4.3 空间直角坐标系
学 习 目 标 核 心 素 养
1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置．(重点)2．掌握空间两点间的距离公式．(重点、难点) 通过学习空间直角坐标系，提升直观想象、数学运算的数学学科素养．
1．空间直角坐标系
(1)空间直角坐标系的特征
①三条轴两两相交且互相垂直；
②有相同的单位长度．
(2)相关概念
坐标原点 O
坐标轴 x轴、y轴、z轴
坐标平面 xOy平面、yOz平面、xOz平面
(3)右手直角坐标系要求
右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，中指指向z轴的正方向．
2. 空间一点的坐标
其中x→横坐标，y→纵坐标，z→竖坐标．
思考：给定的空间直角坐标系下，空间任意一点是否与有序实数组(x，y，z)之间存在唯一的对应关系？
[提示] 是．给定空间直角坐标系下，空间给定一点其坐标是唯一的有序实数组(x，y，z)；反之，给定一个有序实数组(x，y，z)，空间也有唯一的点与之对应．
3．空间两点间的距离公式
(1)点P(x，y，z)到坐标原点O(0, 0, 0)的距离
|OP|＝．
(2)任意两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)间的距离
|P1P2|＝．
思考：空间两点间的距离公式对在坐标平面内的点适用吗？
[提示] 适用．空间两点间的距离公式适用于空间任意两点，对同在某一坐标平面内的两点也适用．
1．下列点在x轴上的是( )
A. (0.1，0.2，0.3) B. (0，0，0.001)
C. (5，0，0) D. (0，0.01，0)
C [x轴上的点的纵坐标和竖坐标为0.]
2．点P(1，－2，5)到xOy平面的距离为( )
A.1 B．2
C.－2 D．5
D [点P(1，－2，5)在xOy平面上的射影是P′(1，－2，0)，则点P(1，－2，5)到xOy平面的距离为|PP′|＝5.]
3．已知点A(x，1，2)和点B(2，3，4)，且|AB|＝2，则实数x的值是( )
A.－3或4 B．6或2
C.3或－4 D．6或－2
D [由题意得＝2，解得x＝－2或x＝6.]
4．在空间直角坐标系中，点(2，－1，3)关于y轴的对称点是________，关于平面yOz的对称点是________．
(－2，－1，－3) (－2，－1，3) [根据空间直角坐标系的特征，点(2，－1，3)关于y轴的对称点为(－2，－1，－3)，关于yOz平面的对称点为(－2，－1，3).]
求空间中点的坐标
【例1】 如图，在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，M在线段BC1上，且|BM|＝2|MC1|，N是线段D1M的中点，求点M，N的坐标．
[解] 如图，过点M作MM1⊥BC于点M1，连接DM1，取DM1的中点N1，连接NN1.
由|BM|＝2|MC1|，知|MM1|＝|CC1|＝，
|M1C|＝|BC|＝.
因为M1M∥DD1，所以M1M与z轴平行，点M1与点M的横坐标、纵坐标相同，点M的竖坐标为，所以M.
由N1为DM1的中点，知N1.
因为N1N与z轴平行，且|N1N|＝＝，
所以N.
求某点P的坐标的方法
先找到点P在xOy平面上的射影M，过点M向x轴作垂线，确定垂足N.其中|ON|，|NM|，|MP|即为点P坐标的绝对值，再按O→N→M→P确定相应坐标的符号与坐标轴同向为正，反向为负，即可得到相应的点P的坐标
1．已知正四棱锥P ABCD的底面边长为5，侧棱长为13，建立的空间直角坐标系如图，写出各顶点的坐标．
[解] 因为|PO|＝＝＝12，
所以各顶点的坐标分别为P(0，0，12)，A，B，C，D.
空间中点的对称问题
【例2】 在空间直角坐标系中，已知点P(－2，1，4).
(1)求点P关于x轴对称的点的坐标；
(2)求点P关于xOy平面对称的点的坐标；
(3)求点P关于点M(2，－1，－4)对称的点的坐标．
[解] (1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴，z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P1(－2，－1，－4).
(2)由点P关于xOy平面对称后，它在x轴，y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P2(－2，1，－4).
(3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，
由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，
y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，
所以P3的坐标为(6，－3，－12).
求空间对称点的规律方法
设P(x，y，z)，则它的对称点如表
关于x轴对称 (x，－y，－z)
关于y轴对称 (－x，y，－z)
关于z轴对称 (－x，－y，z)
关于原点对称 (－x，－y，－z)
关于平面xOy对称 (x，y，－z)
关于平面yOz对称 (－x，y，z)
关于平面xOz对称 (x，－y，z)
2．求点A(1，2，－1)关于坐标平面xOy及x轴的对称点的坐标．
[解] 如图所示，过点A作AM⊥坐标平面xOy交平面于点M，并延长到点C，使AM＝CM，则点A与点C关于坐标平面xOy对称，且点C(1，2，1).
过点A作AN⊥x轴于点N并延长到点B，使AN＝NB，
则点A与B关于x轴对称且点B(1，－2，1).
∴点A(1，2，－1)关于坐标平面xOy对称的点为
C(1，2，1)；点A(1，2，－1)关于x轴对称的点为B(1，－2，1).
空间中两点间的距离问题
[探究问题]
1．已知两点P(1，0，1)与Q(4，3，－1)，请求出P、Q之间的距离．
[提示] |PQ|＝＝.
2．上述问题中，若在z轴上存在点M，使得|MP|＝|MQ|，请求出点M的坐标．
[提示] 设M(0，0，z)，由|MP|＝|MQ|，得(－1)2＋02＋(z－1)2＝42＋32＋(－1－z)2，∴z＝－6.∴M(0，0，－6).
【例3】 如图所示，在长方体ABCD A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝3，|AA1|＝2，点M在A1C1上，|MC1|＝2|A1M|，N在D1C上且为D1C的中点，求线段MN的长度.
思路探究：→→
[解] 如图所示，分别以AB，AD，AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
由题意可知C(3，3，0)，D(0，3，0)，
∵|DD1|＝|CC1|＝|AA1|＝2，
∴C1(3，3，2)，D1(0，3，2)，
∵N为CD1的中点，∴N.
M是A1C1的三分之一分点且靠近A1点，
∴M(1，1，2).由两点间距离公式，得
|MN|＝＝.
1．利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤
2．空间直角坐标系中中点坐标公式
若P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，
则线段P1P2的中点坐标为.
3．若A(4，－7，1)，B(6，2，z)，|AB|＝11，则z＝________．
－5或7 [∵|AB|＝11，∴(6－4)2＋(2＋7)2＋(z－1)2＝112，化简得(z－1)2＝36，即|z－1|＝6，∴z＝－5或7.]
1．结合长方体的长宽高理解点的坐标(x，y，z)，培养立体思维，增强空间想象力．
2．学会用类比联想的方法理解空间直角坐标系的建系原则，切实体会空间中点的坐标及两点间的距离公式同平面内点的坐标及两点间的距离公式的区别和联系．
3．在导出空间两点间的距离公式中体会转化化归思想的应用，突出了化空间为平面的解题思想．
1．点(2，0，3)在空间直角坐标系中的( )
A．y轴上 B．xOy平面上
C．xOz平面上 D．第一象限内
C [点(2，0，3)的纵坐标为0，所以该点在xOz平面上．]
2．在空间直角坐标系中，点P(3，4，5)与Q(3，－4，－5)两点的位置关系是( )
A．关于x轴对称
B．关于xOy平面对称
C．关于坐标原点对称
D．以上都不对
A [点P(3，4，5)与Q(3，－4，－5)两点的横坐标相同，而纵、竖坐标互为相反数，所以两点关于x轴对称．]
3．以棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1的棱AB，AD，AA1所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则正方形AA1B1B的对角线的交点坐标为( )
A． B．
C． D．
B [由题图得A(0，0，0)，B1(1，0，1)，所以对角线的交点即为AB1的中点，由中点坐标公式，可得对角线的交点坐标为.]
4．如图所示，V ABCD是正四棱锥，O为底面中心，E，F分别为BC，CD的中点．已知|AB|＝2，|VO|＝3，建立如图所示空间直角坐标系，试分别写出各个顶点的坐标．
[解] ∵底面是边长为2的正方形，∴|CE|＝|CF|＝1.
∵O点是坐标原点，
∴C(1，1，0)，同样的方法可以确定B(1，－1，0)，A(－1，－1，0)，D(－1，1，0).
∵V在z轴上，∴V(0，0，3).
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学 习 目 标 核 心 素 养
1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置．(重点)2．掌握空间两点间的距离公式．(重点、难点) 通过学习空间直角坐标系，提升直观想象、数学运算的数学学科素养．
1．空间直角坐标系
(1)空间直角坐标系的特征
①三条轴两两相交且互相 ；
②有 的单位长度．
(2)相关概念
坐标原点
坐标轴 轴、 轴、 轴
坐标平面 平面、 平面、 平面
(3)右手直角坐标系要求
右手拇指指向 轴的正方向，食指指向 轴的正方向，中指指向 轴的正方向．
2. 空间一点的坐标
其中x→ ，y→ ，z→ ．
思考：给定的空间直角坐标系下，空间任意一点是否与有序实数组(x，y，z)之间存在唯一的对应关系？
3．空间两点间的距离公式
(1)点P(x，y，z)到坐标原点O(0, 0, 0)的距离
|OP|＝ ．
(2)任意两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)间的距离
|P1P2|＝ ．
思考：空间两点间的距离公式对在坐标平面内的点适用吗？
1．下列点在x轴上的是( )
A. (0.1，0.2，0.3) B. (0，0，0.001)
C. (5，0，0) D. (0，0.01，0)
2．点P(1，－2，5)到xOy平面的距离为( )
A.1 B．2
C.－2 D．5
3．已知点A(x，1，2)和点B(2，3，4)，且|AB|＝2，则实数x的值是( )
A.－3或4 B．6或2
C.3或－4 D．6或－2
4．在空间直角坐标系中，点(2，－1，3)关于y轴的对称点是________，关于平面yOz的对称点是________．
求空间中点的坐标
【例1】 如图，在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，M在线段BC1上，且|BM|＝2|MC1|，N是线段D1M的中点，求点M，N的坐标．
求某点P的坐标的方法
先找到点P在xOy平面上的射影M，过点M向x轴作垂线，确定垂足N.其中|ON|，|NM|，|MP|即为点P坐标的绝对值，再按O→N→M→P确定相应坐标的符号与坐标轴同向为正，反向为负，即可得到相应的点P的坐标
1．已知正四棱锥P ABCD的底面边长为5，侧棱长为13，建立的空间直角坐标系如图，写出各顶点的坐标．
空间中点的对称问题
【例2】 在空间直角坐标系中，已知点P(－2，1，4).
(1)求点P关于x轴对称的点的坐标；
(2)求点P关于xOy平面对称的点的坐标；
(3)求点P关于点M(2，－1，－4)对称的点的坐标．
求空间对称点的规律方法
设P(x，y，z)，则它的对称点如表
关于x轴对称 (x，－y，－z)
关于y轴对称 (－x，y，－z)
关于z轴对称 (－x，－y，z)
关于原点对称 (－x，－y，－z)
关于平面xOy对称 (x，y，－z)
关于平面yOz对称 (－x，y，z)
关于平面xOz对称 (x，－y，z)
2．求点A(1，2，－1)关于坐标平面xOy及x轴的对称点的坐标．
空间中两点间的距离问题
[探究问题]
1．已知两点P(1，0，1)与Q(4，3，－1)，请求出P、Q之间的距离．
2．上述问题中，若在z轴上存在点M，使得|MP|＝|MQ|，请求出点M的坐标．
【例3】 如图所示，在长方体ABCD A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝3，|AA1|＝2，点M在A1C1上，|MC1|＝2|A1M|，N在D1C上且为D1C的中点，求线段MN的长度.
思路探究：→→
1．利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤
2．空间直角坐标系中中点坐标公式
若P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，
则线段P1P2的中点坐标为.
3．若A(4，－7，1)，B(6，2，z)，|AB|＝11，则z＝________．
1．结合长方体的长宽高理解点的坐标(x，y，z)，培养立体思维，增强空间想象力．
2．学会用类比联想的方法理解空间直角坐标系的建系原则，切实体会空间中点的坐标及两点间的距离公式同平面内点的坐标及两点间的距离公式的区别和联系．
3．在导出空间两点间的距离公式中体会转化化归思想的应用，突出了化空间为平面的解题思想．
1．点(2，0，3)在空间直角坐标系中的( )
A．y轴上 B．xOy平面上
C．xOz平面上 D．第一象限内
2．在空间直角坐标系中，点P(3，4，5)与Q(3，－4，－5)两点的位置关系是( )
A．关于x轴对称
B．关于xOy平面对称
C．关于坐标原点对称
D．以上都不对
3．以棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1的棱AB，AD，AA1所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则正方形AA1B1B的对角线的交点坐标为( )
A． B．
C． D．
4．如图所示，V ABCD是正四棱锥，O为底面中心，E，F分别为BC，CD的中点．已知|AB|＝2，|VO|＝3，建立如图所示空间直角坐标系，试分别写出各个顶点的坐标．
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