3.3 直线的交点坐标与距离公式
3.3.1 两条直线的交点坐标
3.3.2 两点间的距离
学 习 目 标 核 心 素 养
1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．(重点)2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系．(难点)3.掌握两点间距离公式并会应用．(重点) 1. 通过两直线交点坐标的学习，提升数学运算、直观想象的数学学科素养．2. 通过两点间距离学习，培养逻辑推理和直观想象的数学学科素养．
1．两条直线的交点坐标
几何元素及关系 代数表示
点A A(a，b)
直线l l：Ax＋By＋C＝0
点A在直线l上 Aa＋Bb＋C＝0
直线l1与l2的交点是A 方程组的解是
2.两直线的位置关系
法一：代数法
直线l1，l2联立得方程组
(代数问题) (几何问题)
法二：几何法(前提条件：系数均不为零)
3．两点间的距离公式
(1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝．
(2)两点间距离的特殊情况
①原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝．
②当P1P2∥x轴(y1＝y2)时，|P1P2|＝|x2－x1|．
③当P1P2∥y轴(x1＝x2)时，|P1P2|＝|y2－y1|．
思考：两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式是否可以写成|P1P2|＝的形式？
[提示] 可以，原因是＝，也就是说公式中P1，P2两点的位置没有先后之分．
1．直线x＝1和直线y＝2的交点坐标是( )
A．(2，2) B．(1，1) C．(1，2) D．(2，1)
C [由得交点坐标为(1，2)，故选C.]
2．已知A(3，7)，B(2，5)，则A，B两点间的距离为( )
A．5 B． C．3 D．
B [由平面内两点间的距离公式可知|AB|＝＝.]
3．已知△ABC的顶点A(2，3)，B(－1，0)，C(2，0)，则△ABC的周长是( )
A．2 B．3＋2
C．6＋3 D．6＋
C [|AB|＝＝3，|BC|＝＝3，|AC|＝＝3，则△ABC的周长为6＋3.]
4．已知点A(－2，－1)，B(a，3)，且|AB|＝5，则a的值为________．
1或－5 [由两点间距离公式得＝5，解得a＝1或－5.]
两直线的交点问题
【例1】 分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点．
(1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0；
(2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0；
(3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3.
[解] (1)方程组的解为
因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，－1).
(2)方程组有无数个解，
这表明直线l1和l2重合．
(3)方程组无解，
这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2.
两条直线相交的判定方法
方法一 联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交
方法二 两直线斜率都存在且斜率不等
方法三 两直线的斜率一个存在，另一个不存在
1．判断下列各对直线的位置关系．若相交，求出交点坐标：
(1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0；
(2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0.
[解] (1)解方程组得
所以直线l1与l2相交，交点坐标为(－1，－1).
(2)解方程组①×2－②，得1＝0，矛盾，方程组无解．所以直线l1与l2无公共点，即l1∥l2.
两点间距离公式的应用
【例2】 已知△ABC三顶点坐标A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)，试判断△ABC的形状．
[解] 法一：∵|AB|＝＝2，
|AC|＝＝2，
又|BC|＝＝2，
∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，
∴△ABC是等腰直角三角形．
法二：∵kAC＝＝，kAB＝＝－，
则kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB.
又|AC|＝＝2，
|AB|＝＝2，
∴|AC|＝|AB|.
∴△ABC是等腰直角三角形．
1．判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向．
2．在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形的长度特征，主要考察边是否相等或是否满足勾股定理．
2．若等腰三角形ABC的顶点A(3，0)，底边BC的长为4，BC边的中点为D(5，4)，求等腰△ABC的腰长．
[解] 因为|BD|=|BC|=2，因为|AD|＝＝2.
在Rt△ABD中，由勾股定理得
|AB|＝＝＝2.
所以等腰△ABC的腰长为2.
经过两条直线交点的直线方程
[探究问题]
1. 如何求两条直线的交点坐标？
[提示] 求两条直线的交点坐标只需将两条直线方程联立解方程组即可．
2．已知直线过一定点如何求其方程？
[提示] 已知直线过定点求其方程，若斜率存在只需求出斜率即可．
3．怎样表示过两条直线交点的直线系方程？
[提示] 过两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括l2的方程).
【例3】 求过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程．
思路探究：→→
[解] 法一：解方程组
得所以两直线的交点坐标为.
又所求直线与直线3x＋y－1＝0平行，所以所求直线的斜率为－3.
故所求直线方程为y＋＝－3，
即15x＋5y＋16＝0.
法二：设所求直线方程为
(2x－3y－3)＋λ(x＋y＋2)＝0，
即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋(2λ－3)＝0.(*)
由于所求直线与直线3x＋y－1＝0平行，
所以有得λ＝.
代入(*)式，得x＋y＋＝0，
即15x＋5y＋16＝0.
1．本例中将“3x＋y－1＝0”改为“x＋3y－1＝0”，则如何求解？
[解] 由例题知直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点坐标为，直线l与x＋3y－1＝0平行，故斜率为－，所以直线l的方程为y＋＝－，即5x＋15y＋24＝0.
2．本例中若将“平行”改为“垂直”，又如何求解？
[解] 设所求直线方程为(2x－3y－3)＋λ(x＋y＋2)＝0，
即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋(2λ－3)＝0，
由于所求直线与直线3x＋y－1＝0垂直，
则3(2＋λ)＋(λ－3)×1＝0，得λ＝－，
所以所求直线方程为5x－15y－18＝0.
过两条直线交点的直线方程的求法
(1)常规解法(方程组法)：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．
(2)特殊解法(直线系法)：先设出过两条直线交点的直线系方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，再结合其他条件用待定系数法求出参数，最后确定直线方程．
3．直线l经过原点，且经过另两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点，则直线l的方程为( )
A．2x＋y＝0 B．2x－y＝0
C．x＋2y＝0 D．x－2y＝0
B [设所求直线方程为2x＋3y＋8＋λ(x－y－1)＝0，即(2＋λ)x＋(3－λ)y＋8－λ＝0，因为l过原点，所以λ＝8.则所求直线方程为2x－y＝0.]
1．方程组有唯一解的等价条件是A1B2－A2B1≠0.亦即两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0.直线A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)是过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线(不含l2).
2．解析法又称为坐标法，它就是通过建立直角坐标系，用坐标代替点、用方程代替曲线、用代数的方法研究平面图形的几何性质的方法．
3．两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝与两点的先后顺序无关，其反映了把几何问题代数化的思想．
1．已知直线l1：3x＋4y－5＝0与l2：3x＋5y－6＝0相交，则它们的交点是( )
A. B．
C． D．
B [由得]
2．已知点M(－1，3)，N(5，1)，P(x，y)到M，N的距离相等，则x，y满足的条件是( )
A.x＋3y－8＝0 B．x－3y＋8＝0
C．x－3y＋9＝0 D．3x－y－4＝0
D [由两点间距离公式得
＝，
整理得3x－y－4＝0.]
3．直线ax＋2y＋8＝0，4x＋3y＝10和直线2x－y＝10相交于一点，则a的值为________．
－1 [由得
把x＝4，y＝－2代入ax＋2y＋8＝0得4a－4＋8＝0，解得a＝－1.]
4．已知A(－1，0)，B(5，6)，C(3，4)，则＝________．
2 [由两点间的距离公式，得|AC|＝＝4，
|CB|＝＝2，故＝＝2.]
5．已知点A(－1，2)，B(2，)，在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值．
[解] 设所求点P(x，0)，于是由|PA|＝|PB|得
＝，
即x2＋2x＋5＝x2－4x＋11，解得x＝1.
所以，所求P点坐标为(1，0)，
|PA|＝＝2.
PAGE3.3 直线的交点坐标与距离公式
3.3.1 两条直线的交点坐标
3.3.2 两点间的距离
学 习 目 标 核 心 素 养
1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．(重点)2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系．(难点)3.掌握两点间距离公式并会应用．(重点) 1. 通过两直线交点坐标的学习，提升数学运算、直观想象的数学学科素养．2. 通过两点间距离学习，培养逻辑推理和直观想象的数学学科素养．
1．两条直线的交点坐标
几何元素及关系 代数表示
点A A(a，b)
直线l l：Ax＋By＋C＝0
点A在直线l上
直线l1与l2的交点是A 方程组的解是
2.两直线的位置关系
法一：代数法
直线l1，l2联立得方程组
(代数问题) (几何问题)
法二：几何法(前提条件：系数均不为零)
3．两点间的距离公
(1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝ ．
(2)两点间距离的特殊情况
①原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝ ．
②当P1P2∥x轴(y1＝y2)时，|P1P2|＝ ．
③当P1P2∥y轴(x1＝x2)时，|P1P2|＝ ．
思考：两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式是否可以写成|P1P2|＝的形式？
1．直线x＝1和直线y＝2的交点坐标是( )
A．(2，2) B．(1，1) C．(1，2) D．(2，1)
2．已知A(3，7)，B(2，5)，则A，B两点间的距离为( )
A．5 B． C．3 D．
3．已知△ABC的顶点A(2，3)，B(－1，0)，C(2，0)，则△ABC的周长是( )
A．2 B．3＋2
C．6＋3 D．6＋
4．已知点A(－2，－1)，B(a，3)，且|AB|＝5，则a的值为________．
两直线的交点问题
【例1】 分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点．
(1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0；
(2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0；
(3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3.
两条直线相交的判定方法
方法一 联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交
方法二 两直线斜率都存在且斜率不等
方法三 两直线的斜率一个存在，另一个不存在
1．判断下列各对直线的位置关系．若相交，求出交点坐标：
(1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0；
(2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0.
两点间距离公式的应用
【例2】 已知△ABC三顶点坐标A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)，试判断△ABC的形状．
1．判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向．
2．在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形的长度特征，主要考察边是否相等或是否满足勾股定理．
2．若等腰三角形ABC的顶点A(3，0)，底边BC的长为4，BC边的中点为D(5，4)，求等腰△ABC的腰长．
经过两条直线交点的直线方程
[探究问题]
1. 如何求两条直线的交点坐标？
2．已知直线过一定点如何求其方程？
3．怎样表示过两条直线交点的直线系方程？
【例3】 求过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程．
思路探究：→→
1．本例中将“3x＋y－1＝0”改为“x＋3y－1＝0”，则如何求解？
2．本例中若将“平行”改为“垂直”，又如何求解？
过两条直线交点的直线方程的求法
(1)常规解法(方程组法)：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．
(2)特殊解法(直线系法)：先设出过两条直线交点的直线系方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，再结合其他条件用待定系数法求出参数，最后确定直线方程．
3．直线l经过原点，且经过另两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点，则直线l的方程为( )
A．2x＋y＝0 B．2x－y＝0
C．x＋2y＝0 D．x－2y＝0
1．方程组有唯一解的等价条件是A1B2－A2B1≠0.亦即两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0.直线A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)是过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线(不含l2).
2．解析法又称为坐标法，它就是通过建立直角坐标系，用坐标代替点、用方程代替曲线、用代数的方法研究平面图形的几何性质的方法．
3．两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝与两点的先后顺序无关，其反映了把几何问题代数化的思想．
1．已知直线l1：3x＋4y－5＝0与l2：3x＋5y－6＝0相交，则它们的交点是( )
A. B．
C． D．
2．已知点M(－1，3)，N(5，1)，P(x，y)到M，N的距离相等，则x，y满足的条件是( )
A.x＋3y－8＝0 B．x－3y＋8＝0
C．x－3y＋9＝0 D．3x－y－4＝0
3．直线ax＋2y＋8＝0，4x＋3y＝10和直线2x－y＝10相交于一点，则a的值为________．
4．已知A(－1，0)，B(5，6)，C(3，4)，则＝________．
5．已知点A(－1，2)，B(2，)，在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值．
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