素养培优课(二) 电场能的性质
[培优目标] 1．熟练掌握描述电场能性质的物理量，灵活运用电场中的功能关系。2．通过分析电势、电势能及电场力做功的综合问题，提高逻辑思维和科学思维能力。3．会综合应用运动和力、功和能的关系，分析带电粒子在电场中的运动问题，提高科学推理能力。
考点1 电势、电势差、电势能的比较
物理量 电势 电势差UAB＝φA－φB 电势能
区别 定义式 φ＝ UAB＝ Ep＝φq
决定因素 由电场本身决定，反映电场能的性质 由电场和电场中两点间的位置决定 由电势和试探电荷共同决定
相对性 有，与零电势位置的选取有关 无，与零电势位置的选取无关 有，与零势能面的选取有关
联系 物理意义 都是描述电场能的性质的物理量
单位 伏特(V) 焦耳(J)
标矢性 都是标量，但有正、负之分
【典例1】 (多选)一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c三点的位置如图所示，三点的电势分别为10 V、17 V、26 V。下列说法正确的是( )
A．电场强度的大小为2.5 V/cm
B．坐标原点处的电势为1 V
C．电子在a点的电势能比在b点的低7 eV
D．电子从b点运动到c点，电场力做功为9 eV
思路点拨：解此题的关键是利用U＝Ed结合电场强度的矢量性求出电场强度。
ABD [ac垂直于bc，沿ca和cb两方向的场强分量大小分别为E1＝＝2 V/cm、E2＝＝1.5 V/cm，根据矢量合成可知E＝2.5 V/cm，A正确；根据在匀强电场中平行线上等距同向的两点间的电势差相等，有φO－φa＝φb－φc，得φO＝1 V，B正确；电子在a、b、c三点的电势能分别为－10 eV、－17 eV和－26 eV，故电子在a点的电势能比在b点的电势能高7 eV，C错误；电子从b点运动到c点，电场力做功W＝(－17 eV)－(－26 eV)＝9 eV，D正确。]
电势能、电势、电势差、静电力做功的关系
[跟进训练]
1．(多选)如图所示，A和B为两个等量异种点电荷，A带正电，B带负电。在A、B的连线上有a、b、c三点，其中b为连线的中点，a、c两点与b点距离相等，则( )
A．a点与c点的电场强度相同
B．a点与c点的电势相同
C．a、b间的电势差与b、c间的电势差相同
D．过b点作A、B连线的垂线，点电荷q沿此垂线方向移动，电荷的电势能保持不变
ACD [根据等量异种点电荷形成的电场的特点可知，选项A、C正确，B错误；过b点作A、B连线的垂线为一条等势线，选项D正确。]
考点2 电场线、等势面和运动轨迹的综合问题
在电场中，电场线和等势面都是为了更好地描述电场而引入的，两者之间既有联系又有区别：
(1)电场线始终与等势面垂直。电荷沿着电场线移动，电场力一定做功；电荷沿着同一等势面移动，电场力一定不做功。
(2)在同一电场中，等差等势面的疏密反映了电场的强弱，等差等势面密集处，电场线也密集，电场强；反之，电场线稀疏，电场弱。
(3)知道等势面，可画出电场线，知道电场线，也可画出等势面。
【典例2】 如图所示，实线为方向未知的三条电场线，虚线分别为等势线1、2、3，已知MN＝NQ，两带电粒子a、b从等势线2上的O点以相同的初速度飞出。仅在电场力作用下，两粒子的运动轨迹如图所示，则( )
A．a一定带正电，b一定带负电
B．a加速度减小，b加速度增大
C．M、N两点间的电势差|UMN|等于N、Q两点间的电势差|UNQ|
D．a粒子到达等势线3的动能变化量比b粒子到达等势线1的动能变化量小
思路点拨：(1)电场线密的地方，电场强度大，受力大，加速度大。
(2)在非匀强电场中，可用U＝Ed定性判断沿电场线方向相等距离的电势差一般不相等。
B [由题图所示带电粒子的运动轨迹，结合曲线运动的特点可知带电粒子所受的电场力方向相反，即两粒子所带电荷性质相反，但因为电场线的方向不确定，故不能判断带电粒子所带电荷的性质，A错误；由电场线的疏密可知，a加速度减小，b加速度增大，B正确；因为是非匀强电场，故MN两点间的电势差并不等于NQ两点间的电势差，C错误；因为等势线1与2之间的电场强度比2与3之间的电场强度要大，故1、2之间的电势差要大于2、3之间的电势差，但两粒子所带的电荷量大小不确定，故无法比较动能变化量的大小，D错误。]
电场线、等势面、运动轨迹组合问题的两点技巧
(1)利用电场线与等势面垂直的特点，可以根据等势面的形状画出电场线，如果已知等势面电势的高低关系，则可以确定电场线的方向。
(2)带电粒子做曲线运动时，运动轨迹总是弯向粒子受力的方向，从而可以根据运动轨迹的形状判断粒子受到的电场力的方向，进而可以得知电场力做功的情况及粒子的速度、动能和电势能的变化情况。
[跟进训练]
2．(多选)如图所示，一带正电的点电荷固定于O点，两虚线圆均以O为圆心，两实线分别为带电粒子M和N先后在电场中运动的轨迹，a、b、c、d、e为轨迹和虚线圆的交点，不计重力。下列说法正确的是( )
A．M带负电，N带正电
B．M在b点的动能小于它在a点的动能
C．N在d点的电势能等于它在e点的电势能
D．N在从c点运动到d点的过程中克服电场力做功
ABC [由题图可知，M粒子的轨迹向左弯曲，则M粒子所受的电场力方向向左，可知M带电粒子受到了引力作用，故M带负电，而N粒子的轨迹向下弯曲，则N粒子所受的电场力方向向下，说明N粒子受到斥力作用，故N粒子带正电，选项A正确；由于虚线是等势面，故M粒子从a到b电场力对其做负功，故动能减小，选项B正确；对于N粒子，由于d和e在同一等势面上，故从e到d电场力不做功，故电势能不变，选项C正确；由于N粒子带正电，故从c点运动到d点的过程中，电场力做正功，选项D错误。]
考点3 电场中的能量问题
1．静电力做功的四种求法
四种求法 表达式 注意问题
功的定义 W＝Fl＝qEl (1)适用于匀强电场(2)d表示两点间沿电场线方向的距离
功能关系 WAB＝EpA－EpB WAB＝－ΔEp (1)既适用于匀强电场，也适用于非匀强电场(2)既适用于只受静电力的情况，也适用于受多种力的情况
电势差法 WAB＝qUAB
动能定理 W静电力＋W其他力＝ΔEk
2．电场中的功能关系
(1)若只有静电力做功→电势能与动能之和保持不变。
(2)若只有静电力和重力做功→电势能、重力势能、动能之和保持不变。
(2)除重力之外，其他各力对物体做的功→等于物体机械能的变化。
(4)所有外力对物体所做的功→等于物体动能的变化。
【典例3】 (多选)如图所示，在水平向右的匀强电场中有一绝缘斜面，斜面上有一带电金属块沿斜面下滑，已知在金属块下滑的过程中动能增加了10 J，金属块克服摩擦力做功6 J，重力做功18 J，则以下判断正确的是( )
A．金属块带负电
B．电场力做功－2 J
C．金属块的电势能与动能之和增加了12 J
D．金属块的机械能减少了10 J
思路点拨：解此题按以下思路：
→→
BC [在金属块下滑的过程中动能增加了10 J，金属块克服摩擦力做功6 J，即摩擦力做功为－6 J，重力做功18 J，根据动能定理得W总＝WG＋W电＋Wf＝ΔEk，解得电场力做功为W电＝－2 J，所以金属块克服电场力做功2 J，金属块的电势能增加2 J；由于金属块下滑过程中电场力做负功，场强方向水平向右，所以金属块带正电，故A错误，B正确；动能增加了10 J，电势能增加了2 J，故金属块的电势能与动能之和增加了12 J，故C正确；在金属块下滑的过程中重力做功18 J，重力势能减少18 J，动能增加了10 J，重力势能与动能之和等于机械能，则金属块的机械能减少了8 J，故D错误。]
在解决电场中的能量问题时常用到的基本规律有：动能定理、能量守恒定律，有时也会用到功能关系。
1 应用动能定理解决问题需研究合外力的功 或总功 。
2 应用能量守恒定律解决问题需注意电势能和其他形式能之间的转化。
3 应用功能关系解决该类问题需明确电场力做功与电势能改变之间的对应关系。
4 有电场力做功的过程机械能不守恒，但机械能与电势能的总和保持不变。
[跟进训练]
3．如图所示，光滑绝缘半圆环轨道放在竖直向下的匀强电场中，场强大小为E。在与环心等高处放有一质量为m、带电荷量＋q的小球，由静止开始沿轨道运动，下列说法正确的是( )
A．小球在运动过程中机械能守恒
B．小球经过环的最低点时速度最大
C．小球电势能增加EqR
D．小球由静止释放到达最低点，动能的增量等于mgR
B [小球在运动过程中除重力做功外，还有电场力做功，所以机械能不守恒，A错误；小球运动到最低点的过程中，重力与电场力均做正功，重力势能减少mgR，电势能减少EqR，而动能增加mgR＋EqR，到达最低点时动能最大，所以速度最大，故B正确，C、D错误。]
考点4 带电粒子在交变电场中的运动
1．当空间存在交变电场时，粒子所受电场力大小和方向将随着电场大小和方向的改变而改变，粒子的运动性质也具有周期性。
2．研究带电粒子在交变电场中的运动需要分段研究，并辅以v t图像。特别需注意带电粒子进入交变电场时的时刻及交变电场的周期。
【典例4】 如图甲所示，热电子由阴极飞出时的初速度忽略不计，电子发射装置的加速电压为U0，电容器板长和板间距离均为L＝10 cm，下极板接地，电容器右端到荧光屏的距离也是L＝10 cm，在电容器两极板间接一交变电压，上极板的电势随时间变化的图像如图乙所示。(每个电子穿过平行板的时间都极短，可以认为电压是不变的)
甲 乙
(1)在t＝0.06 s时刻，电子打在荧光屏上的何处？
(2)荧光屏上有电子打到的区间有多长？
思路点拨：(1)电子在电场中加速，可用动能定理求解。
(2)电子在匀强电场中偏转做类平抛运动。
[解析] (1)电子经电场加速满足qU0＝mv2
经电场偏转后偏移量y＝at2＝·
则y＝，由图知t＝0.06 s时刻U偏＝1.8U0
则y＝4.5 cm。
设打在屏上的点距O点的距离为Y，满足＝，所以Y＝3y＝13.5 cm。
(2)由题知电子偏移量y的最大值为，所以当偏转电压超过2U0，电子就打不到荧光屏上了，所以荧光屏上电子能打到的区间长为3L＝30 cm。
[答案] (1)打在屏上的点位于O点上方，距O点13.5 cm (2)30 cm
(1)注意电场的大小、方向是做周期性变化的。
(2)电子穿越平行板的时间极短，认为电压是不变的。
(3)当U>0时，电子向上偏转，U<0时，电子向下偏转，因此荧光屏上电子能打到的区间是关于点O对称的。
[跟进训练]
4．如图甲所示，在平行板电容器的A板附近，有一个带正电的粒子(不计重力)处于静止状态，在A、B两板间加如图乙所示的交变电压，带电粒子在电场力作用下由静止开始运动，经过3t0时间刚好到达B板，设此时粒子的动能大小为Ek3，若用改变A、B两板间距的方法，使粒子在5t0时刻刚好到达B板，此时粒子的动能大小为Ek5，则等于( )
甲 乙
A． B． C．1 D．
B [设两板间的距离为d，经3t0时间刚好到达B板时，粒子在运动过程中先加速然后减速再加速，根据运动的对称性和动能定理，可得Ek3＝q，若改变A、B两板间的距离使粒子在5t0时刻刚好到达B板，根据运动的对称性和动能定理，可得Ek5＝q，故＝，B正确。]
7/8素养培优集训(二) 电场能的性质
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(多选)如图所示，a、b、c为电场中同一条水平方向电场线上的三点，c为ab中点。a、b电势分别为φa＝5 V，φb＝3 V，下列叙述中正确的是( )
A．a点处的场强Ea一定大于b点处的场强Eb
B．一正电荷运动到c点时受到的电场力由a指向c
C．一负电荷在a点的电势能一定大于在c点的电势能
D．一正电荷从c点运动到b点电势能一定减少
BD [一条电场线无法比较电场线的疏密，就无法比较场强的大小，则a点处的场强Ea不一定大于b点处的场强Eb，故A错误；由题意可判断电场线方向从a指向b，正电荷运动到c点时受到的电场力由a指向c，故B正确；由题意知φa＞φc＞φb＞0，Ep＝qφ，所以负电荷在a点的电势能小于在c点的电势能，正电荷从c点运动到b点电势能一定减少，故C错误，D正确。]
2．如图所示，在一个粗糙水平面上，彼此靠近地放置两个带同种电荷的小物块。由静止释放后，两个物块向相反方向运动，并最终停止。在物块的运动过程中，下列表述正确的是( )
A．两个物块的电势能逐渐减少
B．物块受的库仑力不做功
C．两个物块的机械能守恒
D．物块受到的摩擦力始终小于其受到的库仑力
A [由于两物块之间的库仑力等大反向，因此在远离过程中，电场力(库仑力)做正功，电势能逐渐减少，A正确，B错误；物块运动过程中，有电场力和摩擦力做功，故机械能不守恒，C错误；在远离过程中，开始电场力大于摩擦力，后来电场力小于摩擦力，静止后，电场力等于摩擦力，D错误。]
3．两个不规则带电导体间的电场线分布如图所示，已知导体附近的电场线均与导体表面垂直，a、b、c、d为电场中四个点，并且a、d为紧靠导体表面的两点，选无穷远处为电势零点，则( )
A．场强大小关系有Eb>Ec
B．电势大小关系有φb<φd
C．将一负电荷放在d点时其电势能为负值
D．将一正电荷由a点移到d点的过程中电场力做正功
D [根据电场中电场线的疏密代表电场强度的大小，可知Eb＜Ec，A错误；根据沿着电场线方向电势逐渐降低，可知φb＞φd，B错误；利用电势能公式Ep＝φq，又知φd＜0，则将负电荷放在d点时其电势能为正值，C错误；由题图知a点电势高于d点电势，则将一正电荷由a点移到d点的过程中电场力做正功，D正确。]
4．(多选)一个电子在电场中的A点具有80 eV的电势能，在由A点移到B点的过程中，电子克服静电力做功30 eV，则( )
A．电子在B点的电势能为110 eV
B．电子的电势能增加了30 eV
C．A、B两点间的电势差为110 V
D．A、B两点间的电势差为－30 V
AB [由于WAB＝EpA－EpB，所以EpB＝EpA－WAB＝80 eV－(－30)eV＝110 eV，A正确；电子克服静电力做功，电子电势能增加，增加量等于克服静电力做的功30 eV，B正确；A、B两点间的电势差UAB＝＝＝30 V，C、D错误。]
5．如图所示，虚线a、b、c代表电场中的三条电场线，实线为一带负电的粒子仅在电场力作用下通过该区域时的运动轨迹，P、R、Q是这条轨迹上的三点，由此可知( )
A．带电粒子在R点时的速度大小大于在Q点时的速度大小
B．带电粒子在P点时的电势能比在Q点时的电势能大
C．带电粒子在R点时的动能与电势能之和比在Q点时的小，比在P点时的大
D．带电粒子在R点时的加速度大小小于在Q点时的加速度大小
A [根据物体做曲线运动的轨迹与速度、合外力的关系可知，带电粒子在R处所受电场力的方向为沿电场线向右。假设粒子从Q向P运动，则电场力做正功，所以电势能减小，动能增大，速度增大；假设粒子从P向Q运动，则电场力做负功，所以电势能增大，动能减小，速度减小，故A正确，B错误；由于带电粒子在运动过程中只受电场力作用，只有动能与电势能之间的相互转化，则带电粒子的动能与电势能之和不变，故C错误；根据牛顿第二定律可得qE＝ma，又根据电场线的疏密程度可以得出Q、R两点处的电场强度的大小关系为ER>EQ，则带电粒子在R、Q两点处的加速度的大小关系为aR>aQ，故D错误。]
6．(多选)在光滑的绝缘水平面上，有一个正方形abcd，顶点a、c分别固定一个正点电荷，电荷量相等，如图所示。若将一个带负电的粒子置于b点由静止自由释放，粒子将沿着对角线bd往复运动。粒子从b点运动到d点的过程中( )
A．先做匀加速运动，后做匀减速运动
B．先从高电势到低电势，后从低电势到高电势
C．电势能与机械能之和保持不变
D．电势能先减小，后增大
CD [a、c两点固定相同的正点电荷，则bd为等量正点电荷连线的中垂线，由电场线分布情况可知带电粒子不可能做匀加速或匀减速运动，故A错误；等量正点电荷连线的中垂线的中点电势最高，带负电的粒子从b点运动到d点的过程中，先从低电势到高电势，再从高电势到低电势，故B错误；带负电粒子从b点运动到d点的过程中所受电场力先由b指向d，后由d指向b，所以电场力先做正功后做负功，因此电势能先减小，后增大，故D正确；只有电场力做功，电势能与机械能之和保持不变，故C正确。]
7．如图所示，在等量异种点电荷形成的电场中有A、B、C三点，A点为两点电荷连线的中点，B点为连线上与A点距离为d的一点，C点为连线中垂线上与A点距离也为d的一点，则下面关于三点电场强度E的大小、电势φ的高低的比较，正确的是( )
A．EA＝EC＞EB，φA＝φC＞φB
B．EB＞EA＞EC，φA＝φC＞φB
C．EA＜EB，EA＜EC，φA＞φB，φA＞φC
D．因为电势零点未规定，所以无法判断电势高低
B [由等量异种点电荷形成的电场特点知，在连线中垂线上，A点合场强最大，即EA>EC，在两电荷连线上，A点合场强最小，即EB>EA；电场线由A指向B，φA>φB，连线中垂线是一等势面，φA＝φC，选项B正确。]
8．如图所示，以O点为圆心，以R＝0.20 m为半径的圆与坐标轴交点分别为a、b、c、d，该圆所在平面内有一匀强电场，场强方向与x轴正方向成θ＝60°角，已知a、b、c三点的电势分别为4 V、4 V、－4 V，则下列说法正确的是( )
A．该匀强电场的场强E＝40 V/m
B．该匀强电场的场强E＝80 V/m
C．d点的电势为－2 V
D．d点的电势为－4 V
D [在匀强电场中，平行等长的线段两端的电势差相等，有Ubc＝Uad，得φd＝－4 V，选项C错误，D正确；同理得O点电势为零，又UaO＝ERsin θ，得E＝40 V/m，选项A、B错误。]
9．如图所示，虚线表示等势面，相邻等势面间的电势差相等。有一带正电的小球在电场中运动，实线表示小球的运动轨迹。小球在a点的动能为20 eV，运动到b点时动能为2 eV。若取c点为零电势点，则当这个小球的电势能等于6 eV时，它的动能为(不计重力和空气阻力)( )
A．18 eV B．12 eV
C．10 eV D．8 eV
D [由于带电小球在电场中移动时，只有电场力做功，因此能量之间的转化只有动能和电势能之间的转化，因等势面为等差等势面，在相邻等势面间移到电荷动能变化相同，从a点到b点，动能减小了18 eV，所以从a点到c点动能减少了6 eV，c点动能为14 eV，故当小球电势能为6 eV时，它的动能为8 eV，D正确。]
10．(多选)空间存在匀强电场，有一电荷量为＋q、质量为m的粒子从O点以速率v0射入电场，运动到A点时速率为2v0。现有另一电荷量为－q、质量为m的粒子以速率2v0仍从O点射入该电场，运动到B点时速率为3v0。若忽略重力的影响，则( )
A．在O、A、B三点中，B点电势最高
B．在O、A、B三点中，A点电势最高
C．OA间的电势差比BO间的电势差大
D．OA间的电势差比BA间的电势差小
AD [正电荷由O到A，动能增加，电场力做正功，电势能减少，电势降低，O点电势比A点高；负电荷从O到B，动能增加，电场力做正功，电势能减少，电势升高，B点电势比O点高，所以B点电势最高，选项A正确，B错误；由以上分析可知，A、O、B三点中，有qUOA＝mv，qUBO＝mv，qUBA＝qUBO＋qUOA＝4mv，则UOA＜UBO，UOA＜UBA，选项C错误，D正确。]
二、非选择题
11．如图所示，A、B、C为一等边三角形的三个顶点，某匀强电场的电场线平行于该三角形平面。现将电荷量为1×10－8 C的正点电荷从A点移到B点，电场力做功为3×10－6 J，将另一电荷量为1×10－8 C的负点电荷从A点移到C点，克服电场力做功3×10－6 J。若AB边长为2 cm，则电场强度的大小为多大？方向如何？
[解析] 正点电荷从A点移到B点时，电场力做正功，故A点电势高于B点，可求得
UAB＝＝ V＝300 V
负点电荷从A点移到C点，克服电场力做功，同理可判断A点电势高于C点，可求得
UAC＝＝ V＝300 V
因此B、C两点电势相等，UBC＝0。由于匀强电场中的等势线是一簇平行直线，因此，BC为一等势线，故电场线方向垂直BC。
设D为直线BC的中点，则电场方向为由A指向D。直线AB在电场方向的距离d等于线段AD的长度，故由匀强电场中电势差与电场强度的关系式可得
E＝＝ V/m＝1×104 V/m。
[答案] 1×104 V/m 垂直B、C连线，由A指向BC
12．如图所示，在电场强度E＝104 N/C的水平向右匀强电场中，有一根长l＝15 cm的细线，一端固定在O点，另一端系一个质量m＝3 g、电荷量q＝2×10－6 C的带正电小球，当细线处于水平位置时，小球从静止开始释放，g取10 m/s2。
(1)小球到达最低点B的过程中重力势能、电势能分别变化了多少？
(2)若取A点电势为零，小球在B点的电势能、电势分别为多大？
(3)小球到B点时速度为多大？绳子张力为多大？
[解析] (1)根据功能关系有
ΔEp＝－mgl＝－4.5×10－3 J
ΔEp电＝Eql＝3×10－3 J。
(2)若取A点电势为零，则
EpA＝φAq＝0
EpB＝φBq
ΔEp电＝EpB－EpA
EpB＝3×10－3 J
φB＝＝ V＝1.5×103 V。
(3)小球从A到B的过程，由动能定理得
mgl－Eql＝mv
解得vB＝1 m/s
在B点对小球由牛顿第二定律得
T－mg＝
代入数据解得T＝5×10－2 N。
[答案] (1)重力势能减少了4.5×10－3 J 电势能增加了3×10－3 J (2)3×10－3 J 1.5×103 V (3)1 m/s 5×10－2 N
13．一平行板电容器长l＝10 cm，宽a＝8 cm，板间距d＝4 cm，在板左侧有一足够长的“狭缝”离子源，沿着两板中心平面，连续不断地向整个电容器射入离子，它们的比荷均为2×1010 C/kg，速度均为4×106 m/s，距离右端处有一屏，如图甲所示，如果在平行板电容器的两极板间接上如图乙所示的交流电压，由于离子在电容器中运动所用的时间远小于交流电压的周期，故在离子通过电场的时间内电场可视为匀强电场。试求：
甲 乙
(1)离子打在屏上的区域面积；
(2)在一个周期内，离子打到屏上的时间。
[解析] (1)设离子恰好从极板边缘射出时极板两端的电压为U0
水平方向：l＝v0t
竖直方向：＝at2
又a＝
由以上三式解得U0＝＝128 V，即当U≥128 V时离子打到极板上，当U＜128 V时，离子打到屏上。设离子偏移时射到屏上的位置与中心平面的距离为r，则＝，解得r＝d。又由对称性知，打到屏上的总长度为2d，则离子打到屏上的区域面积为S＝2d·a＝64 cm2。
(2)在前T，离子打到屏上的时间t0＝×0.005 s＝0.003 2 s，又由对称性知，在一个周期内、打到屏上的总时间t＝4t0＝0.012 8 s。
[答案] (1)64 cm2 (2)0.012 8 s
1/8
