3.牛顿第二定律
学习目标：1.[物理观念]知道牛顿第二定律的内容，表达式的确切含义． 2.[物理观念]知道国际单位制中力的单位． 3．[科学思维]会应用牛顿第二定律解决简单动力学问题．
一、牛顿第二定律
1．内容：物体加速度的大小跟它受到的作用力成正比、跟它的质量成反比，加速度的方向跟作用力的方向相同．
2．表达式
(1)比例式：F＝kma，式中k是比例系数，F是物体所受的合外力．
(2)国际单位制中：F＝ma.
3．力的单位
(1)力的国际单位：牛顿，简称牛，符号为N.
(2)1 N的定义：使质量为1 kg的物体产生1 m/s2的加速度的力叫1 N，即1 N＝1 kg·m/s2.
(3)比例系数的意义
①在F＝kma中，k的选取有一定的任意性．
②在国际单位制中k＝1，牛顿第二定律的表达式为F＝ma，式中F、m、a的单位分别为牛顿、千克、米每二次方秒．
二、牛顿第二定律的初步应用
1．牛顿第二定律的进一步表达式F合＝ma.
2．牛顿第二定律的分量表达式Fx合＝max，Fy合＝may.
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)由F＝ma可知，物体所受的合外力与物体的质量成正比，与物体的加速度成反比． (×)
(2)公式F＝ma中，各量的单位可以任意选取． (×)
(3)公式F＝ma中，a实际上是作用于物体上每一个力所产生的加速度的矢量和． (√)
(4)物体的运动方向一定与它所受合外力的方向一致． (×)
2．(多选)下列对牛顿第二定律的理解正确的是( )
A．由F＝ma可知，m与a成反比
B．牛顿第二定律说明当物体有加速度时，物体才受到外力的作用
C．加速度的方向总跟合外力的方向一致
D．当外力停止作用时，加速度随之消失
CD [虽然F＝ma，但m与a无关，因a是由m和F共同决定的，即a∝，且a与F同时产生、同时消失、同时存在、同时改变；a与F的方向永远相同．综上所述，可知A、B错误，C、D正确．]
3．在牛顿第二定律公式F＝kma中，比例系数k的数值( )
A．在任何情况下都等于1
B．是由质量m、加速度a和力F三者的大小所决定的
C．与质量m、初速度a和力F三者的单位无关
D．在国际单位制中一定等于1
D [在牛顿第二定律的表达式F＝kma中，只有质量m、加速度a和力F的单位是国际单位制单位时，比例系数k才为1，故D正确，A、B、C错误．]
牛顿第二定律
你了解赛车吗？如图所示是一辆方程式赛车，车身结构一般采用碳纤维等材料进行轻量化设计，比一般小汽车的质量小得多，而且还安装了功率很大的发动机，可以在4～5 s的时间内从静止加速到100 km/h.你知道为什么要使赛车具备质量小、功率大两个特点吗？
提示：赛车的质量小，赛车的运动状态容易改变；功率大，可以为赛车提供较大的动力．因此，这两大特点可以使赛车提速非常快(加速度大)．
1．牛顿第二定律的五种特性
矢量性 公式F＝ma是矢量式，式中F和a都是矢量，且它们在任何时刻方向都相同，当F方向变化时，a的方向同时变化
瞬时性 牛顿第二定律表明了物体的加速度与物体所受合外力的瞬时对应关系，a为某一时刻的加速度，F为该时刻物体所受的合外力
同一性 有两层意思：一是指加速度a相对同一惯性系(一般指地球)，二是指F＝ma中F、m、a必须对应同一物体或同一个系统
独立性 作用于物体上的每一个力各自产生的加速度都遵从牛顿第二定律，而物体的实际加速度则是每个力产生的加速度的矢量和，分力和加速度在各个方向上的分量关系也遵从牛顿第二定律，即：Fx＝max，Fy＝may
相对性 物体的加速度必须是对相对于地球静止或匀速直线运动的参考系而言的
2.合外力、加速度和速度的关系
(1)合外力与加速度的关系：
(2)力与运动的关系：
3．两个加速度公式的区别
(1)a＝是加速度的定义式，它给出了测量物体加速度的方法，这是物理学用比值定义物理量的方法．
(2)a＝是加速度的决定式，它揭示了物体产生加速度的原因及影响物体加速度的因素．
【例1】 如图所示，弹簧一端系在墙上O点，另一端自由伸长到B点，今将一小物体m压着弹簧(与弹簧未连接)，将弹簧压缩到A点，然后释放，小物体能运动到C点静止，物体与水平地面间的动摩擦因数恒定．下列说法中正确的是 ( )
A．物体在B点受合外力为零
B．物体的速度从A到B越来越大，从B到C越来越小
C．物体从A到B加速度越来越小，从B到C加速度不变
D．物体从A到B先加速后减速，从B到C匀减速
思路点拨：速度增大还是减小，要看速度和加速度的方向关系，加速度大小的变化是由合力大小变化决定的．
D [物体在B点受到摩擦力的作用，故受合外力不为零，选项A错误；物体向右运动时，开始时弹力大于摩擦力，物体做加速运动，当弹力等于摩擦力时，加速度减为零，此时物体的速度最大，此位置在AB之间的某点，以后弹力小于摩擦力，物体做减速运动，经过B点以后物体只受摩擦力作用而做匀减速运动到C点停止，故物体从A到B先加速后减速，从B到C匀减速，选项D正确，B、C错误．]
合外力、加速度、速度的关系
(1)力与加速度为因果关系：力是因，加速度是果．只要物体所受的合外力不为零，就会产生加速度．加速度与合外力方向是相同的，大小与合外力成正比．
(2)力与速度无因果关系：合外力方向与速度方向可以同向，可以反向，还可以有夹角．合外力方向与速度方向同向时，物体做加速运动，反向时物体做减速运动．
[跟进训练]
1．(多选)初始时静止在光滑水平面上的物体，受到一个逐渐减小的水平力的作用，则这个物体运动情况为 ( )
A．速度不断增大，但增大得越来越慢
B．加速度不断增大，速度不断减小
C．加速度不断减小，速度不断增大
D．加速度不变，速度先减小后增大
AC [水平面光滑，说明物体不受摩擦力作用，物体所受到的水平力即为其合外力．水平力逐渐减小，合外力也逐渐减小，由公式F＝ma可知：当F逐渐减小时，a也逐渐减小，但速度逐渐增大，故A、C正确．]
牛顿第二定律的简单应用
1．应用牛顿第二定律解题的一般步骤
(1)确定研究对象．
(2)进行受力分析和运动状态分析，画出受力示意图．
(3)建立坐标系，或选取正方向，写出已知量，根据定律列方程．
(4)统一已知量单位，代值求解．
(5)检查所得结果是否符合实际，舍去不合理的解．
2．常用方法
(1)矢量合成法
若物体只受两个力作用时，应用平行四边形定则求这两个力的合力，再由牛顿第二定律求出物体的加速度的大小及方向．加速度的方向就是物体所受合外力的方向，反之，若知道加速度的方向也可应用平行四边形定则求物体所受的合力．
(2)正交分解法
物体受到三个或三个以上的不在同一直线上的力作用时，常用正交分解法：
为减少矢量的分解，建立坐标系时，确定x轴正方向有两种基本方法．
①分解力：通常以加速度a的方向为x轴正方向，建立直角坐标系，将物体所受的各个力分解在x轴和y轴上，分别得x轴和y轴的合力Fx和Fy，得方程：
②分解加速度：若以加速度的方向为x轴正方向，分解的力太多，比较繁琐，可根据受力情况，使尽可能多的力位于两坐标轴上而分解加速度a，得ax和ay，根据牛顿第二定律得方程：
【例2】 如图所示，沿水平方向做匀变速直线运动的车厢中，悬挂小球的悬线偏离竖直方向37°角，球和车厢相对静止，球的质量为1 kg.(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，求：
(1)车厢运动的加速度并说明车厢的运动情况；
(2)悬线对球的拉力大小．
思路点拨：①球和车厢相对静止，两者具有相同的加速度．②研究对象应选取小球．③对小球受力分析，可判断加速度方向为水平向右．
[解析] 解法一(矢量合成法)
(1)小球和车厢相对静止，它们的加速度相同．以小球为研究对象，对小球进行受力分析如图所示，小球所受合力为F合＝mgtan 37°.
由牛顿第二定律得小球的加速度为a＝＝gtan 37°＝g＝7.5 m/s2，加速度方向水平向右．车厢的加速度与小球相同，车厢做的是水平向右的匀加速直线运动或水平向左的匀减速直线运动．
(2)由题图可知，悬线对球的拉力大小为T＝＝12.5 N.
解法二(正交分解法)
(1)建立直角坐标系如图所示，正交分解各力，根据牛顿第二定律列方程得
x方向：Tx＝ma
y方向：Ty－mg＝0
即Tsin 37°＝ma
Tcos 37°－mg＝0
解得a＝g＝7.5 m/s2
加速度方向水平向右．车厢的加速度与小球相同，车厢做的是水平向右的匀加速直线运动或水平向左的匀减速直线运动．
(2)由(1)中所列方程解得悬线对球的拉力大小为
T＝＝12.5 N.
[答案] (1)7.5 m/s2，方向水平向右 车厢可能水平向右做匀加速直线运动或水平向左做匀减速直线运动
(2)12.5 N
合成法和正交分解法的应用技巧
(1)合成法常用于两个互成角度的共点力的合成，正交分解法常用于3个或3个以上互成角度的共点力的合成．
(2)坐标系建立技巧
①建立坐标系时，通常选取加速度的方向作为某一坐标轴的正方向(也就是不分解加速度)，将物体所受的力正交分解后，列出方程Fx＝ma，Fy＝0.
②特殊情况下，也可将坐标轴建立在力的方向上，正交分解加速度a.根据牛顿第二定律及F＝求合外力．
[跟进训练]
2．如图所示，电梯与水平面夹角为θ，上面站着质量为m的人，当电梯以加速度a加速向上运动时，求电梯对人的支持力N和摩擦力f.
[解析] 如图所示，由于人的加速度方向是沿电梯向上的，这样建立坐标系后，在x轴方向和y轴方向上各有一个加速度的分量，
分别为ax＝acos θ，ay＝asin θ
根据牛顿第二定律列方程
x轴方向：f＝max＝macos θ
y轴方向：N－mg＝may＝masin θ
解得f＝macos θ，N＝mg＋masin θ.
[答案] mg＋masin θ macos θ
1．物理观念：牛顿第二定律内容、表达式、力的单位．
2．科学思维：应用牛顿第二定律解决问题.
1．关于牛顿第二定律，下列说法中正确的是 ( )
A．公式F＝ma中，各量的单位可以任意选取
B．某一瞬间的加速度只取决于这一瞬间物体所受的合力，而与之前或之后的受力无关
C．公式F＝ma中，a实际上是作用于物体上的每一个力所产生的加速度的代数和
D．物体的运动方向一定与它所受合力的方向一致
B [F、m、a必须选对应的国际单位，才能写成F＝ma的形式，否则比例系数k≠1，故A错误；由牛顿第二定律的瞬时性和独立性可知，B正确，C错误；合力的方向只能表示物体速度改变量的方向，与物体速度方向不一定一致，故D错误．]
2.(多选)质量均为m的A、B两球之间连有一轻弹簧，放在光滑的水平台面上，A球紧靠墙壁，如图所示．今用力F将B球向左推压弹簧，静止后，突然将力F撤去的瞬间 ( )
A．A的加速度大小为
B．A的加速度为零
C．B的加速度大小为
D．B的加速度大小为
BD [撤去F瞬间，弹簧弹力不发生变化，故A球受力不变，加速度为零，选项A错误，B正确；对B球撤去F前，弹簧弹力与F等值反向，撤去F后，弹簧弹力不变，故加速度大小为，选项C错误，D正确．]
3．分别在四辆相同汽车的车厢顶部用细线悬挂一个小球，当汽车在沿平直道路上运动的过程中，小球相对汽车所处的状态如图所示．已知β>α>θ>0°，则获得最大加速度的汽车是( )
A B
C D
D [以A图为例，以小球为研究对象，由牛顿第二定律得：Tcos α＝mg，Tsin α＝ma，两式联立解得a＝gtan α，可知，α越大，汽车的加速度越大，因为β>α>θ>0°，所以D图中汽车的加速度最大．选项D正确．]
4.如图所示，轻弹簧下端固定在水平面上．一个小球从弹簧正上方某一高度处由静止开始自由下落，接触弹簧，把弹簧压缩到一定程度后停止下落．在小球下落的这一全过程中，下列说法中正确的是 ( )
A．小球刚接触弹簧瞬间速度最大
B．从小球接触弹簧起加速度变为竖直向上
C．从小球接触弹簧至到达最低点，小球的速度先增大后减小
D．从小球接触弹簧至到达最低点，小球的加速度先增大后减小
C [小球从接触弹簧开始，在向下运动过程中受到重力和弹簧弹力的作用，但开始时由于弹簧的压缩量较小，弹力小于重力，合力方向竖直向下，且逐渐减小，小球将继续向下做加速度逐渐减小的变加速运动，直到重力与弹簧弹力相等；重力与弹簧弹力相等后，小球再向下运动，则弹簧弹力将大于重力，合力方向变为竖直向上，且不断增大，小球将做加速度逐渐增大的变减速运动，直到速度为零，故从接触弹簧至到达最低点，小球的速度先增大后减小，加速度先减小后增大．故选项C正确，选项A、B、D错误．]
5．(新情景题)情境：火箭起源于中国，是我国古代的重大发明之一．我国从“长征一号”到“长征四号”的发射成功，已经形成“通用化、系列化、组合化”的新一代运载火箭系列．在航天技术中，火箭是把航天器送入太空的运载工具之一．在航天器发射的初始阶段，火箭通过燃烧消耗燃料向后吐着长长的“火舌”，推动着航天器竖直上升．设“火舌”产生的推动力大小保持不变且不计空气阻力．
问题：(1)则在这个过程中，航天器的加速度将如何变化？
(2)速度将如何变化？
[解析] (1)由于推力F和空气阻力f都不变，随着燃料的燃烧消耗，航天器质量减小，根据航天器所受合外力：
F合＝F－f－mg增大．
由牛顿第二定律可得：a＝，故加速度变大．
(2)对航天器，由运动学公式
v＝at
可知速度变大．
[答案] 见解析
9/11课后素养落实(十七) 牛顿第二定律
(建议用时：25分钟)
◎考点一 牛顿第二定律
1．关于牛顿第二定律，以下说法中正确的是 ( )
A．由牛顿第二定律可知，加速度大的物体，所受的合外力一定大
B．牛顿第二定律说明了，质量大的物体，其加速度一定小
C．由F＝ma可知，物体所受到的合外力与物体的质量成正比
D．对同一物体而言，物体的加速度与物体所受到的合外力成正比，而且在任何情况下，加速度的方向始终与物体所受的合外力方向一致
D [由F＝ma知，只有当m一定时，a与F成正比，故选项A错误；同理当F一定时，m越大，a越小，故选项B错误；物体所受的合外力与其质量无关，故选项C错误；由牛顿第二定律内容知选项D正确．]
2．(多选)在牛顿第二定律的数学表达式F＝kma中，有关比例系数k的说法，正确的是( )
A．k的数值由F、m、a的数值决定
B．k的数值由F、m、a的单位决定
C．在国际单位制中k＝1
D．在任何情况下k都等于1
BC [物理公式在确定物理量之间的数量关系的同时也确定了物理量的单位关系．在F＝kma中，只有m的单位取kg，a的单位取m/s2，F的单位取N时，k才等于1.即在国际单位制中k＝1，故B、C正确．]
3．根据牛顿第二定律，下列叙述正确的是( )
A．物体加速度的大小跟它的质量和速度大小的乘积成反比
B．物体所受合外力必须达到一定值时，才能使物体产生加速度
C．物体加速度的大小跟它所受作用力中的任何一个力的大小成正比
D．当物体的质量改变但其所受合力的水平分力不变时，物体的水平加速度的大小与其质量成反比
D [根据牛顿第二定律得知，当物体受力不变时，物体加速度的大小跟质量成反比，与速度无关，选项A错误；力是产生加速度的原因，加速度与力成正比，只要有力，就会产生加速度，选项B错误；物体加速度的大小跟物体所受的合外力成正比，而不是跟它所受作用力中的任何一个力的大小成正比，选项C错误；当物体的质量改变但其所受合力的水平分力不变时，根据牛顿第二定律可知，物体水平加速度的大小与其质量成反比，选项D正确．]
4.如图所示，在光滑的水平桌面上，有一个静止的物体，给物体施以水平作用力，在力作用到物体上的瞬间，则( )
A．物体同时具有加速度和速度
B．物体立即获得加速度，速度仍为零
C．物体立即获得速度，加速度仍为零
D．物体的速度和加速度均为零
B [由牛顿第二定律的瞬时性可知，合外力和加速度是瞬时对应关系，二者同时产生，同时变化，同时消失，所以当外力作用在物体上的瞬间，物体立即获得加速度；速度与加速度的关系可表示为v＝at，可以看出，速度是加速度在时间上的积累，外力作用在物体上的瞬间t＝0，所以速度为零，故B正确．]
◎考点二 牛顿第二定律的简单应用
5.如图所示，质量为m＝10 kg的物体在水平面上向左运动，物体与水平面间动摩擦因数为0.2.与此同时物体受到一个水平向右的推力F＝20 N的作用，则物体产生的加速度是( )
A．0 B．4 m/s2，水平向右
C．2 m/s2，水平向左 D．2 m/s2，水平向右
B [取向右为正方向，由牛顿第二定律得F＋f＝ma，而f＝μmg，解得a＝＝4 m/s2，故物体的加速度大小是4 m/s2，方向向右，B正确．]
6.(多选)一质点在外力作用下做直线运动，其速度v随时间t变化的图像如图所示．在题图中标出的时刻中，质点所受合外力的方向与速度方向相同的有( )
A．t1 B．t2
C．t3 D．t4
AC [已知质点在外力作用下做直线运动，根据它的速度—时间图像可知，在图中标出的t1时刻所在的过程中，质点的速度越来越大，但斜率越来越小，说明质点做加速度越来越小的变加速直线运动，因此t1时刻质点所受合外力的方向与速度方向相同，A选项正确；在图中标出的t2时刻所在的过程中，质点在做匀减速直线运动，因此质点所受合外力方向与速度方向相反，B选项错误；在图中标出的t3时刻所在的过程中，质点在做反向的匀加速直线运动，所以t3时刻质点所受合外力的方向与速度方向也相同，C选项正确；同理t4时刻所在的过程中，质点在做反向变减速直线运动，因此合外力的方向与速度的方向相反，D选项错误．]
7.一个物体沿平直道路行驶，如图所示，近似描写了物体在0时刻到40 s这段时间运动的v t图像．这物体所受合力为零的时间为( )
A．10 s B．20 s
C．30 s D．40 s
B [在10～30 s内，物体做匀速直线运动，合力为零，所以这物体所受合力为零的时间为20 s.
A．10 s，与结论不相符，选项A错误；
B．20 s，与结论相符，选项B正确；
C．30 s，与结论不相符，选项C错误；
D．40 s，与结论不相符，选项D错误．]
8．趣味运动会上运动员手持网球拍托球沿水平面匀加速跑，设球拍和球质量分别为M、m，球拍平面和水平面之间夹角为θ，球拍与球保持相对静止，它们间摩擦力及空气阻力不计，则( )
A．运动员的加速度为gtan θ
B．球拍对球的作用力为mg
C．运动员对球拍的作用力为(M＋m)gcos θ
D．若加速度大于gsin θ，球一定沿球拍向上运动
A [网球受力如图甲所示，根据牛顿第二定律得Nsin θ＝ma，又Ncos θ＝mg，解得a＝gtan θ，N＝，故A正确，B错误；以球拍和球整体为研究对象，受力如图乙所示，根据平衡，运动员对球拍的作用力为F＝，故C错误；当a>gtan θ时，网球才向上运动，由于gsin θ甲 乙]
9.如图所示，物块m放在斜面体上处于静止，现用力拉着斜面体使之水平向右加速运动的过程中，加速度a逐渐增大，物块m仍相对斜面静止，则物块所受支持力N和摩擦力f的大小变化情况是( )
A．N增大，f减小 B．N增大，f增大
C．N减小，f不变 D．N减小，f增大
D [物块m受力情况如图所示，将N、f正交分解，并由牛顿第二定律得：
fcos θ－Nsin θ＝ma
fsin θ＋Ncos θ＝mg
即f＝mgsin θ＋macos θ
N＝mgcos θ－masin θ.
所以，当加速度a逐渐增大时，N减小，f增大，D正确．]
(建议用时：15分钟)
10．(多选)物体在力F作用下运动，F的方向与物体运动方向一致，其F t图像如图所示，则物体 ( )
A．在t1时刻加速度最大
B．在0～t1时间内做匀加速运动
C．从t1时刻后便开始返回运动
D．在0～t2时间内，速度一直在增大
AD [根据牛顿第二定律得，质量一定时，力越大，加速度越大，由图像可知0～t1时间内力F逐渐增大，t1时刻力F最大，加速度最大，所以物体做加速度逐渐增大的变加速运动，A正确，B错误；t1时刻后力F开始减小，但方向未发生变化，所以物体继续向前加速运动，C错误，D正确．]
11.如图所示，一倾角为α的光滑斜面向右做匀加速运动，物体A相对于斜面静止，则斜面运动的加速度为( )
A．gsin α B．gcos α
C．gtan α D．
C [物体随斜面体一起沿水平方向运动，则加速度一定在水平方向，物体受到重力和垂直斜面向上的支持力，两者合力方向一定水平向右，如图所示．
由牛顿第二定律得mgtan α＝ma，则a＝gtan α，选项C正确，A、B、D错误．]
12．如图所示，一质量为1 kg的小球套在一根固定的足够长的直杆上，小球与杆间的动摩擦因数μ＝0.5，直杆与水平面夹角θ为37°.现小球在竖直向上的拉力F＝15 N 作用下从A点由静止出发沿杆向上运动；g取10 m/s2，试求小球的加速度的大小．(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
[解析] 对小球受力分析：
Fcos 37°＝N＋mgcos 37°
Fsin 37°－mgsin 37°－f＝ma
f＝μN
解得a＝1 m/s2.
[答案] 1 m/s2
13．质量为m的铁块静止在水平面上，在铁块上施加竖直向上的恒力F＝2mg，恒力F作用时间t时突然反向，铁块再运动一段时间后返回地面．已知重力加速度为g，求：
(1)恒力F反向后，铁块返回地面的时间；
(2)铁块上升的最大高度．
[解析] (1)施加恒力F时，根据牛顿第二定律有：F－mg＝ma
根据运动学公式有：
v＝at
x1＝at2
恒力F反向后，根据牛顿第二定律有F＋mg＝ma′
根据运动学公式有－x1＝vt′－a′t′2
联立解得t′＝t.
(2)恒力F反向后，铁块沿竖直方向向上运动的最大距离为x2，根据运动学公式有
0－v2＝2(－a′)x2
则铁块上升的最大高度为
h＝x1＋x2
联立解得
h＝gt2.
[答案] (1)恒力F反向后，铁块返回地面的时间为t
(2)铁块上升的最大高度为gt2
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