4.2 直线、圆的位置关系
4.2.1 直线与圆的位置关系
学 习 目 标 核 心 素 养
1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离．2．会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系．3．会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题． 通过研究直线与圆的位置关系，提升逻辑推理、数学运算、直观想象的数学学科素养．
1．直线与圆有三种位置关系
位置关系 交点个数
相交 有两个公共点
相切 只有一个公共点
相离 没有公共点
2.直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 两个 一个 零个
判定方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d＜r d＝r d＞r
代数法：由消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
思考：用“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系各有什么特点？
[提示] “几何法”与“代数法”判断直线与圆的位置关系，是从不同的方面，不同的思路来判断的．“几何法”更多地侧重于“形”，更多地结合了图形的几何性质；“代数法”则侧重于“数”，它倾向于“坐标”与“方程”．
1．直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是( )
A.相交 B．相切
C.相离 D．无法判断
B [圆心(0，0)到直线3x＋4y－5＝0的距离d＝＝1. ∵d＝r，∴直线与圆相切．选B.]
2．设A，B为直线y＝x与圆x2＋y2＝1的两个交点，则|AB|＝( )
A.1 B．
C. D．2
D [直线y＝x过圆x2＋y2＝1的圆心C(0，0)，则|AB|＝2.]
3．圆心在原点上且与直线x＋y－2＝0相切的圆的方程为________．
x2＋y2＝2 [圆的半径就是原点到直线x＋y－2＝0的距离，
∴r＝d＝＝.
所以所求圆的方程为x2＋y2＝2.]
4．直线x＋2y＝0被圆C：x2＋y2－6x－2y－15＝0所截得的弦长等于________．
4 [由已知圆心C(3，1)，半径r＝5.又圆心C到直线l的距离d＝＝，则弦长＝2＝4.]
直线与圆的位置关系
【例1】 已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线：
(1)有两个公共点；
(2)只有一个公共点；
(3)没有公共点．
[解] 法一：将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得，
(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.
∵Δ＝4m(3m＋4)，
(1)∴当Δ>0时，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；
(2)当Δ＝0时，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，
即直线与圆只有一个公共点；
(3)当Δ<0时，即－即直线与圆没有公共点．
法二：已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，
即圆心为C(2，1)，半径r＝2.
圆心C(2，1)到直线mx－y－m－1＝0的距离
d＝＝.
(1)当d<2时，即m>0或m<－时，直线与圆相交，
即直线与圆有两个公共点；
(2)当d＝2时，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；
(3)当d>2时，即－即直线与圆没有公共点．
直线与圆位置关系判断的三种方法
(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．
(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．
(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．
求实数m，使直线x－my＋3＝0和圆x2＋y2－6x＋5＝0.
(1)相交；(2)相切；(3)相离．
[解] 圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝4，圆心为(3，0)，半径为r＝2，
圆心到直线的距离d＝.
(1)若直线与圆相交，则d＜r，
即＜2，
解得m＜－2或m＞2.
(2)若直线与圆相切，则d＝r，
即＝2，
解得m＝－2或2.
(3)若直线与圆相离，则d＞r，
即＞2，
解得－2＜m＜2.
求圆的切线方程
【例2】 过点A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线方程．
思路探究：→
[解] 因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1，
所以点A在圆外，故切线有两条．
①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，
则切线方程为y＋3＝k(x－4)，即kx－y－4k－3＝0.
设圆心为C，
因为圆心C(3，1)到切线的距离等于半径1，
所以＝1，即|k＋4|＝，
所以k2＋8k＋16＝k2＋1，解得k＝－.
所以切线方程为－x－y＋－3＝0，
即15x＋8y－36＝0.
②若直线斜率不存在，
圆心C(3，1)到直线x＝4的距离为1，
这时直线x＝4与圆相切，所以另一条切线方程为x＝4.
综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4.
1．本例中若将点“A(4，－3)”改为“A(2，1)”，则结果如何？
[解] 因为(2－3)2＋(1－1)2＝1，
所以点A(2，1)在圆上，从而A是切点，
又过圆心(3, 1)与点A的直线斜率为0，
故所求切线的方程为y＝1.
2．若本例的条件不变，求其切线长．
[解] 因为圆心C的坐标为(3，1)，
设切点为B，则△ABC为直角三角形，
|AC|＝＝，
又|BC|＝r＝1，
则|AB|＝＝＝4，
所以切线长为4.
圆的切线的求法
(1)点在圆上时：
求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程x＝x0或y＝y0.
(2)点在圆外时：
①几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0).由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，也就得切线方程．②代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，由Δ＝0求出k，可得切线方程．
特别注意：切线的斜率不存在的情况，不要漏解．
直线与圆的相交问题
[探究问题]
1．已知直线l与圆相交，如何利用通过求交点坐标的方法求弦长？
[提示] 将直线方程与圆的方程联立解出交点坐标，再利用|AB|＝求弦长．
2．若直线与圆相交、圆的半径为r、圆心到直线的距离为d，如何求弦长？
[提示] 通过半弦长、弦心距、半径构成的直角三角形，如图所示，求得弦长l＝2.
【例3】 求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长．
思路探究：法一：
法二：
[解] 法一：圆C：x2＋y2－2y－4＝0可化为x2＋(y－1)2＝5，
其圆心坐标为(0，1)，半径r＝.
点(0，1)到直线l的距离为d＝＝，
l＝2＝，所以截得的弦长为.
法二：设直线l与圆C交于A、B两点．
由得交点A(1，3)，B(2，0)，
所以弦AB的长为|AB|＝＝.
若本例改为“过点(2，0)的直线被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长为，求该直线方程”，又如何求解？
[解] 由例题知，圆心C(0，1)，半径r＝，又弦长为， 所以圆心到直线的距离
d＝＝＝.
又直线过点(2，0)，知直线斜率一定存在，
可设直线斜率为k，则直线方程为y＝k(x－2)，
所以d＝＝，解得k＝－3或k＝，
所以直线方程为y＝－3(x－2)或y＝(x－2)，
即3x＋y－6＝0或x－3y－2＝0.
求弦长常用的三种方法
(1)利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系＋d2＝r2解题．
(2)利用交点坐标，若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长．
(3)利用弦长公式，设直线l：y＝kx＋b，与圆的两交点(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长l＝|x1－x2|＝，
或l＝|y1－y2|
＝.
1．本节课的重点是理解直线和圆的三种位置关系，会用圆心到直线的距离来判断直线与圆的位置关系，能解决直线与圆位置关系的综合问题．难点是解决直线与圆的位置关系．
2．判断直线与圆位置关系的途径主要有两个：一是圆心到直线的距离与圆的半径进行大小比较；二是直线与圆的方程组成的方程组解的个数．两者相比较，前者较形象、直观，便于运算．
3．与圆有关的弦长、切线问题常利用几何法求解，体现了直观想象的数学素养，但注意验证所求直线的斜率不存在的情形，避免漏解．
1．直线3x＋4y＋12＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝9的位置关系是( )
A.过圆心 B．相切
C.相离 D．相交但不过圆心
D [圆心坐标为(1，－1)，圆心到直线3x＋4y＋12＝0的
距离为d＝＝＜r＝3.又点(1，－1)不在直线3x＋4y＋12＝0上，所以直线与圆相交且不过圆心．选D.]
2．若直线y＝x＋a与圆x2＋y2＝1相切，则a的值为( )
A.2 B．±
C.1 D．±1
B [由题意得＝1，所以a＝±，故选B.]
3．求过点(1，－7)且与圆x2＋y2＝25相切的直线方程．
[解] 由题意知切线斜率存在，设切线的斜率为k，则切线方程为y＋7＝k(x－1)，
即kx－y－k－7＝0.∴＝5，
解得k＝或k＝－.
∴所求切线方程为y＋7＝(x－1)或y＋7＝－(x－1)，
即4x－3y－25＝0或3x＋4y＋25＝0.
PAGE4.2 直线、圆的位置关系
4.2.1 直线与圆的位置关系
学 习 目 标 核 心 素 养
1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离．2．会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系．3．会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题． 通过研究直线与圆的位置关系，提升逻辑推理、数学运算、直观想象的数学学科素养．
1．直线与圆有三种位置关系
位置关系 交点个数
相交 有 公共点
相切 只有 公共点
相离 公共点
2.直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 个 个 个
判定方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d r d r d r
代数法：由消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ 0 Δ 0 Δ 0
思考：用“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系各有什么特点？
1．直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是( )
A.相交 B．相切
C.相离 D．无法判断
2．设A，B为直线y＝x与圆x2＋y2＝1的两个交点，则|AB|＝( )
A.1 B．
C. D．2
3．圆心在原点上且与直线x＋y－2＝0相切的圆的方程为________．
4．直线x＋2y＝0被圆C：x2＋y2－6x－2y－15＝0所截得的弦长等于________．
直线与圆的位置关系
【例1】 已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线：
(1)有两个公共点；
(2)只有一个公共点；
(3)没有公共点．
求实数m，使直线x－my＋3＝0和圆x2＋y2－6x＋5＝0.
(1)相交；(2)相切；(3)相离．
【例2】 过点A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线方程．
1．本例中若将点“A(4，－3)”改为“A(2，1)”，则结果如何？
2．若本例的条件不变，求其切线长．
圆的切线的求法
(1)点在圆上时：
求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程x＝x0或y＝y0.
(2)点在圆外时：
①几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0).由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，也就得切线方程．②代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，由Δ＝0求出k，可得切线方程．
特别注意：切线的斜率不存在的情况，不要漏解．
直线与圆的相交问题
[探究问题]
1．已知直线l与圆相交，如何利用通过求交点坐标的方法求弦长？
2．若直线与圆相交、圆的半径为r、圆心到直线的距离为d，如何求弦长？
【例3】 求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长．
若本例改为“过点(2，0)的直线被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长为，求该直线方程”，又如何求解？
求弦长常用的三种方法
(1)利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系＋d2＝r2解题．
(2)利用交点坐标，若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长．
(3)利用弦长公式，设直线l：y＝kx＋b，与圆的两交点(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长l＝|x1－x2|＝，
或l＝|y1－y2|
＝.
1．本节课的重点是理解直线和圆的三种位置关系，会用圆心到直线的距离来判断直线与圆的位置关系，能解决直线与圆位置关系的综合问题．难点是解决直线与圆的位置关系．
2．判断直线与圆位置关系的途径主要有两个：一是圆心到直线的距离与圆的半径进行大小比较；二是直线与圆的方程组成的方程组解的个数．两者相比较，前者较形象、直观，便于运算．
3．与圆有关的弦长、切线问题常利用几何法求解，体现了直观想象的数学素养，但注意验证所求直线的斜率不存在的情形，避免漏解．
1．直线3x＋4y＋12＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝9的位置关系是( )
A.过圆心 B．相切
C.相离 D．相交但不过圆心
2．若直线y＝x＋a与圆x2＋y2＝1相切，则a的值为( )
A.2 B．±
C.1 D．±1
3．求过点(1，－7)且与圆x2＋y2＝25相切的直线方程．
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