2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册第三章 圆锥曲线的方程 基本达标能力训练题（Word含答案解析）

第三章圆锥曲线的方程基本达标能力训练--2021--2022学年人教A（2019）选择性必修第一册
评卷人得分
一、单选题
1．抛物线上一点到其焦点的距离为3，则抛物线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．以椭圆＋＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是（ ）
A． B． C． D．
3．椭圆焦距为（ ）
A． B．8 C．4 D．
4．已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则（ ）
A． B． C． D．
5．设抛物线：的焦点为，为坐标原点，是上一点.若，则（ ）
A． B．5 C． D．
6．已知点在抛物线上，那么点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点的坐标为
A． B． C． D．
7．已知椭圆与双曲线具有相同焦点、，是它们的一个交点，且，记椭圆与双曲线的离心率分别为、，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
8．设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为
A． B．
C．2 D．
评卷人得分
二、多选题
9．已知双曲线C的方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线C的渐近线方程为
B．双曲线C的实轴长为8
C．双曲线C的焦点到渐近线的距离为3
D．双曲线C上的点到焦点的距离的最小值为
10．已知椭圆的两个焦点分别为，与轴正半轴交于点，下列选项中给出的条件，能够求出椭圆标准方程的选项是（ ）
A．是等腰直角三角形
B．已知椭圆的离心率为，短轴长为2
C．是等边三角形，且椭圆的离心率为
D．设椭圆的焦距为4，点在圆上
11．已知双曲线：的离心率，则下列说法正确的是（ ）
A．或 B．双曲线的渐近线方程为
C．双曲线的实轴长等于 D．双曲线的焦点到其渐近线的距离等于
12．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，则能使双曲线C的方程为的是（ ）
A．离心率为 B．双曲线过点
C．渐近线方程为 D．实轴长为4
评卷人得分
三、填空题
13．双曲线的渐近线方程为x±2y=0，则焦距为_____．
14．已知抛物线的焦点为F，抛物线C上一点A满足，则以点A为圆心，AF为半径的圆截轴所得弦长为___________．
15．如图，已知点为椭圆上一点，为的左焦点，若，，则椭圆的方程为___________.
16．已知双曲线的左，右焦点分别为、，过点作倾斜角为的直线l交双曲线C的右支于A，B两点，其中点A在第一象限，若，且双曲线C的离心率为2，则___________．
评卷人得分
四、解答题
17．过椭圆＋＝1内一点M(2，1)引一条弦，使弦被M点平分．
（1）求此弦所在的直线方程；
（2）求此弦长．
18．已知抛物线经过点．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）经过点的直线l与抛物线C相切于点B（点B在第一象限），O是坐标原点，圆O与直线l相切于点E，设，求实数λ的值．
19．已知双曲线E：的离心率为2，点在E上.
（1）求E的方程：
（2）过点的直线1交E于不同的两点A，B（均异于点P），求直线PA，PB的斜率之和.
20．已知椭圆C：（）的焦距为，且过点.
（1）求椭圆方程；
（2）设直线l：（）交椭圆C于A，B两点，且线段的中点M在直线上，求证：线段的中垂线恒过定点N.
21．已知椭圆的左右焦点分别为，，且椭圆C上的点M满足，．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点是椭圆的上顶点，点在椭圆C上，若直线，的斜率分别为，满足，求面积的最大值．
22．已知，是椭圆：的左、右焦点，曲线：的焦点恰好也是，为坐标原点，过椭圆的左焦点作与轴垂直的直线交椭圆于，，且的面积为3．
（1）求椭圆的方程；
（2）过作直线交于，，交于，，且与的面积相等，求直线的斜率．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
答案与提示：
评卷人得分
一、单选题
1．抛物线上一点到其焦点的距离为3，则抛物线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
因抛物线上一点到其焦点的距离为3，则p>0，抛物线准线方程为，
由抛物线定义得：，解得，
所以抛物线的方程为：.
故选：B
2．以椭圆＋＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
∵椭圆的方程为＋＝1，
∴ 椭圆的长轴端点坐标为，，焦点坐标为，，
∴ 双曲线的焦点在y轴上，且a＝1，c＝2，
∴ b2＝3，
∴ 双曲线方程为，
故选：B.
3．椭圆焦距为（ ）
A． B．8 C．4 D．
【答案】A
【解析】
由题意，，故椭圆的焦点在轴上
故焦距
故选：A
4．已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
抛物线的焦点坐标为，
所以椭圆中，，．
故选：C．
5．设抛物线：的焦点为，为坐标原点，是上一点.若，则（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】A
【解析】
由可得，准线为，
设，因为，
由抛物线的定义得，
解得：，所以，
所以，
故选：A.
6．已知点在抛物线上，那么点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点的坐标为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
抛物线焦点为F(1,0)，准线为x=-1，作 垂直于准线，垂足为 根据抛物线定义： ，根据三角形两边距离之和大于第三边，直角三角形斜边大于直角边知： 的最小值是点到抛物线准线x=-1的距离；所以点 纵坐标为-1，则横坐标为．
故选A
7．已知椭圆与双曲线具有相同焦点、，是它们的一个交点，且，记椭圆与双曲线的离心率分别为、，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
设点为椭圆与双曲线在第一象限内的交点，设，
由椭圆和双曲线的定义可得，解得，，
由余弦定理可得
，
所以，，即，
所以，，
当且仅当时，等号成立，
因此，的最小值是.
故选：B.
8．设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为
A． B．
C．2 D．
【答案】A
【解析】设与轴交于点，由对称性可知轴，
又，为以为直径的圆的半径，
为圆心．
，又点在圆上，
，即．
，故选A．
评卷人得分
二、多选题
9．已知双曲线C的方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线C的渐近线方程为
B．双曲线C的实轴长为8
C．双曲线C的焦点到渐近线的距离为3
D．双曲线C上的点到焦点的距离的最小值为
【答案】ABC
【解析】
由双曲线C的方程为，得：，
，
对于A：双曲线C的渐近线方程为，故A正确；
对于B：双曲线C的实轴长为，故B正确；
对于C：取焦点，则焦点到渐近线的距离，故C正确；
对于D：双曲线C上的点到焦点距离的最小值为，故D错误；
故选：ABC.
10．已知椭圆的两个焦点分别为，与轴正半轴交于点，下列选项中给出的条件，能够求出椭圆标准方程的选项是（ ）
A．是等腰直角三角形
B．已知椭圆的离心率为，短轴长为2
C．是等边三角形，且椭圆的离心率为
D．设椭圆的焦距为4，点在圆上
【答案】BD
【解析】
对A，若是等腰直角三角形可知，没具体数据得不出方程；
对B，已知椭圆的离心率为，短轴长为2，则，由
所以，所以椭圆标准方程为，故B正确；
对C，是等边三角形，且椭圆的离心率为，所以，，数据不足，得不到结果；
对D，设椭圆的焦距为4，点在圆上，所以，
由，所以，所以椭圆方程为，故D正确
故选：BD
11．已知双曲线：的离心率，则下列说法正确的是（ ）
A．或 B．双曲线的渐近线方程为
C．双曲线的实轴长等于 D．双曲线的焦点到其渐近线的距离等于
【答案】BC
【解析】
A选项，由方程对应的曲线为双曲线可得，解得，故双曲线的焦点在轴上，故，故，解得，故A选项不正确；
B选项，由A选项可得双曲线的方程为，故双曲线的渐近线方程为，即，B选项正确.
选项，易知双曲线的实轴长为，故C选项正确；
选项，双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长，为，故D选项不正确.
故选：BC
12．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，则能使双曲线C的方程为的是（ ）
A．离心率为 B．双曲线过点
C．渐近线方程为 D．实轴长为4
【答案】ABC
【解析】
因为双曲线C：的左、右焦点分别为，，
所以焦点在x轴上，且c=5；
A选项，若离心率为，则a=4，所以b=3，此时双曲线的方程为：，故A正确；
B选项，若双曲线过点，则，解得，又，解得：b=3；此时双曲线的方程为：，故B正确；
C选项，若双曲线的渐近线方程为，则，又 解得，所以此时双曲线的方程为：，故C正确；
D选项，若，则，所以故D错误；
故选：ABC.
评卷人得分
三、填空题
13．双曲线的渐近线方程为x±2y=0，则焦距为_____．
【答案】
【解析】
由渐近线方程为x±2y=0，得，又则，所以
故，所以焦距为．
故答案为：
14．已知抛物线的焦点为F，抛物线C上一点A满足，则以点A为圆心，AF为半径的圆截轴所得弦长为___________．
【答案】
【解析】
由题意，抛物线，可得焦点，
设，根据抛物线的定义，可得，解得，
即到轴的距离为，
所以圆截轴所得弦长为，
故答案为：．
15．如图，已知点为椭圆上一点，为的左焦点，若，，则椭圆的方程为___________.
【答案】
【解析】
由题意可得，该椭圆的半焦距，取椭圆的右焦点以及中点，连接，如图，
因为，所以，所以，，
所以，，所以，即，
所以，
所以椭圆方程为.
故答案为：
16．已知双曲线的左，右焦点分别为、，过点作倾斜角为的直线l交双曲线C的右支于A，B两点，其中点A在第一象限，若，且双曲线C的离心率为2，则___________．
【答案】
【解析】
由双曲线的定义知，，∵，
∴，即，
∴，
在中，由余弦定理知，，
∵.
故答案为：．
评卷人得分
四、解答题
17．过椭圆＋＝1内一点M(2，1)引一条弦，使弦被M点平分．
（1）求此弦所在的直线方程；
（2）求此弦长．
【解析】
（1）设所求直线方程为y－1＝k(x－2)．代入椭圆方程并整理，得
(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0，①
又设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1，x2是方程的两个根，
于是x1＋x2＝.
又M为AB的中点，∴＝＝2，
解得k＝－，
直线方程为，即x＋2y－4＝0.
（2）由（1）将k＝－代入①得，x2－4x＝0，
∴，
∴|AB|＝
＝＝2．
18．已知抛物线经过点．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）经过点的直线l与抛物线C相切于点B（点B在第一象限），O是坐标原点，圆O与直线l相切于点E，设，求实数λ的值．
【解析】（1）∵抛物线经过点，
∴
∴抛物线的标准方程为.
（2）依题意，知直线的斜率存在，设方程为.
由，得①.
则，得或（舍）.
方程①为，得.
∴点的坐标为，.
由题意，且为等腰直角三角形，，
∴.
∴.
19．已知双曲线E：的离心率为2，点在E上.
（1）求E的方程：
（2）过点的直线1交E于不同的两点A，B（均异于点P），求直线PA，PB的斜率之和.
【解析】
（1）由已知可得，
∴，解得①
又∵点在E上，
∴②
由① ②可得，.
∴双曲线E的方程为.
（2）过点的直线l斜率显然存在，
设l的方程为：，，，
将l的方程代入双曲线E的方程并整理得，
依题意，且，
所以且，
因此，可得，.
∴
.
20．已知椭圆C：（）的焦距为，且过点.
（1）求椭圆方程；
（2）设直线l：（）交椭圆C于A，B两点，且线段的中点M在直线上，求证：线段的中垂线恒过定点N.
【解析】
（1）椭圆过点，即，
又，得，所以，，即椭圆方程为；
（2）由，得，
设，，
则，设的中点M为，得，
即，所以.
所以的中垂线方程为，即，故的中垂线恒过点.
21．已知椭圆的左右焦点分别为，，且椭圆C上的点M满足，．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点是椭圆的上顶点，点在椭圆C上，若直线，的斜率分别为，满足，求面积的最大值．
【解析】（1）依题意得：，．
由椭圆定义知，
又，则，
在中，，由余弦定理得：
即，解得
又
故所求椭圆方程为
（2）设，直线
联立方程组，得，
，得，
，，
，
由题意知，由，，代入化简得
，
故直线过定点，
由，解得，
，
令，则，当且仅当，即时等号成立，所以面积的最大值为．
22．已知，是椭圆：的左、右焦点，曲线：的焦点恰好也是，为坐标原点，过椭圆的左焦点作与轴垂直的直线交椭圆于，，且的面积为3．
（1）求椭圆的方程；
（2）过作直线交于，，交于，，且与的面积相等，求直线的斜率．
【解析】：（1）因为曲线的焦点恰好也是，所以椭圆中，，
因为的面积为3，所以，
所以，解得，，，
所以椭圆的方程为；
（2）因为为，的中点，所以到直线的距离为到距离的一半，
又因为与的面积相等，所以，
因为，设的方程为，
设，，，，，，，，
联立方程组，可得，
则，
由两点间距离公式可得，，
所以，
联立方程组，可得，
则，
所以，
因为，解得
故直线的斜率为．