，则l的方程为________．
(1) (2)2x－y＋1＝0 [(1)由题意，得＝，
∴m＝2，将直线3x＋y－3＝0化为6x＋2y－6＝0，
由两平行线间距离公式，得＝＝.
(2)设直线l的方程为2x－y＋C＝0，由题意，得＝，解得C＝1，∴直线l的方程为2x－y＋1＝0.]
求两条平行线间距离的方法
(1)求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2时，d＝；当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2时，d＝. 但必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等．
(2)转化为一条平行线上的点到另一条平行线的距离．
2．求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且与直线l距离为3的直线方程．
[解] 设与l平行的直线方程为5x－12y＋b＝0，
根据两平行直线间的距离公式得＝3，
解得b＝45或b＝－33.
所以所求直线方程为：5x－12y＋45＝0，
或5x－12y－33＝0.
距离公式的综合应用
[探究问题]
1. 两条互相平行的直线分别过点A(6，2)和B(－3，－1)，并且各自绕着点A，B同时旋转(旋转过程两直线保持平行)，如果两条平行直线间的距离为d，你能求出d的变化范围吗？
[提示] 如图所示，显然有02.上述问题中当d取得最大值时你能求出两条直线的方程吗？
[提示] 当d取最大值时，两条平行线都垂直于AB，所以k＝－＝－＝－3，故所求的直线方程分别为y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.
【例3】 已知正方形的中心为直线2x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0的交点，正方形一边所在的直线l的方程为x＋3y－5＝0，求正方形其他三边所在直线的方程．
思路探究：先求出正方形中心坐标，利用正方形中心到四边的距离相等及另外三边与已知边l平行或垂直求解．
[解] 设与直线l：x＋3y－5＝0平行的边所在的直线方程为l1：x＋3y＋c＝0(c≠－5).
由得正方形的中心坐标为P(－1，0)，
由点P到两直线l，l1的距离相等，得＝，得c＝7或c＝－5(舍去).∴l1：x＋3y＋7＝0.
又正方形另两边所在直线与l垂直，
∴设另两边所在直线的方程分别为3x－y＋a＝0，3x－y＋b＝0.
∵正方形中心到四条边的距离相等，
∴＝，得a＝9或a＝－3，
∴另两条边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0，3x－y－3＝0.
∴另三边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0，x＋3y＋7＝0，3x－y－3＝0.
1．求过本例中正方形中心且与原点距离最大的直线方程．
[解] 由例题知，正方形中心坐标为P(－1，0)，则与OP垂直的直线到原点的距离最大．∵kOP＝0，∴此时所求直线方程为x＝－1.
2．本例中条件不变，你能求出正方形对角线所在直线方程吗？
[解] 由可得交点坐标为，又正方形中心为P(－1，0)，
∴由两点式方程得对角线方程为：＝，即2x＋y＋2＝0.
由可得正方形另一顶点坐标为，又正方形中心为P(－1，0)，
∴由两点式得另一对角线方程为：＝，即x－2y＋1＝0.
综上可知正方形的两条对角线方程为x－2y＋1＝0或2x＋y＋2＝0.
距离公式综合应用的三种常用类型
(1)最值问题
①利用对称转化为两点之间的距离问题．
②利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离．
③利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题，通过配方求最值．
(2)求参数问题
利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方程或方程组求值．
(3)求方程的问题
立足确定直线的几何要素——点和方向，利用直线方程的各种形式，结合直线的位置关系(平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系)，巧设直线方程，在此基础上借助三种距离公式求解．
1．对点到直线的距离公式的两点说明
(1)适用范围：点到直线的距离公式适用于平面内任意一点到任意一条直线的距离．
(2)结构特点：公式中的分子是用点P(x0，y0)的坐标代换直线方程中的x，y，然后取绝对值，分母是直线方程中的x，y的系数的平方和的算术平方根．
特别提醒 在使用点到直线的距离公式时，要特别注意直线方程的形式．
2．对两条平行直线间的距离的两点说明
(1)这个距离与所选点的位置无关，但一般要选取特殊的点(如与坐标轴的交点).
(2)两条平行直线间的距离公式．
除了将两平行直线间的距离转化为点到直线的距离求解外，还可以利用两条平行直线间的距离公式d＝.
1．点(5，－3)到直线x＋2＝0的距离等于( )
A．7 B．5 C．3 D．2
A [直线x＋2＝0，即x＝－2为平行于y轴的直线，所以点(5，－3)到x＝－2的距离d＝|5－(－2)|＝7.]
2．直线x－2y－1＝0与直线x－2y－c＝0的距离为2，则c的值为( )
A．9 B．11或－9 C．－11 D．9或－11
B [两平行线间的距离为d＝＝2，解得c＝－9或11.]
3．点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O是坐标原点，则|OP|的最小值是( )
A． B． C．2 D．
C [|OP|的最小值是点O到直线x＋y－4＝0的距离，由点到直线的距离公式得
d＝＝2，故应选C.]
4．直线l到直线x－2y＋4＝0的距离和原点到直线l的距离相等，则直线l的方程是________．
x－2y＋2＝0 [由题意设所求l的方程为x－2y＋C＝0，则＝，解得C＝2，故直线l的方程为x－2y＋2＝0.]
5．已知直线l经过点(－2，3)，且原点到直线l的距离等于2，求直线l的方程．
[解] 当直线l的斜率不存在时，直线的方程为x＝－2，符合原点到直线l的距离等于2.
当直线l的斜率存在时，
设所求直线l的方程为y－3＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＋3＝0，由d＝＝2，
得k＝－，即直线l的方程为5x＋12y－26＝0.
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