4.匀变速直线运动规律的应用
学习目标：1.[物理观念]理解匀变速直线运动的位移与速度的关系． 2.[科学思维]了解匀变速直线运动的位移与速度关系的推导方法． 3.[科学思维]掌握匀变速直线运动的位移、速度、加速度和时间之间的相互关系，会用公式解决匀变速直线运动的问题．
一、位移与速度的关系
1．公式：v－v＝2ax；若v0＝0，则v＝2ax.
2．推导：速度公式vt＝v0＋at，位移公式x＝v0t＋at2
由以上两式可得：v－v＝2ax.
二、匀变速直线运动的推论
中间位置的瞬时速度
1．公式：v＝.
2．推导：在匀变速直线运动中，某段位移x的初、末速度分别是v0和vt，加速度为a，中间位置的速度为v，则根据速度与位移关系式，对前一半位移：v－v＝2a·，对后一半位移v－v＝2a·，即v－v＝v－v，所以v＝.
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)公式v－v＝2ax适用于所有的直线运动． (×)
(2)公式v－v＝2ax中的四个物理量都是矢量，各量的正、负表示与规定的正方向相同还是相反． (√)
(3)因为v－v＝2ax，则v＝v＋2ax，所以物体的末速度vt一定大于初速度v0. (×)
(4)只有初速度为零的匀加速直线运动，v>v的关系才是成立的. (×)
2．物体从长为L的光滑斜面顶端由静止开始下滑，滑到底端时的速率为v，如果物体以v0＝的初速度从斜面底端沿斜面上滑，上滑时的加速度与下滑时的加速度大小相同，则可以达到的最大距离为( )
A． B． C． D．L
C [对于下滑阶段有：v2＝2aL，
对于上滑阶段：0－＝－2ax，
联立解得x＝，A、B、D错误，C正确．]
速度与位移的关系
提示：由v2－v＝2ax得x＝＝3240 m.
1．对公式v－v＝2ax的理解
(1)适用条件：公式表述的是匀变速直线运动的速度与位移的关系，适用于匀变速直线运动．
(2)公式的矢量性：公式中v0、vt、a、x都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，一般选v0方向为正方向．
①物体做加速运动时，a取正值，做减速运动时，a取负值．
②x>0，说明物体位移的方向与初速度方向相同；x<0，说明物体位移的方向与初速度的方向相反．
2．两种特殊形式
(1)当v0＝0时，v＝2ax.(初速度为零的匀加速直线运动)．
(2)当vt＝0时，－v＝2ax.(末速度为零的匀减速直线运动)．
【例1】 我国多地出现的雾霾天气，给交通安全带来了很大的危害，某地雾霾天气中高速公路上的能见度只有72 m，要保证行驶前方突发紧急情况下汽车的安全，汽车行驶的速度不能太大．已知汽车刹车时的加速度大小为5 m/s2.
(1)若前方紧急情况出现的同时汽车开始制动，汽车行驶的速度不能超过多大？(结果可以带根号)
(2)若驾驶员从感知前方紧急情况到汽车开始制动的反应时间为0.6 s，汽车行驶的速度不能超过多大？
思路点拨：①该问题中减速过程中，已知量和未知量都不涉及时间，可用速度和位移的关系式求解．
②在驾驶员的反应时间内，汽车做匀速直线运动．
[解析] (1)汽车刹车的加速度a＝－5 m/s2，要在x＝72 m内停下，设行驶的速度不超过v1，
由运动学公式有：0－v＝2ax
代入题中数据可得v1＝12 m/s.
(2)设汽车行驶的速度不超过v2，在驾驶员的反应时间t0内汽车做匀速运动的位移为x1，则
x1＝v2t0
刹车减速位移x2＝－
x＝x1＋x2
联立各式代入数据可得v2＝24 m/s.
[答案] (1)12 m/s (2)24 m/s
运动学问题的一般求解思路
(1)弄清题意．建立一幅物体运动的图景，尽可能地画出草图，并在图中标明一些位置和物理量．
(2)弄清研究对象．明确哪些是已知量，哪些是未知量，据公式特点选用恰当公式．
(3)列方程、求解．必要时要检查计算结果是否与实际情况相符合．
[跟进训练]
1．美国“肯尼迪”号航空母舰上装有帮助飞机起飞的弹射系统．已知“F－15”型战斗机在跑道上加速时，产生的最大加速度为5 m/s2，起飞的最小速度是50 m/s，弹射系统能够使飞机具有的最大速度为30 m/s，则：
(1)飞机起飞时在跑道上至少加速多长时间才能起飞？
(2)航空母舰的跑道至少应该多长？
[解析] (1)飞机在跑道上运动的过程中，当有最大初速度、最大加速度时，起飞所需时间最短，故有
t＝＝ s＝4 s
则飞机起飞时在跑道上的加速时间至少为4 s.
(2)由v－v＝2ax得
x＝＝ m＝160 m，即航空母舰的跑道至少为160 m.
[答案] (1)4 s (2)160 m
匀变速直线运动的几个推论
汽车以2 m/s2的加速度由静止开始启动，若汽车做匀加速直线运动．
请分别计算汽车1 s、2 s、3 s、4 s末的速度，以及1 s、2 s、3 s、4 s末的速度比．你能发现什么规律？
提示：v＝at知v1＝2 m/s，v2＝4 m/s，v3＝6 m/s，v4＝8 m/s，故v1∶v2∶v3∶v4＝1∶2∶3∶4，速度比等于时间比．
1．中间位置的速度与初末速度的关系
在匀变速直线运动中，某段位移x的初末速度分别是v0和v，加速度为a，中间位置的速度为v，则根据速度与位移关系式，对前一半位移v－v＝2a·，对后一半位移v2－v＝2a·，即v－v＝v2－v，所以v＝.由数学知识知：v＞v＝.
2．由静止开始的匀加速直线运动的几个重要比例
(1)1T末、2T末、3T末……nT末瞬时速度之比
v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n.
(2)1T内、2T内、3T内……nT内的位移之比
x1∶x2∶x3∶…∶xn＝12∶22∶32∶…∶n2.
(3)第一个T内、第二个T内、第三个T内……第n个T内位移之比
xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)．
(4)通过前x、前2x、前3x……位移时的速度之比
v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶∶∶…∶.
(5)通过前x、前2x、前3x……的位移所用时间之比
t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶∶∶…∶.
(6)通过连续相等的位移所用时间之比
tⅠ∶tⅡ∶tⅢ∶…∶tn＝1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)．
【例2】 一小球沿斜面由静止开始匀加速滚下(斜面足够长)，已知小球在第4 s末的速度为4 m/s.求：
(1)第6 s末的速度；
(2)前6 s内的位移；
(3)第6 s内的位移．
思路点拨：①小球做初速度为零的匀加速直线运动．
②注意区别前6 s和第6 s的确切含义．
[解析] (1)由于第4 s末与第6 s末的速度之比
v1∶v2＝4∶6＝2∶3
故第6 s末的速度v2＝v1＝6 m/s.
(2)由v1＝at1得
a＝＝m/s2＝1 m/s2.
所以第1 s内的位移
x1＝a×12 m＝0.5 m
第1 s内与前6 s内的位移之比
x1∶x6＝12∶62
故前6 s内小球的位移x6＝36x1＝18 m.
(3)第1 s内与第6 s内的位移之比
xⅠ∶xⅥ＝1∶(2×6－1)＝1∶11
故第6 s内的位移xⅥ＝11xⅠ＝5.5 m.
[答案] (1)6 m/s (2)18 m (3)5.5 m
有关匀变速直线运动推论的选取技巧
(1)对于初速度为零，且运动过程可分为等时间段或等位移段的匀加速直线运动，可优先考虑应用初速度为零的匀变速直线运动的常用推论．
(2)对于末速度为零的匀减速直线运动，可把它看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动，然后用比例关系，可使问题简化．
[跟进训练]
2.(多选)如图所示，一冰壶以速度v垂直进入两个相同矩形区域做匀减速运动，且刚要离开第二个矩形区域时速度恰好为零，则冰壶依次进入每个矩形区域时的速度之比和穿过每个矩形区域所用的时间之比分别是(设冰壶可看成质点)( )
A．v1∶v2＝2∶1 B．v1∶v2＝∶1
C．t1∶t2＝1∶ D．t1∶t2＝(－1)∶1
BD [初速度为零的匀加速直线运动中连续两段相等位移的时间之比为1∶(－1)，故所求时间之比为(－1)∶1，所以C错误，D正确；由v＝at可得初速度为零的匀加速直线运动中的速度之比为1∶，则所求的速度之比为∶1，故A错误，B正确．]
1．物理观念：速度与位移关系v2－v＝2ax.
2．科学思维：v0＝0的匀加速直线运动的推论.
1．做匀减速直线运动的物体经4 s后停止，若在第1 s内的位移是14 m，则最后1 s内的位移是 ( )
A．3.5 m B．2 m C．1 m D．0
B [物体做匀减速直线运动至停止，可以把这个过程看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动，则相等时间内的位移之比为1∶3∶5∶7，所以由＝得，所求位移x1＝2 m，故B正确．]
2．A、B、C三点在同一条直线上，一物体从A点由静止开始做匀加速直线运动，经过B点的速度是v，到C点的速度是3v，则xAB∶xBC等于 ( )
A．1∶8 B．1∶6 C．1∶5 D．1∶3
A [由公式v－v＝2ax，得v2＝2axAB，(3v)2＝2a(xAB＋xBC)，两式相比可得xAB∶xBC＝1∶8.]
3．一个做初速度为零的匀加速直线运动的物体，第1秒内位移和第3秒内位移的比为( )
A．1∶9 B．1∶5
C．1∶4 D．1∶316
B [根据x＝at2得1 s内、2 s内、3 s内的位移之比为1∶4∶9，则第1 s内、第3 s内的位移之比为1∶5，故B正确，A、C、D错误．]
4．(新情境题)歼 31是中航工业沈阳飞机工业集团研制的第五代单座双发战斗机，某次该飞机起飞滑行时，从静止开始做匀加速运动，加速度大小为4.0 m/s2，飞机速度达到80 m/s时离开地面升空．如果在飞机刚达到起飞速度时，突然接到命令停止起飞，飞行员立即使飞机紧急制动，飞机做匀减速运动，加速度的大小为5.0 m/s2.请你为该类型的飞机设计一条跑道，使在这种特殊的情况下飞机停止起飞而不滑出跑道．那么，设计的跑道至少要多长？
[解析] 由匀变速直线运动速度—位移关系式，可得飞机匀加速和匀减速阶段的位移分别为
x1＝＝ m＝800 m
x2＝＝ m＝640 m
所以，设计的跑道至少长
x＝x1＋x2＝(800＋640)m＝1 440 m.
[答案] 1 440 m
3/8课后素养落实(八) 匀变速直线运动规律的应用
(建议用时：25分钟)
◎考点一 位移与速度的关系
1．关于公式x＝，下列说法正确的是( )
A．此公式只适用于匀加速直线运动
B．此公式适用于匀减速直线运动
C．此公式只适用于位移为正的情况
D．此公式不可能出现a、x同时为负值的情况
B [公式x＝适用于匀变速直线运动，既适用于匀加速直线运动，也适用于匀减速直线运动，既适用于位移为正的情况，也适用于位移为负的情况，选项B正确，选项A、C错误；当物体做匀加速直线运动，且规定初速度的反方向为正方向时，a、x就会同时为负值，选项D错误．]
2．做匀加速直线运动的物体，速度从v增加到2v时经过的位移是x，则它的速度从3v增加到4v时所发生的位移是( )
A．x B．x C．x D．x
D [若物体的加速度为a，则(2v)2－v2＝2ax1，(4v)2－(3v)2＝2ax2，故x1∶x2＝3∶7，x2＝x1＝x，D正确．]
3．一滑雪运动员由静止开始沿斜坡匀加速下滑．当下滑距离为l时，速度为v.那么，当他的速度是时，下滑的距离是( )
A． B． C． D．
C [由v2－v＝2ax知v2＝2al，得l＝；当速度为时，有＝2al1，得l1＝＝，故选项C正确．]
4．符合国家安全技术标准的汽车满载时以54 km/h的速度行驶，若刹车的加速度大小为4.5 m/s2，求：
(1)制动距离；
(2)该汽车刹车后3 s的速度和位移分别是多少？
(3)刹车后6 s的速度和位移分别是多少？
[解析] (1)v－v＝2ax得
当v0＝54 km/h＝15 m/s，a＝－4.5 m/s2时，
x＝ m＝25 m.
(2)汽车刹车后到停止所用的时间
t刹＝＝ s≈3.3 s，
故刹车3 s末汽车的速度
v3＝v0＋at3＝15 m/s＋(－4.5)×3 m/s＝1.5 m/s
刹车的位移
x3＝v0t3＋at＝[15×3＋×(－4.5)×32]m
＝24.75 m.
(3)刹车后6 s汽车已停止，故速度v＝0，刹车的位移为25 m.
[答案] (1)25 m (2)1.5 m/s 24.75 m (3)0 25 m
◎考点二 匀变速直线运动的几个推论
5．一个物体从静止开始做匀加速直线运动，它在第1 s内与在第2 s内位移之比为x1∶x2，在走完第1 m时与走完第2 m时的速度之比为v1∶v2，则以下说法正确的是 ( )
A．x1∶x2＝1∶3，v1∶v2＝1∶2
B．x1∶x2＝1∶3，v1∶v2＝1∶
C．x1∶x2＝1∶4，v1∶v2＝1∶2
D．x1∶x2＝1∶4，v1∶v2＝1∶
B [从静止开始的匀加速直线运动第1 s内、第2 s内位移之比为1∶3.根据v2＝2ax，走完第1 m时与走完第2 m时的速度之比v1∶v2＝1∶，选项B正确．]
6．(多选)光滑斜面的长度为L，一物体自斜面顶端由静止开始匀加速滑至底端，经历的时间为t，则下列说法正确的是( )
A．物体运动全过程中的平均速度是
B．物体在时的瞬时速度是
C．物体运动到斜面中点时瞬时速度是
D．物体从顶点运动到斜面中点所需的时间是
ACD [全程的平均速度＝＝，A正确；时，物体的瞬时速度等于全程的平均速度，B错误；若末速度为v，则＝，v＝，故中间位置的速度v中＝＝，C正确；设物体的加速度为a，到达中间位置用时t′，则L＝at 2，＝at′2，所以t′＝t，D正确. ]
7．完全相同的三木块并排固定在水平面上，一颗子弹以速度v水平射入，若子弹在木块中做匀减速直线运动，恰好射穿三块木块，则子弹依次在每块木块中运动的时间之比为( )
A．3∶2∶1 B．∶∶1
C．1∶∶ D．(－)∶(－1)∶1
D [由初速度为0的匀加速直线运动有x＝at2，由此可得当物体从起始位置开始运动至距起始位置x、2x、3x时(设从开始至上述三时刻的时间为t1、t2、t3)存在关系：x＝at、2x＝at、3x＝at，联立以上三式可得t1∶(t2－t1)∶(t3－t2)＝1∶(－1)∶(－)，题中子弹运动的过程可以看成是初速度为0的匀加速运动的反向运动过程，由此可知D正确．]
8．物体从某一高度自由下落，第1 s内就通过了全程的一半，物体还要下落多少时间才会落地 ( )
A．1 s B．1.5 s
C.s D．(－1)s
D [利用初速度为零的匀变速直线运动在连续相等的位移内所用时间比为1∶(－1)，故选项D正确．]
9．一列从车站开出的火车，在平直轨道上做匀加速直线运动，已知这列火车的长度为l，当火车头经过某路标时的速度为v1，而车尾经过此路标时的速度为v2，问：
(1)列车的加速度a是多大？
(2)列车中点经过此路标时的速度v是多大？
(3)整列火车通过此路标所用的时间t是多大？
[解析] (1)由匀变速直线运动的规律2ax＝v－v得，火车加速度a＝.
(2)对于前一半位移，有v2－v＝2a×，对于后一半位移，有v－v2＝2a×，所以有v－v2＝v2－v，故v＝.
(3)火车的平均速度＝
故所用时间t＝＝.
[答案] (1) (2) (3)
(建议用时：15分钟)
10．一个质点从静止开始做匀加速直线运动，它在第3 s内与第6 s内通过的位移之比为x1∶x2，通过第3 m与通过第6 m时的平均速度之比为v1∶v2，则 ( )
A．x1∶x2＝5∶11，v1∶v2＝1∶
B．x1∶x2＝1∶4，v1∶v2＝1∶
C．x1∶x2＝5∶11，v1∶v2＝(＋)∶(＋)
D．x1∶x2＝1∶4，v1∶v2＝(＋)∶(＋)
C [质点从静止开始做匀加速直线运动，它在连续相等的时间内的位移之比x1∶x2∶x3∶…∶xn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)，所以x1∶x2＝(2×3－1)∶(2×6－1)＝5∶11，B、D错误；通过连续相等位移的时间之比：1∶(－1)∶(－)…∶(－)，所以t3∶t6＝(－)∶(－)．所以v1∶v2＝∶＝(＋)∶(＋)．故C正确．]
11.(多选)如图所示，光滑斜面AE被分成四个长度相等的部分，即AB＝BC＝CD＝DE，一物体从A点由静止释放，下列结论中正确的是 ( )
A．物体到达B、C、D、E点的速度之比为1∶2∶3∶4
B．物体到达各点经历的时间tE＝2tB＝tC＝tD
C．物体从A运动到E全过程的平均速度等于vB
D．物体通过每一部分时，其速度增量vB－vA＝vC－vB＝vD－vC＝vE－vD
BC [初速度为零的匀加速运动的推论：tB∶tC∶tD∶tE＝1∶∶∶2，物体到达各点的速率之比为1∶∶∶2，又因为v＝at，故物体到达各点所经历的时间tE＝2tB＝tC＝tD，故A错误，B正确；物体从A运动到E的全过程平均速度等于中间时刻的瞬时速度，AB与BE的位移之比为1∶3，可知B点为AE段的中间时刻，则物体从A运动到E全过程的平均速度＝vB，故C正确；物体通过每一部分时，所用时间不同，故其速度增量不同，故D错误．]
12．一个做匀加速直线运动的物体，先后经过A、B两点的速度分别是v和7v，经过A、B的时间是t，则下列判断中错误的是( )
A．经过A、B中点的速度是4v
B．经过A、B中间时刻的速度是4v
C．前时间通过的位移比后时间通过的位移少1.5vt
D．前位移所需时间是后位移所需时间的2倍
A [平均速度AB＝＝4v，即中间时刻的瞬时速度，B正确；中点位移处的速度v＝＝5v，A错误；由Δx＝a和7v＝v＋at，可以判断C正确；由＝t1和＝t2得t1＝2t2，D正确．]
13．一列火车有n节相同的车厢，一观察者站在第一节车厢的前端，当火车由静止开始做匀加速直线运动时( )
A．每节车厢末端经过观察者时的速度之比是1∶2∶3∶…∶n
B．每节车厢经过观察者所用的时间之比是1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)
C．在相等时间里，经过观察者的车厢节数之比是1∶2∶3∶…∶n
D．如果最后一节车厢末端经过观察者时的速度为v，那么在整个列车经过观察者的过程中，平均速度为
B [ 根据匀变速直线运动的速度位移公式得v2＝2ax，知每节车厢末端经过观察者时的速度之比为1∶∶∶…∶，故A错误；每节车厢的长度相同，做初速度为零的匀加速直线运动，每节车厢经过观察者所用时间之比为1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)，故B正确；在连续相等时间内的位移之比为1∶3∶5∶…∶(2n－1)，则通过的车厢节数之比为1∶3∶5∶…∶(2n－1)，故C错误；如果最后一节车厢末端经过观察者时的速度为v，那么在整个列车经过观察者的过程中，平均速度为，故D错误．]
14．有一架电梯，启动时匀加速上升，加速度为2 m/s2，制动时匀减速上升，加速度大小为1 m/s2，中间阶段电梯可匀速运行，电梯运行的楼层高48 m．问：
(1)若电梯运行时最大限速为9 m/s，电梯升到楼顶的最短时间是多少？
(2)如果电梯先加速上升，然后匀速上升，最后减速上升，全程共用时间为15 s，上升的最大速度是多少？
[解析] (1)据题得h＝＋＝＋＝48 m
解得vm＝8 m/s＜9 m/s
故电梯升到楼顶的最短时间是
tmin＝＋＝s＝12 s.
(2)先匀加速，后以某一速度v匀速，再减速，设加速时间t1，减速时间为t2，则
t1＝，t2＝，h＝(t1＋t2)＋v(15－t1－t2)
联立解得v＝4 m/s，另一解不合理舍去．
[答案] (1)12 s (2)4 m/s
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