课后素养落实(十四) 力的分解
(建议用时：25分钟)
◎考点一 力的分解的几种情况
1.如图所示，物体静止在光滑水平面上，力F作用于物体上的O点，现要使物体受到由O指向O′方向的合力(F与OO′都在同一平面内，与OO′间夹角为θ)．那么，必须同时再加一个力，这个力的最小值是( )
A．Fcos θ B．Fsin θ
C．Ftan θ D．Fcot θ
B [已知合力F合的方向由O指向O′，但大小不确定，又已知一个分力F的大小和方向，确定另一个分力(设为Fx)的最小值．根据三角形定则可画出一个任意情况，如图甲所示．从图中可看出，Fx的大小就是过F的箭头向直线OO′上所引直线的长度，在不考虑合力大小的情况下，欲使Fx最小，应使Fx与直线OO′垂直，如图乙所示，此时Fx＝Fsin θ，B正确．
甲 乙]
2．(多选)把一个已知力F分解，要求其中一个分力F1跟F成30°角，而大小未知；另一个分力F2＝F，但方向未知，则F1的大小可能是( )
A．F B．F C．F D．F
AD [因Fsin 30°FOA＝Fcos 30°＝F
FAB＝FAC＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)F))－ Fsin 30° 2)＝F
F11＝FOA－FAB＝F，F12＝FOA＋FAC＝F，A、D正确．]
◎考点二 力的效果分解法
3.为了行车的方便与安全，上山的公路都是很长的“之”字形盘山公路，这样做的主要目的是 ( )
A．减小上山车辆受到的摩擦力
B．减小上山车辆的重力
C．减小上山车辆对路面的压力
D．减小上山车辆的重力平行于路面向下的分力
D [如图所示，重力G产生的效果是使物体下滑的分力F1和使物体压紧斜面的分力F2，则F1＝Gsin θ，F2＝Gcos θ，倾角θ减小，F1减小，F2增大，同一座山，高度一定，把公路修成盘山公路时，使长度增加，则路面的倾角减小，即减小上山车辆的重力平行于路面向下的分力，可使行车安全，故D正确，A、B、C错误．]
4.人们不可能用双手掰开一段木桩，若用斧子就容易把木桩劈开．如图所示，斧子的两个斧面间的夹角为θ，两个斧面关于竖直平面对称，当斧子对木桩施加一个竖直向下的力F时，木桩的两个劈开面受到的侧向压力FN等于( )
A．FN＝ B．FN＝
C．FN＝ D．FN＝
C [如图所示，将力F分解为F1、F2两个分力，这两个分力分别与斧子的两个侧面垂直，根据对称性，两分力F1、F2大小相等，这样，以F1、F2为邻边的平行四边形就是一个菱形．因为菱形的对角线互相垂直且平分，所以有：F1＝F2＝，木桩的两个劈开面受到的侧向压力FN等于.]
5．(多选)如图所示，甲、乙、丙三个物体质量相同，与地面的动摩擦因数相同，受到三个大小相同的作用力F，当它们滑动时，受到的摩擦力大小是( )
甲 乙 丙
A．甲、乙、丙所受摩擦力相同
B．甲受到的摩擦力最小
C．乙受到的摩擦力最大
D．丙受到的摩擦力最大
BC [图中三个物体对地面的压力分别为N甲＝mg－Fsin θ，N乙＝mg＋Fsin θ，N丙＝mg，因它们均相对地面滑动，由摩擦力f＝μN知，f乙>f丙>f甲，B、C正确．]
6．将物体所受重力按力的效果进行分解，下列选项中错误的是( )
C [A项中物体重力分解为垂直于斜面使物体压紧斜面的分力G1和沿斜面向下使物体向下滑的分力G2；B项中物体的重力分解为沿两条细绳使细绳张紧的分力G1和G2，故A、B项正确；C项中物体的重力应分解为垂直于两接触面使物体紧压两接触面的分力G1和G2，故C项错误；D项中物体的重力分解为水平向左压紧墙的分力G1和沿绳向下使绳张紧的分力G2，故D项正确．C符合题意．]
◎考点三 正交分解法
7.(多选)如图所示，质量为m的物体受到推力F作用，沿水平方向做匀速直线运动，已知推力F与水平面的夹角为θ，物体与地面间的动摩擦因数为μ，则物体所受的摩擦力大小为( )
A．Fcos θ B．μmg
C．μF D．μ(mg＋Fsin θ)
AD [如图所示，对F进行正交分解，水平方向上，由二力平衡知f＝Fcos θ，故选项A正确；由竖直方向平衡知FN＝mg＋Fsin θ，则f＝μFN＝μ(mg＋Fsin θ)，故选项D正确．
]
8．(多选)人站在岸上通过定滑轮用绳牵引低处的小船，如图所示，若水的阻力恒定不变，则在船匀速靠岸的过程中，下列说法正确的是( )
A．绳的拉力不断增大
B．绳的拉力保持不变
C．船受到的浮力保持不变
D．船受到的浮力不断减小
AD [小船受力如图，利用正交分解法分析：
水平方向上：
Fsin θ＝f ①
竖直方向上：
Fcos θ＋N＝mg ②
船靠岸过程中θ减小，由①得F增大，再由②得N减小，A、D正确．]
9．如图所示，用绳AC和BC吊起一重物，绳与竖直方向的夹角分别为30°和60°，AC绳能承受的最大拉力为150 N，而BC绳能承受的最大拉力为100 N，求物体最大重力不能超过多少？
[解析] 重物静止，建立沿水平方向、竖直方向的坐标轴，将各力分解如图，可得：
TACsin 30°＝TBCsin 60° ①
TACcos 30°＋TBCcos 60°＝G ②
由以上两式解得：当TBC＝100 N时，TAC＝173.2 N
而当TAC＝150 N时，TBC＝86.6 N<100 N
将TAC＝150 N，TBC＝86.6 N代入②式
解得G＝173.2 N
所以重物的最大重力不能超过173.2 N.
[答案] 173.2 N
(建议用时：15分钟)
10.有一直角V形槽固定在水平面上，其截面如图所示，BC面与水平面间的夹角为60°，有一质量为m的正方体木块放在槽内，木块与BC面间的动摩擦因数为μ，与AB面间无摩擦．现用垂直于纸面向里的力推木块使之沿槽运动，则木块所受的摩擦力为 ( )
A．μmg B．μmg
C．μmg D．μmg
A [分解重力可得木块与BC面间的正压力大小为FBC＝mgcos 60°，木块运动后受到的摩擦力为f＝μN＝μFBC＝μmgcos 60°＝μmg，选项A正确．]
11.如图所示，圆弧形货架摆着四个完全相同的光滑小球，O为圆心．则对圆弧面的压力最小的是( )
A．a球 B．b球
C．c球 D．d球
A [小球对圆弧面的压力大小等于球的重力沿斜面的分力mgsin θ，显然a球对圆弧面的压力最小，A正确．]
12.压榨机的结构原理图如图所示，B为固定铰链，A为活动铰链．在A处作用一水平力F，物块C就以比水平力F大得多的力压物块D.已知L＝0.5 m，h＝0.1 m，F＝200 N，物块C的质量不计，且与左壁接触面光滑，求物块D受到的压力．
[解析] 根据水平力F产生的效果，它可分解为沿杆的两个分力F1、F2，
甲 乙
如图甲所示，则F1＝F2＝.而沿AC杆的分力F1又产生了两个效果：使物块C压紧左壁的水平力F3和使物块C压紧物块D的竖直力F4，如图乙所示，则F4＝F1sin α＝，由tan α＝得F4＝· N＝500 N.
[答案] 500 N
13．如图所示，A、B两物体叠放在水平地面上，已知A、B的质量分别为mA＝10 kg，mB＝20 kg，A、B之间，B与地面之间的动摩擦因数均为μ＝0.5.一轻绳一端系住物体A，另一端系于墙上，绳与竖直方向的夹角为37°.今欲用外力将物体B匀速向右拉出，求所加水平力F的大小．(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，取g＝10 m/s2)
[解析] 分析A、B的受力如图所示，建立直角坐标系．
由题意知，A始终静止，故在x轴方向上有：
Tsin 37°＝f1 ①
在y轴方向上有：
Tcos 37°＋N1＝mAg ②
而f1＝μN1 ③
联立①②③可得N1＝60 N，f1＝30 N
B匀速运动，则在x轴方向上有：
F＝f1′＋f2 ④
又f1′＝f1 ⑤
在y轴方向上有：N2＝N1′＋mBg ⑥
又N1′＝N1 ⑦
f2＝μN2 ⑧
由④～⑧得F＝160 N.
[答案] 160 N
1/85.力的分解
学习目标：1.[物理观念]知道力的分解的概念，知道力的分解是力的合成的逆运算． 2.[物理观念]理解力的分解应遵循平行四边形定则． 3.[科学思维]会用作图法、计算法对力进行分解． 4.[科学思维]理解并会应用正交分解法．
一、一个力可用几个力来替代
1．力的分解：一个力作用在物体上可以用几个共同作用在物体上的共点力来等效替代，这几个力称为那一个力的分力．求一个已知力的分力叫作力的分解．
2．力的分解与力的合成的关系：力的分解是力的合成的逆运算．
二、力的分解方法
1．力的分解遵循的法则
平行四边形定则——把已知力F作为平行四边形的对角线，与力F共点的平行四边形的两个邻边就表示力F的两个分力F1和F2.如图所示：
2．力的分解的依据
(1)同一个力可以分解为无数组大小、方向不同的分力，因为同一条对角线可以构成的平行四边形有无数多个，如图所示．
(2)在实际问题中要根据力的实际效果进行分解．
三、力的正交分解
1．定义：将一个力沿着相互垂直的两个方向分解的方法．如图所示．
2．公式：Fx＝Fcos θ，Fy＝Fsin θ.
3．适用：正交分解适用于各种矢量运算．
4．优点：将矢量运算转化成坐标轴方向上的标量运算．
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)将一个力F分解为两个力F1和F2，那么物体同时受到F1、F2和F三个力的作用． (×)
(2)某个分力的大小可能大于合力． (√)
(3)一个力只能分解为一组分力． (×)
(4)正交分解法中的两个坐标轴一定是水平和竖直的． (×)
2．为了行车方便与安全，高大的桥要造很长的引桥，其主要目的是 ( )
A．减小过桥车辆受到的摩擦力
B．减小过桥车辆的重力
C．减小过桥车辆对引桥面的压力
D．减小过桥车辆的重力平行于引桥面向下的分力
D [车辆在引桥上时其重力产生两个效果：一是使物体沿斜面下滑，相当于分力F1的作用；二是使物体垂直压紧斜面，相当于分力F2的作用．F1＝mgsin α，F2＝mgcos α，如图所示．引桥越长，倾角α越小，沿斜面下滑的分力F1越小，而压紧斜面的分力F2越大，故A、B、C错误，D正确．]
3．(多选)已知合力的大小和方向求两个分力时，下列说法中正确的是( )
A．若已知两个分力的方向，分解是唯一的
B．若已知一个分力的大小和方向，分解是唯一的
C．若已知一个分力的大小及另一个分力的方向，分解是唯一的
D．此合力有可能分解成两个与合力等大的分力
ABD [根据选项A、B只能画出一个平行四边形，分解时有唯一解，选项C可能画出多个平行四边形，分解时不只有唯一解，选项A、B正确，C错误；由合力与分力的大小关系知选项D正确．]
力的分解的几种情况
(a) (b)
图(a)、图(b)中G应该怎样分解？
提示：
1．一个力在不受条件限制下可分解为无数组分力
一个力分解为两个力，从理论上讲有无数组解．因为同一条对角线可以构成的平行四边形有无穷多个(如图所示)，这样分解是没有实际意义的，实际分解时，按力的作用效果可分解为两个确定的分力．
2．一个力分解时解的情况
将一个力按一定条件分解时合力可能能按要求进行分解，即有解，也可能不能按要求进行分解，即无解．分析是否有解的方法是看代表合力的有向线段与代表分力的有向线段能否按要求构成平行四边形，如果能构成平行四边形，说明有解；如果它们不能构成平行四边形，说明无解．典型的情况有以下几种：
(1)已知合力和两个分力的方向时，有唯一解．
甲 乙
(2)已知合力和一个分力的大小和方向时，有唯一解．
丙 丁
(3)已知合力以及一个分力的大小和另一个分力的方向时，有下面几种可能：
①当Fsin θ＜F2＜F时，有两解；
②当F2＝Fsin θ时，有唯一解；
③当F2＜Fsin θ时，无解；
④当F2＞F时，有唯一解．
特别提醒：根据已知条件，利用作图法作平行四边形可能用到的作图方法有：
(1)过一点作另一条直线的平行线．
(2)以某点为圆心，以定长为半径画圆弧．
【例1】 已知两个共点力的合力为50 N，分力F1的方向与合力F的方向成30°角，分力F2的大小为30 N，则( )
A．F1的大小是唯一的
B．F2的方向是唯一的
C．F2有两个可能的方向
D．F2可取任意方向
思路点拨：①作出合力F和分力F1的方向．②以合力F的箭头端点为圆心，以F2大小为半径作圆，看与F1所在直线有几个交点，有几个交点即有几组解．③由这几个交点分别指向合力F箭头端点的连线方向，即为F2可能的方向．
C [由F1、F2和F的矢量三角形图可以看出：
当F2＝F20＝25 N时，F1的大小才是唯一的，F2的方向才是唯一的．因F2＝30 N>F20＝25 N，所以F1的大小有两个，即F1′和F1″，F2的方向有两个，即F2′的方向和F2″的方向，故选项A、B、D错误，选项C正确．]
三角形定则的妙用
(1)三角形定则：把两个矢量首尾相接，从而求出合矢量的方法(如图所示)．三角形定则与平行四边形定则在本质上是一样的．
(2)对于将一个力分解，讨论解的个数的问题，借助三角形定则比借助平行四边形定则更方便，即看代表合力及分力的有向线段能否按要求构成三角形，以及能构成三角形的个数，从而说明解的情况．
[跟进训练]
1．将一个力F分解为两个分力，下列分解方法中不可能的是( )
A．一个分力的大小与F的大小相同
B．一个分力与力F相同
C．一个分力垂直于F
D．两个分力与F都在同一条直线上
B [根据平行四边形的特点，它的一条边与对角线相等或垂直都是可能的，所以选项A、C都有可能；当一个分力与F相同时，另一个分力为零，选项B不可能；分解为两个分力，合力与分力在一条直线时F＝F1＋F2，选项D可能是可能的，B正确．]
力的效果分解法
一辆拖拉机拉着耙前进，拉力产生怎样的效果？
提示：一个向前的效果和另一个向上的效果．
1．按力的效果分解的基本思路
2．按实际效果分解的几个实例
实例 分析
地面上物体受斜向上的拉力F，拉力F一方面使物体沿水平地面前进，另一方面向上提物体，因此拉力F可分解为水平向前的力F1和竖直向上的力F2. F1＝Fcos α，F2＝Fsin α
质量为m的物体静止在斜面上，其重力产生两个效果：一是使物体具有沿斜面下滑趋势的分力F1，二是使物体压紧斜面的分力F2. F1＝mgsin α，F2＝mgcos α
质量为m的光滑小球被竖直挡板挡住而静止于斜面上时，其重力产生两个效果：一是使球压紧板的分力F1，二是使球压紧斜面的分力F2. F1＝mgtan α，F2＝
质量为m的光滑小球被悬线挂靠在竖直墙壁上，其重力产生两个效果：一是使球压紧竖直墙壁的分力F1，二是使球拉紧悬线的分力F2. F1＝mgtan α，F2＝
质量为m的物体被OA、OB绳悬挂于O点，重力产生两个效果：对OA的拉力F1和对OB的拉力F2. F1＝mgtan α，F2＝
质量为m的物体被支架悬挂而静止，其重力产生两个效果：一是拉伸AB的分力F1，二是压缩BC的分力F2. F1＝mgtan α，F2＝
特别提醒：(1)对力进行分解时，按力的作用效果准确确定出两分力的方向是关键．
(2)作出平行四边形后分力大小的计算常用到直角三角形、相似三角形等有关的几何知识．
【例2】 如图所示，光滑斜面的倾角为θ，有两个相同的小球分别用光滑挡板A、B挡住，挡板A沿竖直方向，挡板B垂直于斜面，则两挡板受到小球的压力大小之比为多大？斜面受到两小球的压力大小之比为多大？
思路点拨：求解本题应把握以下两点：
①根据重力的作用效果确定两分力的方向．②根据三角函数关系和几何关系求分力大小．
[解析] 对小球1所受的重力G来说，其效果有二：第一，使小球沿水平方向挤压挡板；第二，使小球垂直压紧斜面．因此，力的分解如图甲所示，由此可得两个分力的大小分别为F1＝Gtan θ，F2＝.对小球2所受的重力G来说，其效果有二：第一，使小球垂直挤压挡板；第二，使小球垂直压紧斜面．因此，力的分解如图乙所示，由此可得两个分力的大小分别为F3＝Gsin θ，F4＝Gcos θ.由力的相互性可知，挡板A、B受到小球的压力之比为F1∶F3＝1∶cos θ，斜面受到两小球的压力之比为F2∶F4＝1∶cos2 θ.
甲 乙
[答案] 1∶cos θ 1∶cos2θ
确定力的实际作用效果的技巧
若物体受3个力并处于平衡状态，确定其中一个力的实际作用效果时，可先作出物体所受的3个力的示意图，其中一个力的两个实际作用效果的方向一定在其余两个力的反向延长线上．
[跟进训练]
2．如图所示，一位重600 N的演员悬挂在绳上．若AO绳与水平方向的夹角为37°，BO绳水平，则AO、BO两绳受到的力各为多大？(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
[解析] 人对竖直绳的拉力F等于人的重力G，由于该力的作用，AO、BO也受到拉力的作用，因此F产生了沿AO方向、BO方向使O点拉绳的分力F1、F2，将F沿AO方向和BO方向分解成两个分力．如图所示，由画出的平行四边形可知：
AO绳上受到的拉力F1＝＝ N＝1 000 N
BO绳上受到的拉力F2＝＝ N＝800 N.
[答案] 1 000 N 800 N
力的正交分解
1．正交分解的适用情况：适用于计算三个或三个以上共点力的合成．
2．正交分解的目的：将力的合成化简为同向、反向或垂直方向的分力，便于运用普通代数运算公式解决矢量的运算，“分”的目的是为了更好地“合”．
3．力的正交分解的依据：分力与合力的等效性．
4．正交分解的基本步骤
(1)建立坐标系
以共点力的作用点为坐标原点，直角坐标系x轴和y轴的选择应使尽量多的力落在坐标轴上．
(2)正交分解各力
将每一个不在坐标轴上的力分解到x轴和y轴上，并求出各分力的大小，如图所示．
(3)分别求出x轴、y轴上各分力的合力，即：
Fx＝F1x＋F2x＋…
Fy＝F1y＋F2y＋…
(4)求共点力的合力
合力大小F＝，合力的方向与x轴的夹角为α，则tan α＝，即α＝arctan .
【例3】 在同一平面内共点的四个力F1、F2、F3、F4的大小依次为19 N、40 N、30 N和15 N，方向如图所示，求它们的合力．(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
思路点拨：解答本题可以按以下思路：
[解析] 本题若直接运用平行四边形定则求解，需解多个斜三角形，需多次确定各个力的合力的大小和方向，计算过程十分复杂．为此，可采用力的正交分解法求解此题．
甲 乙
如图甲，建立直角坐标系，
把各个力分解到这两个坐标轴上，
并求出x轴和y轴上的合力Fx和Fy，有
Fx＝F1＋F2cos 37°－F3cos 37°＝27 N
Fy＝F2sin 37°＋F3sin 37°－F4＝27 N.
因此，如图乙所示，合力：
F＝≈38.2 N，tan φ＝＝1.即合力的大小约为38.2 N，方向与F1夹角为45°斜向右上．
[答案] 38.2 N，方向与F1夹角成45°斜向右上
坐标轴方向的选取技巧
(1)建立坐标系之前，要对物体进行受力分析，画出各力的示意图，一般各力的作用点都移到物体的重心上，坐标原点建在重心上．
(2)坐标轴的选取是任意的，为使问题简化，建立坐标系时坐标轴的选取一般有以下两个原则：
①使尽量多的力处在坐标轴上；
②尽量使某一轴上各分力的合力为零．
(3)常见的几种情况：
①研究水平面上的物体时，通常沿水平方向和竖直方向建立坐标轴．
②研究斜面上的物体时，通常沿斜面方向和垂直斜面方向建立坐标轴．
③研究物体在杆或绳的作用下转动时，通常沿杆(或绳)方向和垂直杆(或绳)的方向建立坐标轴．
[跟进训练]
3．两物体M和m用跨过光滑定滑轮的轻绳相连，如图所示放置，OA、OB与水平面的夹角分别为30°和60°，M重20 N，m静止在水平面上．求：
(1)OA绳和OB绳的拉力大小；
(2)m受到的摩擦力．
[解析] (1)结点O的受力如图所示，根据平衡条件，竖直方向上：
TAsin 30°＋TBsin 60°－Mg＝0
水平方向上：TAcos 30°－TB cos 60°＝0
解得TA＝10 N，TB＝10 N≈17.3 N.
(2)由于m也处于平衡状态，故在水平方向上
TB－TA－f＝0
所以摩擦力大小f＝TB－TA＝7.3 N，方向水平向左．
[答案] (1)10 N 17.3 N (2)7.3 N 方向水平向左
1．物理观念：力的分解概念，力的分解遵循的定则．
2．科学思维：会根据力的效果法、力的正交分解法分解力，并会进行有关计算.
1．将一个力F分解为两个力F1、F2，下列情况不可能的是 ( )
A．F1或F2垂直于F
B．F1、F2都与F在同一直线上
C．F1或F2的大小等于F
D．F1、F2的大小和方向都与F相同
D [一个力F可以分解成无数对分力，分力的大小和方向都是不确定的，F1和F2可以与F在同一直线上，但是不可能同时大小也都与F相同，因为两力合力的最大值为两力之和，故D正确．]
2.如图所示，用拇指、食指捏住圆规的一个针脚，另一个有铅笔芯的脚支撑在手掌位置，使OA水平，然后在外端挂上一些不太重的物品，这时针脚A、B分别对手指和手掌有作用力，对这两个作用力方向的判断，下列图中大致正确的是( )
C [以圆规上的O点为研究对象，O点所挂重物的两个作用效果是沿AO方向向左拉OA和沿OB方向斜向下压OB，通过圆规两针脚作用在手上的力如选项C所示，C正确．]
3．在图中，AB、AC两光滑斜面互相垂直，AC与水平面成30°角．如果把球O的重力G按照其作用效果分解，则两个分力的大小分别为( )
A．G，G B．G, G
C．G，G D．G，G
A [对球所受重力进行分解如图所示，由几何关系得F1＝Gsin 60°＝G，F2＝Gsin 30°＝G，A正确．]
4.(多选)如图所示，放在水平面上的物体A用轻绳通过光滑定滑轮连接另一物体B，并静止，这时A受到水平面的支持力为N，摩擦力为f，若把A向右移动一些后，A仍静止，则( )
A．N将增大 B．f将增大
C．轻绳拉力将减小 D．物体A所受合力将增大
AB [物体A受力分析如图，系统处于静止状态，绳子的拉力不变，始终等于B的重力，即F＝mBg，A所受合力为零，故C、D均错误；当A向右移动时，θ角减小，N＝mAg－Fsin θ，f＝Fcos θ，由此可得，N、f均增大，故A、B正确．]
5．(新情景题)生活中的物理知识无处不在，如图是我们衣服上的拉链的一部分，在把拉链拉开的时候，我们可以看到有一个三角形的物体在两链中间运动，使很难直接分开的拉链很容易拉开，关于其中的物理原理，以下说法中正确的是( )
A．拉开拉链时，三角形的物体增大了分开拉链的力
B．拉开拉链时，三角形的物体只是为了将拉链分开并没有增大分开拉链的力
C．拉开拉链时，三角形的物体增大了分开拉链的力，但合上拉链时减小了合上拉链的力
D．以上说法均不正确
A [拉开拉链时，三角形的物体在两链间和拉链一起运动，手的拉力在三角形的物体上产生了两个分力，如图甲所示，在α角很小的情况下，F1＝F2＞F，即分力大于手的拉力，所以很难直接分开的拉链很容易地被三角形的物体分开．
甲 乙
合上拉链时，手的拉力在三角形物体上产生的两个分力，如图乙所示，根据边角关系，仍有F1＝F2＞F，即增大了合上的力，故A正确．]
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