第四章 圆与方程
[巩固层·知识整合]
[提升层·题型探究]
求圆的方程
【例1】 求圆心在圆＋y2＝2上，且与x轴和直线x＝－都相切的圆的方程．
采用待定系数法求圆的方程的一般步骤
(1)选择圆的方程的某一形式．
(2)由题意得a, b, r(或D, E, F)的方程(组).
(3)解出a, b, r(或D, E, F).
(4)代入圆的方程
1．已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数且与直线4x＋3y－29＝0相切，求圆的方程．
直线与圆的位置关系
【例2】 已知直线l：2mx－y－8m－3＝0和圆C：x2＋y2－6x＋12y＋20＝0.
(1)m∈R时，证明l与C总相交；
(2)m取何值时，l被C截得的弦长最短，求此弦长．
2．已知圆C关于直线x＋y＋2＝0对称，且过点P(－2, 2)和原点O.
(1)求圆C的方程；
(2)相互垂直的两条直线l1，l2都过点A(－1, 0)，若l1，l2被圆C所截得弦长相等，求此时直线l1的方程．
圆与圆的位置关系
【例3】 已知圆C1：x2＋y2＋4x－4y－5＝0与圆C2：x2＋y2－8x＋4y＋7＝0.
(1)证明圆C1与圆C2相切，并求过切点的两圆公切线的方程；
(2)求过点(2, 3)且与两圆相切于(1)中切点的圆的方程．
3．已知圆C1：x2＋y2－6x－7＝0与圆C2：x2＋y2－6y－27＝0相交于A, B两点，则线段AB的中垂线方程为________．
x＋y－3＝0 [AB的中垂线即为圆C1、圆C2的连心线C1C2. 又C1(3，0)，C2(0，3)，所以C1C2所在直线的方程为x＋y－3＝0.]
空间中点的坐标及距离公式的应用
【例4】 如图，已知正方体ABCD A′B′C′D′的棱长为a，M为BD′的中点，点N在A′C′上，且|A′N|＝3|NC′|，试求|MN|的长．
求空间中坐标及两点间距离方法及注意点
(1)求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，应用公式的关键在于建立适当的坐标系，确定两点的坐标．
(2)确定点的坐标的方法视具体题目而定，一般来说，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结合平面直角坐标系的知识确定．
4．如图所示，直三棱柱ABC A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度．
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求圆的方程
【例1】 求圆心在圆＋y2＝2上，且与x轴和直线x＝－都相切的圆的方程．
[解] 设圆心坐标为(a，b)，半径为r，
因为圆＋y2＝2在直线x＝－的右侧，且所求的圆与x轴和直线x＝－都相切，所以a＞－.
所以r＝a＋，r＝|b|.
又圆心(a，b)在圆＋y2＝2上，
所以＋b2＝2，联立
解得
所以所求圆的方程是＋(y－1)2＝1，
或＋(y＋1)2＝1.
采用待定系数法求圆的方程的一般步骤
(1)选择圆的方程的某一形式．
(2)由题意得a, b, r(或D, E, F)的方程(组).
(3)解出a, b, r(或D, E, F).
(4)代入圆的方程
1．已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数且与直线4x＋3y－29＝0相切，求圆的方程．
[解] 设圆心为M(m，0)(m∈Z)，
由于圆与直线4x＋3y－29＝0相切，且半径为5，
所以＝5，即|4m－29|＝25，
因为m为整数，故m＝1，
故所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝25.
直线与圆的位置关系
【例2】 已知直线l：2mx－y－8m－3＝0和圆C：x2＋y2－6x＋12y＋20＝0.
(1)m∈R时，证明l与C总相交；
(2)m取何值时，l被C截得的弦长最短，求此弦长．
[解] (1)证明：直线的方程可化为y＋3＝2m(x－4)，
由点斜式可知，直线过点P(4, －3).
由于42＋(－3)2－6×4＋12×(－3)＋20＝－15<0，
所以点P在圆内，故直线l与圆C总相交．
(2)如图，当圆心C(3, －6)到直线l的距离最大时，线段AB的长度最短．
此时PC⊥l，所以直线l的斜率为－，所以m＝－.
在Rt△APC中，|PC|＝，|AC|＝r＝5，
所以|AP|2＝|AC|2－|PC|2＝25－10＝15，
所以|AP|＝，所以|AB|＝2，
即最短弦长为2.
直线与圆位置关系的判断
求出圆心到直线的距离d与r比较或由直线与圆联立方程组消去一个变量，得到一元二次方程，判断判别式Δ的符号
d＞r 相离 Δ＜0
d＝r 相切 Δ＝0
d＜r 相交 Δ＞0
2．已知圆C关于直线x＋y＋2＝0对称，且过点P(－2, 2)和原点O.
(1)求圆C的方程；
(2)相互垂直的两条直线l1，l2都过点A(－1, 0)，若l1，l2被圆C所截得弦长相等，求此时直线l1的方程．
[解] (1)由题意知，直线x＋y＋2＝0过圆C的圆心，设圆心C(a, －a－2).
由题意，得(a＋2)2＋(－a－2－2)2＝a2＋(－a－2)2，解得a＝－2.
因为圆心C(－2，0)，半径r＝2，
所以圆C的方程为(x＋2)2＋y2＝4.
(2)由题意知，直线l1，l2的斜率存在且不为0，设l1的斜率为k，则l2的斜率为－，
所以l1：y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0，
l2：y＝－(x＋1)，即x＋ky＋1＝0.
由题意，得圆心C到直线l1，l2的距离相等，
所以＝，解得k＝±1，
所以直线l1的方程为x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.
圆与圆的位置关系
【例3】 已知圆C1：x2＋y2＋4x－4y－5＝0与圆C2：x2＋y2－8x＋4y＋7＝0.
(1)证明圆C1与圆C2相切，并求过切点的两圆公切线的方程；
(2)求过点(2, 3)且与两圆相切于(1)中切点的圆的方程．
[解] (1)证明：把圆C1与圆C2都化为标准方程形式，得(x＋2)2＋(y－2)2＝13，(x－4)2＋(y＋2)2＝13.
圆心与半径长分别为C1(－2，2)，r1＝；
C2(4，－2)，r2＝.
因为|C1C2|＝＝2＝r1＋r2，
所以圆C1与圆C2相切．
由得12x－8y－12＝0，
即3x－2y－3＝0，就是过切点的两圆公切线的方程．
(2)由圆系方程，可设所求圆的方程为
x2＋y2＋4x－4y－5＋λ(3x－2y－3)＝0.
点(2, 3)在此圆上，将点坐标代入方程解得λ＝.
所以所求圆的方程为x2＋y2＋4x－4y－5＋(3x－2y－3)＝0，即x2＋y2＋8x－y－9＝0.
判断两圆位置关系的两种比较方法
(1)几何法是利用两圆半径和或差与圆心距作比较，得到两圆位置关系，(其中R＞r)
d＞R＋r 外离，
d＝R＋r 外切，
R－r＜d＜R＋r 相交，
d＝R－r 内切，
0≤d＜R－r 内含．
(2)代数法是把两圆位置关系的判断完全转化为代数问题，转化为方程组解的组数问题，从而体现了几何问题与代数问题之间的相互联系，但这种方法只能判断出不相交、相交和相切三种位置关系，而不能像几何法一样，能准确判断出外离、外切、相交、内切和内含五种位置关系．
3．已知圆C1：x2＋y2－6x－7＝0与圆C2：x2＋y2－6y－27＝0相交于A, B两点，则线段AB的中垂线方程为________．
x＋y－3＝0 [AB的中垂线即为圆C1、圆C2的连心线C1C2. 又C1(3，0)，C2(0，3)，所以C1C2所在直线的方程为x＋y－3＝0.]
空间中点的坐标及距离公式的应用
【例4】 如图，已知正方体ABCD A′B′C′D′的棱长为a，M为BD′的中点，点N在A′C′上，且|A′N|＝3|NC′|，试求|MN|的长．
[解] 由题意应先建立坐标系，以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系．
因为正方体棱长为a，所以B(a，a，0)，A′(a，0，a)，C′(0，a，a)，D′(0，0，a).由于M为BD′的中点，取A′C′的中点O′，所以M，O′.
因为|A′N|＝3|NC′|，所以N为A′C′的四等分点，从而N为O′C′的中点，故N.
根据空间两点间的距离公式，
可得|MN|＝＝a.
求空间中坐标及两点间距离方法及注意点
(1)求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，应用公式的关键在于建立适当的坐标系，确定两点的坐标．
(2)确定点的坐标的方法视具体题目而定，一般来说，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结合平面直角坐标系的知识确定．
4．如图所示，直三棱柱ABC A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度．
[解] 以点C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
∵|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，
∴C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C1(0，0，2)，B1(0，2，2)，
由中点坐标公式可得，D(1，1，0)，E(0，1，2)，F(1，0，0)，
∴|DE|＝＝，
|EF|＝＝.
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