2．匀变速直线运动速度与时间的关系
学习目标：1.[物理观念]理解匀变速直线运动的v t图像特点 2.[科学思维]掌握匀变速直线运动的速度公式，并会用公式解决简单的匀变速直线运动的问题．
一、匀变速直线运动的速度与时间的关系式
1．速度公式：v＝v0＋at.
2．对公式的理解：做匀变速直线运动的物体，在t时刻的速度v等于物体在开始时刻的初速度加上在整个过程中速度的变化量at.
二、匀变速直线运动的v t图像
1．匀变速直线运动的v t图像
公式vt＝v0＋at表示了匀变速直线运动速度vt是时间t的一次函数，对应的v t图像是一条倾斜直线(或“斜线”)．
2．斜率的含义
v t图像的斜率表示加速度的大小和方向．
(1)匀加速直线运动：Δv>0，a＝>0，a与v0同向(填“同向”或“反向”)，如图甲所示．
(2)匀减速直线运动：Δv<0，a＝<0，a与v0反向(填“同向”或“反向”)，如图乙所示．
甲 乙
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在匀变速直线运动中，由公式vt＝v0＋at可知，初速度相同，加速度a越大，则v越大． (×)
(2)匀变速直线运动的v t图像是一条倾斜直线． (√)
(3)v t图像的斜率为负值时，物体一定做匀减速直线运动． (×)
(4)在匀变速直线运动中，由公式v＝v0＋at可知，经过相同时间t，v0越大，则v越大． (×)
2．(多选)在公式v＝v0＋at中，涉及四个物理量，除时间t是标量外，其余三个v、v0、a都是矢量．在直线运动中这三个矢量的方向都在同一条直线上，当取其中一个量的方向为正方向时，其他两个量的方向与其相同的取正值，与其相反的取负值，若取初速度方向为正方向，则下列说法正确的是( )
A．匀加速直线运动中，加速度a取负值
B．匀加速直线运动中，加速度a取正值
C．匀减速直线运动中，加速度a取负值
D．无论匀加速直线运动还是匀减速直线运动，加速度a均取正值
BC [若取初速度方向为正方向，加速度为正值，表示初速度方向和加速度方向相同，物体加速，若物体加速度为负值，物体减速，故B、C正确．]
3．一质点做直线运动，速度vt＝5＋0.3t(m/s)，则质点的初速度为________m/s，加速度为________m/s2，3 s末的速度为________m/s.
[答案] 5 0.3 5.9
匀变速直线运动速度与时间关系式的理解
设一个物体做匀变速直线运动，运动开始时刻(t＝0)的速度为v0(初速度)，加速度为a，请根据加速度公式，求t时刻物体的瞬时速度．
提示：a＝＝ vt＝v0＋at
1．公式的矢量性
(1)公式中的v0、vt、a均为矢量，应用公式解题时，首先要规定正方向，一般取v0的方向为正方向，a、vt与v0的方向相同时取正值，与v0的方向相反时取负值．计算时将各量的数值和正负号一并代入计算．
(2)a与v0同向时物体做匀加速直线运动，a与v0方向相反时，物体做匀减速直线运动．
2．公式的适用条件
公式vt＝v0＋at只适用于匀变速直线运动．
3．公式的特殊形式
(1)当a＝0时，vt＝v0(匀速直线运动)．
(2)当v0＝0时，vt＝at(由静止开始的匀加速直线运动)．
4．速度公式vt＝v0＋at与加速度定义式a＝的比较
速度公式vt＝v0＋at虽然是加速度定义式a＝的变形，但两式的适用条件是不同的：
(1)vt＝v0＋at仅适用于匀变速直线运动；
(2)a＝可适用于任意的运动，包括直线运动和曲线运动．
5．匀变速直线运动：veq \s\do8()＝.
中间时刻的瞬时速度等于始末速度和的一半．
【例1】 在平直公路上，一辆汽车以108 km/h的速度行驶，司机发现前方有危险立即刹车，刹车时加速度大小为6 m/s2，求：
(1)刹车后3 s末汽车的速度大小；
(2)刹车后6 s末汽车的速度大小．
思路点拨：①汽车刹车至速度减为零后将停止运动．
②判断汽车在3 s末、6 s末是否停止运动．
[解析] 汽车行驶速度v0＝108 km/h＝30 m/s，规定v0的方向为正方向，则a＝－6 m/s2
汽车刹车所用的总时间
t0＝＝ s＝5 s.
(1)t1＝3 s时的速度
v1＝v0＋at1＝30 m/s－6×3 m/s＝12 m/s.
(2)由于t0＝5 s[答案] (1)12 m/s (2)0
上例中，若司机前方有下坡，汽车以6 m/s2的加速度加速，则经3 s末汽车的速度大小？
[提示] 由vt＝v0＋at得
v＝30 m/s＋6×3 m/s＝48 m/s.
刹车问题的求解方法
(1)先求出刹车时间t刹＝.(a＜0)
(2)若t＞t刹，车已停止，v＝0；若t＜t刹，再利用vt＝v0＋at计算，求末速度v.
[跟进训练]
1．一物体从静止开始以2 m/s2的加速度做匀加速直线运动，经5 s后做匀速直线运动，最后2 s的时间内物体做匀减速直线运动直至静止．求：
(1)物体做匀速直线运动的速度的大小；
(2)物体做匀减速直线运动时的加速度．
[解析] 解题关键是画出如下的示意图：
设图中A→B做匀加速直线运动，B→C做匀速直线运动，C→D做匀减速直线运动，匀速运动的速度为AB段的末速度，也为CD段的初速度．
(1)由速度与时间的关系式得
vB＝a1t1＝2×5 m/s＝10 m/s
vC＝vB＝10 m/s
即做匀速直线运动的速度为10 m/s.
(2)由vD＝vC＋a2t2得
a2＝＝ m/s2＝－5 m/s2
负号表示加速度方向与运动方向相反．
[答案] (1)10 m/s (2)－5 m/s2，加速度方向与运动方向相反
匀变速直线运动与v t图像的理解应用
2018年10月29日，我国针对运载火箭垂直回收项目进行了一次技术验证，只见一枚火箭升空后，又稳稳地垂直落回目标地点，圆满完成了此次技术验证．
讨论：假如火箭在点火升空时做匀加速直线运动，则其v t图像有什么样的特点？
提示：是一条过原点的倾斜直线．
1．v t图像的应用
通过v t图像，可以明确以下信息：
图线上某点的纵坐标 正负号 表示瞬时速度的方向
绝对值 表示瞬时速度的大小
图线的斜率 正负号 表示加速度的方向
绝对值 表示加速度的大小
图线与坐标轴的交点 纵截距 表示初速度
横截距 表示开始运动或速度为零的时刻
图线的拐点 表示运动性质、加速度改变的时刻
两图线的交点 表示速度相等的时刻
图线与横轴所围图形的面积 表示位移，面积在横轴上方位移为正值，在横轴下方位移为负值
特别提醒：(1)v t图像只能描述直线运动，不能描述曲线运动．
(2)v t图像描述的是物体的速度随时间的运动规律，并不表示物体的运动轨迹．
2．非匀变速直线运动的v t图像
非匀变速直线运动的v t图像是一条曲线，如图所示．
甲 乙
甲图中，在相等的时间Δt内Δv2>Δv1，加速度增大；乙图中，在相等的时间Δt内Δv2<Δv1，加速度减小．即v t图像为曲线时，物体的加速度是变化的，曲线上某点的切线斜率等于该时刻物体的加速度．
【例2】 如图所示，是A、B两物体做匀变速直线运动的速度—时间图像．问：
(1)A、B各做什么运动？其加速度是多少？
(2)两图线的交点有什么意义？
(3)1 s末A、B的速度各是多少？
(4)5 s末A、B的速度各是多少？
思路点拨：v t图线
[解析] (1)A物体沿规定的正方向做匀加速直线运动，加速度大小a1＝＝ m/s2＝1 m/s2，方向与规定的正方向相同；B物体前4 s沿规定的正方向做匀减速直线运动，4 s后沿反方向做匀加速直线运动，其加速度a2＝＝ m/s2＝－2 m/s2，负号表示方向与规定的正方向相反．
(2)图像交点表示二者的速度相等．
(3)1 s末vA＝v0＋a1t1＝(2＋1×1)m/s＝3 m/s，vB＝v0′＋a2t1＝(8－2×1)m/s＝6 m/s，方向都与规定的正方向相同．
(4)5 s末vA′＝v0＋a1t2＝(2＋1×5)m/s＝7 m/s，vB＝v0′＋a2t2＝(8－2×5)m/s＝－2 m/s，A的方向与规定的正方向相同，B的方向与规定的正方向相反．
[答案] 见解析
应用v t图像的三点注意事项
(1)正确认识v t图像，从图像中读出需要的信息是解题关键，其中图线斜率k＞0，加速度为正；图线斜率k＜0，加速度为负．
(2)物体的速度变为负值，表示物体运动方向发生了变化，负号不表示速度的大小．
(3)v t图线为直线且跨过t轴，可分段分析也可全程分析；v t图线是折线一般采用分段分析．
[跟进训练]
2．(多选)甲、乙、丙是三个在同一直线上运动的物体，它们的运动的v t图像如图所示，下列说法正确的是( )
A．丙与甲的运动方向相反
B．丙与乙的运动方向相同
C．乙的加速度的大小大于甲的加速度的大小
D．丙的加速度的大小小于乙的加速度的大小
BC [甲、乙、丙三个物体的速度均为正值，运动方向相同，选项A错误，B正确．根据速度—时间图像斜率的绝对值表示加速度的大小，乙的加速度的大小大于甲的加速度的大小，丙的加速度的大小大于乙的加速度的大小，选项C正确，D错误．]
1．物理观念：速度与时间的关系式vt＝v0＋at，匀变速直线运动v t图像的特点．
2．科学思维：应用vt＝v0＋at和v t图像解决匀变速直线运动问题．
1．一辆匀加速行驶的汽车，经过路旁两根电线杆共用5 s时间，汽车的加速度为2 m/s2，它经过第2根电线杆时的速度为15 m/s，则汽车经过第1根电线杆的速度为( )
A．2 m/s B．10 m/s
C．2.5 m/s D．5 m/s
D [由题意知vt＝15 m/s，a＝2 m/s2，t＝5 s，根据vt＝v0＋at得，v0＝vt－at＝(15－2×5)m/s＝5 m/s，故选D.]
2．歼 20飞机在第11届中国国际航空航天博览会上进行飞行展示，这是中国自主研制的新一代隐身战斗机首次公开亮相．在某次短距离起飞过程中，战机只用了10 s就从静止加速到起飞速度288 km/h，假设战机在起飞过程中做匀加速直线运动，则它的加速度大小为( )
A．28.8 m/s2 B．10 m/s2
C．8 m/s2 D．2 m/s2
C [飞机末速度v＝288 km/h＝80 m/s，飞机做初速度为零的匀加速直线运动，根据公式vt＝v0＋at可知vt＝at，即a＝＝ m/s2＝8 m/s2，选项C正确．]
3．如图所示是几个质点的运动图像，其中是做匀变速直线运动的是( )
甲 乙 丙 丁
A．甲、乙、丙 B．甲、乙、丁
C．甲、丙、丁 D．乙
C [匀变速直线运动的速度—时间图像为倾斜直线，故所给图中甲、丙、丁表示质点做匀变速直线运动，选项C正确．]
4．一列火车匀减速进站，停靠一段时间后又匀加速(同方向)出站．在如图所示的四个v t图像中，正确描述了火车运动情况的是( )
A B C D
B [进站速度均匀减小，出站速度均匀增大，故A、D错误；进站、出站火车的运动方向相同，故B正确，C错误．]
5．(新情境题)某品牌汽车尾部标识有30TFSI、35TFSI、40TFSI等字样．前面数字叫G值，用来表现车型的整体加速度感．数字越大，加速越快，G值的大小为车辆从静止开始加速到100 km/h的平均加速度数值(其单位为国际基本单位)再乘10，若某品牌汽车尾部标有45TFSI字样．
问题：此汽车百公里加速时间是多少？
[解析] 完成百公里加速的G值为G＝×10，解得t＝6.2 s.
[答案] 6.2 s
8/9课后素养落实(六) 匀变速直线运动速度与时间的关系
(建议用时：25分钟)
◎考点一 匀变速直线运动速度与时间关系式的理解
1．高速列车从静止开始做匀加速直线运动，20 s末的速度是30 m/s，列车加速度的大小是 ( )
A．1.5 m/s2 B．2 m/s2
C．3 m/s2 D．6 m/s2
A [由vt＝v0＋at可得，a＝ m/s2＝1.5 m/s2.故A正确．]
2．对于匀变速直线运动的速度与时间关系式vt＝v0＋at，以下理解正确的是( )
A．v0是时间t开始的速度，vt是时间t内的平均速度
B．vt一定大于v0
C．at是速度的变化量
D．a与匀变速直线运动的v t图像的倾斜程度无关
C [v0、vt都是瞬时速度，at是速度的变化量，A错误，C正确；在匀加速直线运动中vt>v0，在匀减速直线运动中vt3．(多选)跳伞运动员做低空跳伞表演，当飞机在离地某一足够高的高度静止时，运动员离开飞机下落，运动一段时间后打开降落伞，展伞后运动员以大小为4 m/s2的加速度匀减速下降，直至安全着地．则运动员打开降落伞运动1 s后至着地前的任1 s内 ( )
A．运动员的末速度比前1 s的末速度小4 m/s
B．运动员的末速度比前1 s的末速度小8 m/s
C．运动员的末速度比前1 s的初速度小4 m/s
D．运动员的末速度比前1 s的初速度小8 m/s
AD [根据匀变速直线运动的速度公式vt＝v0＋at知运动员在任1 s的末速度比前1 s的末速度小4 m/s，比前1 s的初速度小8 m/s，故A、D正确．]
4．一辆以12 m/s的速度沿平直公路行驶的汽车，因发现前方有险情而紧急刹车，刹车后获得大小为4 m/s2的加速度，汽车刹车后5 s末的速度为 ( )
A．8 m/s B．－8 m/s
C．0 D．32 m/s
C [汽车匀减速减到停止的时间t＝＝ s＝3 s<5 s，故5 s末速度为0，C正确．]
◎考点二 匀变速直线运动与v t图像的理解和应用
5．某物体沿直线运动，其v t图像如图所示，下列说法正确的是( )
A．第1 s内和第2 s内物体的速度方向相反
B．第1 s内和第2 s内物体的加速度方向相反
C．第3 s内物体的速度方向和加速度方向相反
D．第2 s末物体的加速度为零
B [第1 s内、第2 s内纵坐标为正，速度均为正向，A错误；根据斜率的正、负，第1 s内加速度为正向，第2 s内加速度为负向，B正确；第3 s内速度为负向，加速度为负向，C错误；第2 s末物体的加速度为－2 m/s2，D错误．]
6．一个做匀变速直线运动的质点的v t图像如图所示，由图线可知其速度与时间的关系为 ( )
A．vt＝(4＋2t)m/s
B．vt＝(－4＋2t)m/s
C．vt＝(－4－2t)m/s
D．vt＝(4－2t)m/s
B [由图像知v0＝－4 m/s；据a＝知a＝ m/s2＝2 m/s2故其速度与时间的关系为vt＝(－4＋2t)m/s，选项B正确．]
7．(多选)物体沿水平直线运动，从A点开始计时，取向右的方向为运动的正方向，其v t图像如图所示，则物体在最初的4 s内( )
A．前2 s内物体做匀减速直线运动
B．前2 s内物体向左运动，后2 s内物体向右运动
C．t＝2 s时刻，物体与A点距离最远
D．t＝4 s时刻，物体与A点距离最远
ABC [由题图可知，物体前2 s内向左做匀减速直线运动，后2 s内向右做匀加速直线运动，2 s末物体与A点距离最远，故A、B、C正确，D错误．]
8．一辆汽车在平直的公路上从静止开始运动，先后经历匀加速、匀速、匀减速直线运动，最后停止．从汽车启动开始计时，下表记录了汽车某些时刻的瞬时速度，根据数据可判断出汽车运动的v t图像是( )
时刻/s 1.0 2.0 3.0 5.0 7.0 9.5 10.5
速度/ (m/s) 3.0 6.0 9.0 12 12 9.0 3.0
C [匀加速运动过程中，加速度为a1＝＝ m/s2＝3 m/s2，匀加速运动的末速度等于匀速运动的速度，由表格读出末速度大小为v＝12 m/s，则此过程经历时间为t1＝＝ s＝4 s；匀减速运动过程中，加速度为a2＝＝ m/s2＝－6 m/s2，匀减速运动的初速度等于匀速运动的速度，初速度大小为v＝12 m/s，则此过程经历时间为t2＝＝ s＝2 s；故C正确．]
9．如图是某物体做直线运动的v t 图像，由图像可知 ( )
A．物体在0～2 s内做匀速直线运动
B．物体在2～8 s内静止
C．物体在4 s末的速度为10 m/s
D．物体在6 s末的速度为12 m/s
D [物体在0～2 s内速度随时间均匀增大，做匀加速直线运动，故A错误；物体在2～8 s内速度随时间不变，做匀速直线运动，故B错误；从图像知，物体在4 s末和6 s末的速度都为12 m/s，故C错误，D正确．]
(建议用时：15分钟)
10．一物体做直线运动，其加速度随时间变化的a t图像如图所示．下列v t图像中，可能正确描述此物体运动的是 ( )
D [解答本题的突破口是T～2T时间内的加速度跟0～时间内的加速度大小相等，方向相反，从而排除选项A、B、C，故D正确．]
11．一物体做匀变速直线运动，初速度大小为15 m/s，方向向东，第5 s末的速度大小为10 m/s，方向向西，则物体开始向西运动的时刻为( )
A．第2 s末 B．第3 s末
C．第5 s末 D．第6 s末
B [规定初速度的方向为正方向，物体的加速度为a＝＝ m/s2＝－5 m/s2，则物体速度减为零的时间为t′＝＝ s＝3 s，可知物体开始向西运动的时刻为第3 s末．故B正确．]
12．一辆车由静止开始做匀加速直线运动，在第8 s末开始刹车，经4 s停下来，汽车刹车过程也在做匀变速直线运动，那么前后两段加速度的大小之比是多少？
[解析] 设加速阶段加速度为a1，减速阶段加速度大小为a2，由题意知：加速阶段v＝a1t1＝8a1 ①
减速阶段0＝v－a2t2即v＝4a2 ②
联立①②得：＝.
[答案] 1∶2
13．如图所示，小球以v0＝6 m/s的速度从中间滑上光滑且足够长的斜面，已知小球在斜面上运动时的加速度大小为2 m/s2，问小球速度大小为3 m/s时需多少时间．(小球在光滑斜面上运动时，加速度大小、方向不变)
[解析] 小球先减速上升到最高点后再反向匀加速直线运动，整个过程是一个匀变速直线运动．
规定沿斜面向上的方向为正，a＝－2 m/s2.
若上升阶段速度变为3 m/s时，v1＝v0＋at1，取v1＝3 m/s，得t1＝1.5 s；
若下滑阶段速度为3 m/s时，v2＝v0＋at2，取v2＝－3 m/s，得t2＝4.5 s.
[答案] 1.5 s或4.5 s
14．发射卫星一般应用多级火箭，第一级火箭点火后，使卫星向上匀加速直线运动的加速度为50 m/s2，燃烧30 s 后第一级脱离；第二级火箭没有马上点火，所以卫星向上做加速度大小为10 m/s2的匀减速直线运动，10 s后第二级火箭启动，卫星向上匀加速直线运动的加速度为80 m/s2，这样再经过1分半钟第二级火箭脱离时，卫星的速度多大？
[解析] 整个过程中卫星的运动可以分为三个匀变速直线运动处理．
第一级火箭脱离时卫星的速度v1＝a1t1＝50×30 m/s＝1 500 m/s，减速上升10 s后的速度v2＝v1－a2t2＝(1 500－10×10)m/s＝1 400 m/s，第二级火箭脱离时卫星的速度v3＝v2＋a3t3＝(1 400＋80×90)m/s＝8 600 m/s.
[答案] 8 600 m/s
1/6
