3．匀变速直线运动位移与时间的关系
学习目标：1.[物理观念]知道v t图像中“面积”与位移的对应关系． 2.[物理观念]理解位移与时间的关系式的意义． 3.[科学思维]掌握三个平均速度公式及其适用条件，会用平均速度求解相关问题． 4.[科学思维]会推导位移差公式Δx＝aT2，会用它解决相关问题．
一、匀速直线运动的位移
1．位移公式：Δx＝vt.
2．v t图像特点
(1)平行于横轴的直线．
(2)位移Δx就对应着那段图像与两个坐标轴间所围成的矩形(即图中阴影区域)的“面积”．
二、匀变速直线运动的位移
1．位移在v t图像中的表示
(1)微元法推导
①将时间t分成若干等份，每一小段时间Δt，都是如图甲所示，每段位移＝每段起始时刻速度×每段的时间＝对应小矩形“面积”．所有这些小矩形合起来就是一个“阶梯形”的图形．
②如果将v t图像中的时间间隔划分的更小些，如图乙所示，所得的阶梯图形与原来的阶梯图形相比较，可以更精确地表示物体在整个过程的位移．
③极限情况下，即把时间分成无限多个小的间隔，如图丙所示，“台阶”形的折线就变成了一条直线，它与两个坐标轴所围成的图形的“面积”，就可以看作等于那个梯形的“面积”．梯形的“面积”在数值上就等于在时间t内的位移值．
甲 乙 丙
(2)结论：做匀变速直线运动的物体的位移对应着v t图像中的图线与对应的时间轴所包围的“面积”．
2．位移与时间的关系
x＝v0t＋at2.
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)位移公式x＝v0t＋at2仅适用于匀变速直线运动． (√)
(2)初速度越大，时间越长，匀变速直线运动物体的位移一定越大． (×)
(3)匀变速直线运动的位移与初速度、加速度、时间三个因素有关． (√)
(4)初速度越大，匀变速直线运动物体的位移一定越大． (×)
2．一物体由静止开始做匀变速直线运动，加速度为2 m/s2，则2 s末速度和位移分别为( )
A．4 m/s 4 m B．2 m/s 4 m
C．4 m/s 2 m D．2 m/s 2 m
A [物体初速度v0＝0，a＝2 m/s2，t＝2 s，
则v＝v0＋at＝0＋2×2 m/s＝4 m/s，
x＝v0t＋at2＝0＋×2×22 m＝4 m，故A正确．]
3．某质点做直线运动的位移随时间变化的关系是x＝4t＋2t 2，x与t的单位分别为m和s，则质点的初速度与加速度分别为( )
A．4 m/s与2 m/s2 B．0与4 m/s2
C．4 m/s与4 m/s2 D．4 m/s与0
C [对比x＝4t＋2t 2和位移公式x＝v0t＋at 2，可知其初速度v0＝4 m/s，2＝a，则加速度a＝4 m/s2，故C正确．]
匀变速直线运动的位移
在珠海航展上，歼 10B矢量推力验证机的出现，为研制垂直起降战斗机发动机铺平了道路．
讨论：如果歼 10B在垂直升空的过程中，做匀加速直线运动，其位移与运动时间的关系是什么？
提示：x＝v0t＋at2.
1．公式的适用条件：位移公式x＝v0t＋at2只适用于匀变速直线运动．
2．公式的矢量性：公式x＝v0t＋at2为矢量公式，其中x、v0、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，一般选v0的方向为正方向．通常有以下几种情况：
运动情况 取值
若物体做匀加速直线运动 a与v0同向，a取正值(v0方向为正方向)
若物体做匀减速直线运动 a与v0反向，a取负值(v0方向为正方向)
若位移的计算结果为正值 说明位移的方向与规定的正方向相同
若位移的计算结果为负值 说明位移的方向与规定的正方向相反
3.公式的两种特殊形式
(1)当a＝0时，x＝v0t(匀速直线运动)．
(2)当v0＝0时，x＝at2(由静止开始的匀加速直线运动)．
【例1】 一辆汽车正在平直的公路上以72 km/h的速度行驶，司机看见红色信号灯便立即踩下制动器，此后，汽车开始做匀减速直线运动．设汽车减速过程的加速度大小为5 m/s2，求：
(1)开始制动后，前2 s内汽车行驶的距离；
(2)开始制动后，前5 s内汽车行驶的距离．
思路点拨：①由vt＝v0＋at判断滑行的时间．
②由x＝v0t＋at2求x.
[解析] 汽车的初速度v0＝72 km/h＝20 m/s，末速度v＝0，加速度a＝－5 m/s2；汽车运动的总时间t＝＝ s＝4 s.
(1)因为t1＝2 s故x1＝v0t1＋at＝(20×2－×5×22)m＝30 m.
(2)因为t2＝5 s>t，所以汽车5 s时已停止运动
故x2＝v0t＋at2＝(20×4－×5×42)m＝40 m.
[答案] (1)30 m (2)40 m
处理刹车类问题的思路
(1)先确定刹车时间，若车辆从刹车到速度减到零所用的时间为T，则刹车时间为T＝.
(2)将题中所给出的已知时间t与T比较，若Tt，则在利用以上公式进行计算时，公式中的时间应为t.
[跟进训练]
1．物体做匀减速直线运动，初速度为10 m/s，加速度大小为1 m/s2，则物体在停止运动前1 s内的平均速度为 ( )
A．5.5 m/s B．5 m/s
C．1 m/s D．0.5 m/s
D [对于末速度为0的匀减速直线运动可采用逆向思维法处理，速度公式和位移公式变为v＝at、x＝at2.由题意知最后1 s内的位移x＝at2＝×1×12 m＝0.5 m；故物体停止运动前1 s内的平均速度＝＝m/s＝0.5 m/s，选项D正确．]
两个重要推论
1．平均速度
(1)三个平均速度公式及适用条件
①＝，适用于所有运动．
②＝，适用于匀变速直线运动．
③＝v，即一段时间内的平均速度，等于这段时间内中间时刻的瞬时速度，适用于匀变速直线运动．
(2)对＝v＝的推导
设物体的初速度为v0，做匀变速直线运动的加速度为a，t秒末的速度为vt.
由x＝v0t＋at 2得， ①
平均速度＝＝v0＋at. ②
由速度公式vt＝v0＋at知，当t′＝时，
v＝v0＋a ， ③
由②③得＝v. ④
又vt＝v＋a ， ⑤
由③④⑤解得v＝，所以＝v＝.
2．位移差公式Δx＝aT2
(1)匀变速直线运动中任意两个连续相等的时间间隔内的位移差相等．做匀变速直线运动的物体，如果在各个连续相等的时间T内的位移分别为xⅠ、xⅡ、xⅢ、…、xN，则Δx＝xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＝…＝aT 2.
(2)推导：x1＝v0T＋aT 2，x2＝v0·2T＋a·T 2，x3＝v0·3T＋aT 2…，
所以xⅠ＝x1＝v0T＋aT 2；
xⅡ＝x2－x1＝v0T＋aT 2；
xⅢ＝x3－x2＝v0T＋aT 2…，
故xⅡ－xⅠ＝aT 2，xⅢ－xⅡ＝aT 2…，
所以，Δx＝xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＝…＝aT 2.
(3)应用
①判断物体是否做匀变速直线运动
如果Δx＝xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＝…＝xN－xN－1＝aT2成立，则a为一恒量，说明物体做匀变速直线运动．
②求加速度
利用Δx＝aT2，可求得a＝.
【例2】 从车站开出的汽车，做匀加速直线运动，走了12 s时，发现还有乘客没上来，于是立即做匀减速运动至停车，共历时20 s，行进50 m，求其最大速度．
思路点拨：汽车先做初速度为零的匀加速直线运动，达到最大速度后，立即改做匀减速直线运动，中间的最大速度既是第一阶段的末速度，又是第二阶段的初速度．
[解析] 方法一：(基本公式法)设最大速度为vmax，由题意得x＝x1＋x2＝a1t＋vmaxt2－a2t，
t＝t1＋t2，vmax＝a1t1，0＝vmax－a2t2，
解得vmax＝＝ m/s＝5 m/s.
方法二：(平均速度法)由于汽车在前、后两阶段均做匀变速直线运动，故前、后两阶段的平均速度均为最大速度vmax的一半，即，＝＝
由x＝t得vmax＝＝5 m/s.
方法三：(图像法)作出运动全过程的v t图像如图所示，v t图像与t轴围成的三角形的面积与位移等值，故x＝，则vmax＝＝5 m/s.
[答案] 5 m/s
应用推论＝v＝解题时应注意
(1)推论＝v＝只适用于匀变速直线运动，且该等式为矢量式．
(2)该推论是求瞬时速度的常用方法．
(3)当v0＝0时，v＝；当v＝0时，v＝.
[跟进训练]
训练角度1 平均速度法
2．飞机在航空母舰上起飞时，在6 s的时间内从30 m/s的弹射速度加速到起飞速度50 m/s，求航空母舰飞行甲板的最小长度．
[解析] 飞机起飞过程的平均速度
＝＝ m/s＝40 m/s
飞行甲板的最小长度x＝ t＝40×6 m＝240 m.
[答案] 240 m
训练角度2 位移公式法
3．一辆公共汽车进站后开始刹车，做匀减速直线运动．开始刹车后的第1 s内和第2 s内位移大小依次为9 m和7 m，则刹车后6 s内的位移是 ( )
A．20 m B．24 m
C．25 m D．75 m
C [设汽车的初速度为v0，加速度为a.根据匀变速直线运动的推论Δx＝aT2得x2－x1＝aT2
得a＝＝ m/s2＝－2 m/s2.
根据第1 s内的位移x1＝v0t＋at2，代入数据得，9＝v0×1＋×(－2)×12，
解得v0＝10 m/s.
汽车刹车到停止所需的时间t0＝＝ s＝5 s.
则汽车刹车后6 s内的位移等于5 s内的位移，为x＝t0＝×5 m＝25 m．故C正确，A、B、D错误．]
1．物理观念：理解x＝v0t＋at2意义．
2．科学思维：＝＝v和Δx＝aT2推导与应用．
1．某质点的位移随时间的变化规律的关系是：x＝2t2－4t，x与t的单位分别为m和s，则质点的初速度与加速度分别为( )
A．2 m/s与－8 m/s2 B．－4 m/s与4 m/s2
C．0与4 m/s2 D．4 m/s与0
B [根据x＝v0t＋at2＝2t2－4t得，质点的初速度为－4 m/s，加速度为4 m/s2，故B正确，A、C、D错误．]
2．汽车以20 m/s的速度做匀速直线运动，刹车后的加速度大小为5 m/s2，那么开始刹车后2 s内与开始刹车后6 s内汽车通过的位移之比为( )
A．1∶1 B．1∶3
C．3∶4 D．4∶3
C [汽车从刹车到静止用时t刹＝＝ s＝4 s，
故刹车后2 s内汽车的位移x1＝v0t－at2＝(20×2－×5×22)m＝30 m
刹车后6 s内汽车的位移x2＝v0t刹－at＝(20×4－×5×42)m＝40 m，故x1∶x2＝3∶4，故A、B、D错误，C正确．]
3．(多选)物体从静止开始做匀加速直线运动，第3 s内通过的位移是3 m，则 ( )
A．前3 s的位移是6 m
B．3 s末的速度是3.6 m/s
C．3 s内的平均速度是2 m/s
D．第5 s内的平均速度是5.4 m/s
BD [由位移公式x＝at2知，第3 s内的位移为a×32 m－a×22m＝3 m，故加速度a＝1.2 m/s2，所以前3 s 的位移x＝×1.2×32 m＝5.4 m，A错误；第3 s末的速度v＝at＝1.2×3 m/s＝3.6 m/s，B正确；3 s内的平均速度＝＝ m/s＝1.8 m/s，C错误；第5 s内的平均速度等于第4.5 s末的瞬时速度，故v′＝at′＝1.2×4.5 m/s＝5.4 m/s，D正确．]
4．一质点做匀加速直线运动，依次经过O、A、B、C四点，A、B间的距离为10 m，B、C间的距离为14 m，已知物体通过OA段、AB段、BC段所用的时间相等．则O与A的距离为 ( )
A．8 m B．6 m
C．4 m D．2 m
B [OA段、AB段、BC段所用时间相等，由Δx＝x2－x1＝x3－x2＝aT2得，xAB－xOA＝xBC－xAB即10 m－xOA＝14 m－10 m得xOA＝6 m，选项B正确．]
5．(新情境题)如表是济青高铁济南东至青岛北的两个车次，根据列车时刻表请回答
表格一：
车站名称 车次 到点 开点 里程
济南东 G6903 始发站 07：50 0
邹平 G6903 08：06 08：09 51
淄博北 G6903 08：20 08：23 82
潍坊北 G6903 08：50 08：54 190
高密北 G6903 09：13 09：15 253
青岛北 G6903 09：18 终点站 329
表格二：
车站名称 车次 到点 开点 里程
济南东 G6901 始发站 07：25 0
章丘北 G6901 07：37 07：39 30
淄博北 G6901 07：54 07：56 82
青州市北 G6901 08：12 08：14 135
潍坊北 G6901 08：30 08：32 190
高密北 G6901 08：51 08：53 253
胶州北 G6901 09：05 09：07 281
青岛北 G6901 09：33 终点站 329
问题：
(1)G6903次从淄博北到潍坊北运行时间是多少分钟？
(2)G6901次从淄博北到潍坊北区间增加青州市北站多耗用的时间是几分钟？
(3)列车为了增加青州市北站停靠，需要匀减速、停靠、匀加速三个过程，请估算列车进站前后做匀变速运动的距离．
[解析] (1)G6903次从淄博北8：23开到潍坊北8：50，运行时间是27分钟．
(2)G6901次从淄博北7：56开到潍坊北8：30，运行时间是34分钟，结合(1)知增加青州市北站多耗用的时间是7分钟．
(3)停靠车站2分钟，减速加速5分钟，列车进站前后做匀变速运动的距离x＝·t＝12.75 km.
[答案] (1)27分钟 (2)7分钟 (3)12.75 km
9/11课后素养落实(七) 匀变速直线运动位移与时间的关系
(建议用时：25分钟)
◎考点一 匀变速直线运动的位移
1．一个物体由静止开始做匀加速直线运动，第1 s末的速度达到4 m/s，物体在第2 s内的位移是 ( )
A．6 m B．8 m C．4 m D．1.6 m
A [设加速度为a，由v＝at得a＝＝ m/s2＝4 m/s2，则第2 s内的位移x＝v0t＋at2＝(4×1＋×4×12)m＝6 m，选项A正确．]
2．一物体由静止开始做匀变速直线运动，在时间t内通过的位移为x，则它从出发开始经过4x的位移所用的时间为( )
A． B．
C．2t D．4t
C [由题意知x＝at2，设经过4x位移用时为t′则4x＝at′2，联立两个式子可得t′＝2t，故选项C正确．]
3．汽车以20 m/s的速度做匀速运动，某时刻关闭发动机而做匀减速运动，加速度大小为5 m/s2，则它关闭发动机后通过37.5 m所需时间为 ( )
A．3 s B．4 s
C．5 s D．6 s
A [由x＝v0t＋at2得37.5＝20t－×5×t2解得t1＝3 s或t2＝5 s，而刹车时间为t＝＝ s＝4 s，故t2＝5 s不对，选项A正确．]
4．(多选)由静止开始做匀加速直线运动的火车，在第10 s末的速度为2 m/s，下列叙述中正确的是 ( )
A．前10 s内通过的位移为10 m
B．每秒速度变化0.2 m/s
C．10 s内平均速度为1 m/s
D．第10 s内的位移为2 m
ABC [由vt＝at，得a＝0.2 m/s2，故前10 s内的位移x＝at2＝×0.2×102 m＝10 m，选项A、B正确；10 s内平均速度＝＝ m/s＝1 m/s，选项C正确；t＝10 s时，x10＝at2－a(t－1)2＝1.9 m，选项D错误．]
◎考点二 两个重要推论
5．一辆汽车做匀加速直线运动，经过路旁两棵相距50 m的树共用时间5 s，它经过第二棵树时的速度是15 m/s，则它经过第一棵树时的速度是 ( )
A．2 m/s B．10 m/s
C．5 m/s D．2.5 m/s
C [汽车的平均速度为＝＝ m/s＝10 m/s，因为＝，则汽车经过第一棵树时的速度为v1＝2－v2＝2×10 m/s－15 m/s＝5 m/s.故C正确，A、B、D错误. ]
6．甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶．在t＝0到t＝t1的时间内，它们的v t图像如图所示．在这段时间内( )
A．汽车甲的平均速度比乙大
B．汽车乙的平均速度等于
C．甲、乙两汽车的位移相同
D．汽车甲的加速度大小逐渐减小，汽车乙的加速度大小逐渐增大
A [根据v t图线下方的面积表示位移，可以看出汽车甲的位移x甲大于汽车乙的位移x乙，选项C错误；根据＝得，汽车甲的平均速度甲大于汽车乙的平均速度乙，选项A正确；汽车乙的位移x乙小于初速度为v2、末速度为v1的匀减速直线运动的位移x，即汽车乙的平均速度小于，选项B错误；根据v t图像的斜率的绝对值反映了加速度的大小，因此汽车甲、乙的加速度大小都逐渐减小，选项D错误．]
7．(多选)物体做匀变速直线运动，下列说法中正确的是( )
A．第1 s内速度的变化量小于第2 s内速度的变化量
B．第1 s内的位移小于第2 s内的位移
C．第1 s内速度的变化量等于第2 s内速度的变化量
D．相邻两段相等时间内位移之差等于一个恒量
CD [由v＝v0＋at可知，相同时间内速度的变化量相等，故A错误，C正确；匀加速直线运动相同时间内位移越来越大，匀减速直线运动反之，故B错误；由Δx＝aT2可知，D正确．]
8．(多选)一质点做匀加速直线运动，第3 s内的位移是2 m，第4 s内的位移是2.5 m，那么以下说法正确的是( )
A．第2 s内的位移是2.5 m
B．第3 s末的瞬时速度是2.25 m/s
C．前3 s的平均速度是 m/s
D．质点的加速度是0.5 m/s2
BD [由Δx＝aT2，得a＝＝ m/s2＝0.5 m/s2，x3－x2＝x4－x3，所以第2 s内的位移x2＝1.5 m，同理第1 s内的位移x1＝1 m，前3 s的平均速度＝＝＝1.5 m/s，A、C错误，D正确；第3 s末的速度等于第2～4 s内的平均速度，所以v3＝＝2.25 m/s，B正确．]
9.某次实验得到的一段纸带如图所示(电源频率为50 Hz)，若以每五次打点的时间作为时间单位，得到图示的5个计数点，各点到标号为0的计数点的距离已量出，分别是4 cm、10 cm、18 cm、28 cm，则小车的运动性质是________，当打点计时器打标号为1的计数点时速度v1＝________m/s，加速度a＝ ________m/s2.
[解析] 相邻计数点间时间间隔均为×5 s＝0.1 s；由于相邻两计数点间的位移差Δx＝2 cm＝恒量．故小车做匀加速直线运动；计数点1为0到2的中间时刻；由v＝＝得v1＝＝0.5 m/s；由Δx＝aT2得a＝m/s2＝2 m/s2
[答案] 匀加速直线运动 0.5 2
(建议用时：15分钟)
10．一滑块以某一速度从斜面底端滑到顶端时，其速度恰好减为零．已知运动中滑块加速度恒定．若设斜面全长为L，滑块通过最初L所需的时间为t，则滑块从斜面底端滑到顶端所用时间为( )
A.t B．(2＋)t
C．3t D．2t
B [利用“逆向思维法”把滑块的运动看成逆向的初速度为0的匀加速直线运动．
设前所需时间为t′，则＝at′2
全过程L＝a(t＋t′)2
解得t′＝(＋1)t
所以t总＝t′＋t＝(2＋)t，故B正确．]
11．两木块自左向右运动，现用高速摄影机在同一底片上多次曝光，记录下木块每次曝光时的位置，如图所示．连续两次曝光的时间间隔是相等的．由图可知，木块1做匀加速直线运动，木块2做匀速直线运动。则下列判断正确的是( )
A．在时刻t2以及时刻t5两木块速度相同
B．在时刻t3两木块速度相同
C．在时刻t3和时刻t4之间某瞬时两木块速度相同
D．在时刻t4和时刻t5之间某瞬时两木块速度相同
C [设每个小格为s，下面物体做匀速运动，上面物体做匀加速运动，t5时刻的速度等于t4－t6之间的平均速度， 由图可知，上面物体在这段时间内位移为11s；下面物体在两段时间内位移为8s；则这两个时刻的速度不相等，故A错误；下面的物体做匀速直线运动，运动的速度v＝；上面木块做匀加速直线运动，根据匀变速运动某段时间的平均速度等于中间时刻的瞬时速度，知t3时刻上面木块的速度v3＝.t4时刻上面木块的速度v4＝，则在时刻t3和时刻t4之间某瞬时两木块速度相同．故C正确，B、D错误．]
12．(多选)一辆汽车从静止开始由甲地出发，沿平直公路开往乙地，汽车先做匀加速直线运动，接着做匀减速直线运动，开到乙地刚好停止，其速度—时间图像如图所示，那么0～t和t～3t两段时间内 ( )
A．加速度大小之比为3∶1
B．位移大小之比为1∶2
C．平均速度大小之比为2∶1
D．平均速度大小之比为1∶1
BD [在v t图中图像的斜率表示加速度，由图知两段时间内加速度为2∶1，选项A错误；图像与t轴围成的面积表示位移大小，由图知位移比为1∶2，选项B正确；＝，故两段时间内平均速度相等，选项D正确．]
13．一物体做匀变速直线运动，在连续相等的两个时间间隔内，通过的位移分别是24 m和64 m，每一个时间间隔为4 s，求物体的初速度大小和末速度大小及加速度大小．
[解析] 方法一：基本公式法
x1＝vAT＋aT2
x2＝vA·2T＋a(2T)2－
vC＝vA＋a·2T
将x1＝24 m，x2＝64 m，T＝4 s代入以上三式，解得
a＝2.5 m/s2，vA＝1 m/s，vC＝21 m/s.
方法二：平均速度公式法
连续两段时间T内的平均速度分别为：
＝＝ m/s＝6 m/s，
＝＝ m/s＝16 m/s.
且＝，＝，
由于B是A、C的中间时刻，则
vB＝＝＝ m/s＝11 m/s.
解得vA＝1 m/s，vC＝21 m/s.
其加速度为：a＝＝ m/s2＝2.5 m/s2.
方法三：位移差法
由Δx＝aT2可得
a＝＝ m/s2＝2.5 m/s2 ①
又x1＝vAT＋aT2 ②
vC＝vA＋a·2T ③
由①②③式解得：vA＝1 m/s，vC＝21 m/s.
[答案] 1 m/s 21 m/s 2.5 m/s2
1
