2021-2022学年数学人教A版（2019）必修第一册4.2.1指数函数的概念 课件(共24张PPT)

(共24张PPT)
4.2 指数函数
郑州外国语学校 郭洪涛
1.理解指数函数的概念和意义；
2.能画出具体的指数函数的图像，并根据指数函数的图像探索和理解指数函数的性质；
3.能运用指数函数的图像和性质解决有关数学问题；
课时目标：
4.2.1 指数函数的概念
我是电脑病毒，在传播时我可以由一个复制成二个，二个复制成四个，……，我复制x次后，得到的病毒个数y与x有怎样的函数关系？
问题一:
分裂次数
病毒个数
1
2
3
8
4
2
x

病毒个数y与分裂次数x的函数关系为 ：y=2x
………………………………….
引入：
某种商品的价格从今年起每年降低15%，
设原来的价格为1，x年后的价格为y，则y与x的
函数关系式为 ：
问题二:
y=0.85x
探究：
问题一中函数y=2x的解析式与问题二中函数y=0.85x的解析式有什么共同特征？
以上两个函数解析式都可以表示为：
指数为自变量
y=ax
底数a是一个大于0且不等于1的常数
引入：
一般地，函数y=ax（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x为自变量，定义域为R .
注意：（1）形如y=ax ；
一、指数函数概念
例1：下列函数中，哪些是指数函数？
y=4x y=x4 y=-4x y=4x +1
例2：已知函数y=(a2-3a+3)ax是指数函数,则a的值为____
2
例3：已知y=f(x)是指数函数，且f(2)=4,求函数y=f(x)的解析式。
y=2x
（2）底数a＞0，且a≠1
一、指数函数概念
一、指数函数概念
A　
D　
为什么规定a>0,且a
1呢？
则当x>0时，
=0；
无意义.
当x
则对于x的某些数值，可使
无意义.
如
，这时对于
在实数范围内函数值不存在.
①若a=0，
②若a<0，
③若a=1，
没有研究的必要性.
则对于任何
是一个常量，
思考：
总结：
1.指数函数的解析式必须具有三个特征：
(1)底数a为大于0且不等于1的常数；
(2)指数位置是自变量x；
(3)ax的系数是1.
2．求指数函数的关键是求底数a，并注意a的限制条件．求指数函数解析式的步骤：
(1)设指数函数的解析式为f(x)＝ax(a>0且a≠1)．
(2)利用已知条件求底数a.
(3)写出指数函数的解析式．
探究新知
二、指数型函数模型
形如_______(k∈R，且k≠0；a>0且a≠1)的函数是指数型函数模型．
y＝kax　
4.2.2 指数函数的图像和性质
第一课时
思考：怎样得到指数函数图像
在直角坐标系中画出下列函数的图象：
(1)y=2x (2)y=(1／2)x
(3)y=3x (4)y=(1／3)x
思考：指数函数图像的特点
通过图像，你能发现指数函数的哪些性质
探究新知
图 象
性 质
定 义 域 :
值 域 :
恒 过 点：
在 R 上单调递增
在 R 上单调递减
a>1
0R
( 0 , + ∞ )
( 0 , 1 )
y
x
1
x
y
1
奇偶性 :
非奇非偶
一、指数函数的图像及性质
思考：
题型一：指数函数的图像
例1：如图所示是下列指数函数的图象：
(1)y＝ax；(2)y＝bx；(3)y＝cx；(4)y＝dx.则a，b，c，d与1的大小关系是 (　　)
A．aC．1B　
总结：指数函数的图象随底数变化的规律可归纳为：在第一象限内，图象自下而上对应的底数依次增大．
题型一：指数函数的图像
B　
C　
解析
当0方程有两解．
当k<0时，
方程无解；
当k＝0或k≥1时，
方程有一解；
例4： k为何值时，方程|3x－1|＝k无解？有一解？有两解？
题型一：指数函数的图像
题型二：幂式比大小
[解析]　(1)∵1.82.2，1.83可看作函数y＝1.8x的两个函数值，
∵1.8>1，∴y＝1.8x在R上为增函数，
又2.2<3，∴1.82.2<1.83.
(2)∵y＝0.7x在R上为减函数，
又∵－0.3>－0.4，∴0.7－0.3<0.7－0.4.
方法总结：利用单调性比大小
题型二：幂式比大小
[解析]　(3)法一：构造幂函数y=x3.2，在第一象限单调递增，
∵0.5<0.6，∴0.53.2<0.63.2.
法二：在同一个坐标系中分别作出y=0.5x和y=0.6x的图像可得.
(4)方法同（3）可得3.7-4.1>3.8-4.1.
方法总结：在第一象限底大值大
题型二：幂式比大小
[解析]　(5)∵1.90.4>1.90=1, 0.92.4<0.90=1，∴1.90.4>0.92.4
方法总结：找中间值
题型三：指数型函数定义域、值域（最值）问题
例3：函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大，求a的值．
题型三：指数型函数定义域、值域（最值）问题
∴a2－a＝ ，
即a＝ 或a＝0
解：若a>1，
则f(x)在[1,2]上递增，
若0∴a－a2＝ ，
即a＝ 或a＝0
则f(x)在[1,2]上递减，
＝
即a2－a＝，
解得a的值为或.
综上所述，所求a的值为或.
∴a2－a＝ ，
即a＝ 或a＝0
解：若a>1，
若0题型三：指数型函数定义域、值域（最值）问题
例4：设a>0且a≠1，函数y＝a2x＋2ax－1在[－1,1]上的　
　　最大值是14，求a的值．
利用换元法，转化为一元二次函数的最值问题来求解
则原函数化为y＝(t＋1)2－2 ．
令t＝ax,
①当0②当a>1时，
∴f(t)max＝f(a)
此时f(t)为增函数．
此时f(t)为增函数．
＝(a＋1)2－2＝14，
∴ a＝3或a＝5
(舍)．
解析
(舍)．
注意点 换元之后要注意新元等价性　
函数y＝af(x)定义域、值域的求法
(1)定义域．函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同．
(2)值域．
①换元，令t＝f(x)；②求t＝f(x)的定义域x∈D；③求t＝f(x)的值域t∈M；④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域．
总结