2018-2019学年黑龙江省绥化市安达一中九年级（上）期中数学试卷绥化(word解析版)

2018-2019学年黑龙江省绥化市安达一中九年级（上）期中数学试卷
一．选择题（每小题3分，共36分）
1．（3分）方程x2﹣4＝0的两个根是（　　）
A．x1＝2，x2＝﹣2 B．x＝﹣2 C．x＝2 D．x1＝2，x2＝0
2．（3分）已知2x＝3y，那么下列结论中不正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，如果AB长为20（　　）
A．10﹣10 B．10﹣10 C．30﹣10 D．20﹣10
4．（3分）不解方程，判断方程2x2+3x﹣4＝0的根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．有两个不相等的实数根
5．（3分）在一个不透明的袋子里，有2个白球和2个红球，它们只有颜色上的区别，再随机地摸出一个球，则两次都摸到白球的概率为（　　）
A． B． C． D．
6．（3分）下列语句中正确的是（　　）
A．四边都相等的四边形是矩形
B．顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形
C．菱形的对角线相等
D．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
7．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+x+m＝0的一个实数根为1，那么它的另一个实数根是（　　）
A．﹣2 B．0 C．1 D．2
8．（3分）如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）（　　）
A． B．
C． D．
9．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF＝4：25，则DE：EC＝（　　）
A．2：3 B．2：5 C．3：5 D．3：2
10．（3分）某县政府2017年投资0.5亿元用于保障性房建设，计划到2019年投资保障性房建设的资金为0.98亿元．如果从2017年到2019年投资此项目资金的年增长率相同，那么年增长率是（　　）
A．60% B．50% C．40% D．30%
11．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，垂足为D，延长至点G，过点A作AF⊥BG，垂足为F，则下列错误的是（　　）
A． B． C． D．
12．（3分）如图，已知E，F分别为正方形ABCD的边AB，AF与DE交于点M，O为BD的中点
①∠AME＝90°；②∠BAF＝∠EDB；③∠BMO＝90°；⑤AM＝MF．其中正确结论的是（　　）
A．①③④ B．②④⑤ C．①③④⑤ D．①③⑤
二、填空题（每题3分，共12分）
13．（3分）在某一时刻，测得一根高为1.5m的竹竿的影长为1m，同时测得一根旗杆的影长为8m　 　m．
14．（3分）在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们只有颜色上的区别，其中有2个红球，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复试验后发现，那么可以推算出n大约是　 　．
15．（3分）已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD＝120°，则该菱形的面积是　 　．
16．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝8，有AE＝4，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，则BC的长是　 　．
三、解答题：
17．（8分）用适当方法解下列方程
（1）3（x+2）2＝x（2+x）；
（2）2x2+3x﹣2＝0．
18．（6分）把一副普通扑克牌中的4张：黑2，红3，梅4，洗匀后正面朝下放在桌面上．
（1）从中随机抽取一张牌是红心的概率是　 　；
（2）从中随机抽取一张，再从剩下的牌中随机抽取另一张．请用表格或树状图表示抽取的两张牌牌面数字所有可能出现的结果，并求抽取的两张牌牌面数字之和大于7的概率．
19．（6分）如图，A、B两点被池塘隔开，小吴为了测量A，他在AB外选一点C，连接AC和BC，使CD＝AC，使CE＝BC，根据以上信息，请你求出AB的长．
20．（7分）已知矩形BEDG和矩形BNDQ中，BE＝BN，DE＝DN．
（1）将两个矩形叠合成如图10，求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若菱形ABCD的周长为20，BE＝3，求矩形BEDG的面积．
21．（8分）某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元），销售量为36本；当销售单价为24元时
（1）请直接写出y与x的函数关系式　 　；
（2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？
22．（8分）如图，动点P是正方形ABCD边AB上运动（不与点A．B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，连接BE、DF．
（1）求证：∠ADP＝∠EPB．
（2）若正方形ABCD边长为4，点F能否为边BC的中点？如果能，请你求出AP的长，请说明理由．
23．（9分）已知矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．
（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．
①求证：△OCP∽△PDA；
②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长．
（2）若图1中的点P恰好是CD边的中点，求∠OAB的度数；
（3）如图2，在（1）的条件下，擦去折痕AO，连接BP，动点M在线段AP⊥（点M与点F、A不重合），且BN＝PM，连接MN交PB于点F，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度．
2018-2019学年黑龙江省绥化市安达一中九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（每小题3分，共36分）
1．（3分）方程x2﹣4＝0的两个根是（　　）
A．x1＝2，x2＝﹣2 B．x＝﹣2 C．x＝2 D．x1＝2，x2＝0
【分析】首先移项，再两边直接开平方即可．
【解答】解：移项得：x2＝4，
两边直接开平方得：x＝±8，
则x1＝2，x8＝﹣2，
故选：A．
2．（3分）已知2x＝3y，那么下列结论中不正确的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据比例的性质，两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、∵＝，∴3x＝3y；
B、∵＝，∴2x＝3y；
C、∵＝，∴3x＝3y；
D、∵＝，∴8（x+y）＝5y，故本选项正确．
故选：C．
3．（3分）已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，如果AB长为20（　　）
A．10﹣10 B．10﹣10 C．30﹣10 D．20﹣10
【分析】根据黄金分割的定义，知AC为较长线段，则AC＝AB，代入数据即可得出AC的值．
【解答】解：∵C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，
∴AC＝AB，
∵AB＝20，
∴AC＝×20＝10．
故选：A．
4．（3分）不解方程，判断方程2x2+3x﹣4＝0的根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．有两个不相等的实数根
【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】解：∵Δ＝32﹣8×2×（﹣4）＝41＞6，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：D．
5．（3分）在一个不透明的袋子里，有2个白球和2个红球，它们只有颜色上的区别，再随机地摸出一个球，则两次都摸到白球的概率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到白球的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有16种等可能的结果，两次都摸到白球的有4种情况，
∴两次都摸到白球的概率为：＝．
故选：C．
6．（3分）下列语句中正确的是（　　）
A．四边都相等的四边形是矩形
B．顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形
C．菱形的对角线相等
D．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
【分析】利用矩形、正方形、菱形的判定定理及菱形和矩形的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、四边都相等的四边形是菱形，故不符合题意；
B、顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形，故符合题意；
C、矩形的对角线相等，故不符合题意；
D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故不符合题意；
故选：B．
7．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+x+m＝0的一个实数根为1，那么它的另一个实数根是（　　）
A．﹣2 B．0 C．1 D．2
【分析】首先设关于x的一元二次方程x2+x+m＝0的另一个实数根是α，然后根据根与系数的关系，即可得α+1＝﹣1，继而求得答案．
【解答】解：设关于x的一元二次方程x2+x+m＝0的另一个实数根是α，
∵关于x的一元二次方程x8+x+m＝0的一个实数根为1，
∴α+5＝﹣1，
∴α＝﹣2．
故选：A．
8．（3分）如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据网格中的数据求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．
【解答】解：由勾股定理得：AB＝＝，BC＝2＝，
∴AC：BC：AB＝1：：，
A、三边之比为1：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
B、三边之比：1：：；
C、三边之比为：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
D、三边之比为2：：．
故选：B．
9．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF＝4：25，则DE：EC＝（　　）
A．2：3 B．2：5 C．3：5 D．3：2
【分析】先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出△DEF∽△BAF，再根据S△DEF：S△ABF＝4：10：25即可得出其相似比，由相似三角形的性质即可求出的值，由AB＝CD即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠EAB＝∠DEF，∠AFB＝∠DFE，
∴△DEF∽△BAF，
∵S△DEF：S△ABF＝4：25，
∴＝，
∵AB＝CD，
∴DE：EC＝2：3．
故选：A．
10．（3分）某县政府2017年投资0.5亿元用于保障性房建设，计划到2019年投资保障性房建设的资金为0.98亿元．如果从2017年到2019年投资此项目资金的年增长率相同，那么年增长率是（　　）
A．60% B．50% C．40% D．30%
【分析】根据增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），2018年要投入资金是0.5（1+x）万元，在2018年的基础上再增长x，就是2019年的资金投入0.5（1+x）（1+x），由此可列出方程0.5（1+x）2＝0.98，求解即可．
【解答】解：设这两年中投入资金的平均年增长率是x，
由题意得0.5（7+x）2＝0.98，
解方程，得x6＝40%  x2＝﹣2.6（不合题意舍去）．
答：这两年中投入资金的平均年增长率约是40%．
故选：C．
11．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，垂足为D，延长至点G，过点A作AF⊥BG，垂足为F，则下列错误的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】通过证明△ACD∽△ABC，可得，通过证明△ACD∽△CBD，可得，通过△ADE∽△GDB，△ACD∽△CBD，可得，通过证明△GEF∽△GBD，可得，即可求解．
【解答】解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠CDB＝90°，
∴∠BCD+∠ABC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝∠ABC，
又∵∠ACB＝∠ADC＝90°，
∴△ACD∽△ABC，
∴，
故A选项不合题意；
∵∠ACD＝∠ABC，∠ADC＝∠BDC，
∴△ACD∽△CBD，
∴
故B选项不合题意；
∵AF⊥BG，
∴∠AFB＝90°，
∴∠FAB+∠GBA＝90°，
∵∠GDB＝90°，
∴∠G+∠GBA＝90°，
∴∠G＝∠FAB，
又∵∠ADE＝∠GDB＝90°，
∴△ADE∽△GDB，
∴，
∴AD BD＝DE DG，
∵△ACD∽△CBD，
∴，
∴CD2＝AD BD，
∴CD2＝DE DG，
∴，
故C选项不合题意；
∵∠G＝∠G，∠EFG＝∠GDB＝90°，
∴△GEF∽△GBD，
∴
故D选项符合题意，
故选：D．
12．（3分）如图，已知E，F分别为正方形ABCD的边AB，AF与DE交于点M，O为BD的中点
①∠AME＝90°；②∠BAF＝∠EDB；③∠BMO＝90°；⑤AM＝MF．其中正确结论的是（　　）
A．①③④ B．②④⑤ C．①③④⑤ D．①③⑤
【分析】根据正方形的性质可得AB＝BC＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°，再根据中点定义求出AE＝BF，然后利用“边角边”证明△ABF和△DAE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BAF＝∠ADE，然后求出∠ADE+∠DAF＝∠BAD＝90°，从而求出∠AMD＝90°，再根据邻补角的定义可得∠AME＝90°，从而判断①正确；根据中线的定义判断出∠ADE≠∠EDB，然后求出∠BAF≠∠EDB，判断出②错误；根据直角三角形的性质判断出△AED、△MAD、△MEA三个三角形相似，利用相似三角形对应边成比例可得 ＝＝＝2，然后求出MD＝2AM＝4EM，判断出④正确，设正方形ABCD的边长为2a，利用勾股定理列式求出AF，再根据相似三角形对应边成比例求出AM，然后求出MF，消掉a即可得到AM＝MF，判断出⑤正确；过点M作MN⊥AB于N，求出MN、NB，然后利用勾股定理列式求出BM，过点M作GH∥AB，过点O作OK⊥GH于K，然后求出OK、MK，再利用勾股定理列式求出MO，根据正方形的性质求出BO，然后利用勾股定理逆定理判断出∠BMO＝90°，从而判断出③正确．
【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝BC＝AD，
∵E、F分别为边AB，
∴AE＝BF＝BC，
在△ABF和△DAE中，
，
∴△ABF≌△DAE（SAS），
∴∠BAF＝∠ADE，
∵∠BAF+∠DAF＝∠BAD＝90°，
∴∠ADE+∠DAF＝∠BAD＝90°，
∴∠AMD＝180°﹣（∠ADE+∠DAF）＝180°﹣90°＝90°，
∴∠AME＝180°﹣∠AMD＝180°﹣90°＝90°，故①正确；
∵DE是△ABD的中线，
∴∠ADE≠∠EDB，
∴∠BAF≠∠EDB，故②错误；
∵∠BAD＝90°，AM⊥DE，
∴△AED∽△MAD∽△MEA，
∴＝＝＝2，
∴AM＝2EM，MD＝2AM，
∴MD＝2AM＝4EM，故④正确；
设正方形ABCD的边长为2a，则BF＝a，
在Rt△ABF中，AF＝＝a，
∵∠BAF＝∠MAE，∠ABC＝∠AME＝90°，
∴△AME∽△ABF，
∴＝，
即＝，
解得AM＝a，
∴MF＝AF﹣AM＝a﹣a，
∴AM＝MF；
如图，过点M作MN⊥AB于N，
则＝＝，
即＝＝，
解得MN＝a，AN＝a，
∴NB＝AB﹣AN＝2a﹣a＝a，
根据勾股定理，BM＝＝a，
过点M作GH∥AB，过点O作OK⊥GH于K，
则OK＝a﹣a＝aa﹣a＝a，
在Rt△MKO中，MO＝＝，
根据正方形的性质，BO＝2a×＝a，
∵BM2+MO8＝（ a）4+（a）2＝4a2，
BO2＝（ a）2＝2a4，
∴BM2+MO2＝BO7，
∴△BMO是直角三角形，∠BMO＝90°；
综上所述，正确的结论有①③④⑤共4个．
故选：C．
二、填空题（每题3分，共12分）
13．（3分）在某一时刻，测得一根高为1.5m的竹竿的影长为1m，同时测得一根旗杆的影长为8m　12　m．
【分析】直接利用同一时刻物体影长与实际高度比值相同进而得出答案．
【解答】解：设这根旗杆的高度为xm，根据题意可得：
＝，
解得：x＝12．
即这根旗杆的高度为12m．
故答案为：12．
14．（3分）在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们只有颜色上的区别，其中有2个红球，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复试验后发现，那么可以推算出n大约是　10　．
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【解答】解：由题意可得，＝0.3，
解得，n＝10．
故估计n大约有10个．
故答案为：10．
15．（3分）已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD＝120°，则该菱形的面积是　8　．
【分析】首先由四边形ABCD是菱形，求得AC⊥BD，OA＝AC，∠BAC＝∠BAD，然后在直角三角形AOB中，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半与勾股定理即可求得OB的长，然后由菱形的面积等于其对角线积的一半，即可求得该菱形的面积．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝×4＝6∠BAD＝，
∴AC＝4，∠AOB＝90°，
∴∠ABO＝30°，
∴AB＝3OA＝4，OB＝2，
∴BD＝2OB＝4，
∴该菱形的面积是：AC BD＝＝2．
故答案为：8．
16．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝8，有AE＝4，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，则BC的长是　7　．
【分析】根据线段中点的定义可得CG＝DG，然后利用“角边角”证明△DEG和△CFG全等，根据全等三角形对应边相等可得DE＝CF，EG＝FG，设DE＝x，表示出BF，再利用勾股定理列式求EG，然后表示出EF，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BF＝EF，然后列出方程求出x的值，从而求出AD，再根据矩形的对边相等可得BC＝AD．
【解答】解：∵矩形ABCD中，G是CD的中点，
∴CG＝DG＝×8＝4，
在△DEG和△CFG中，
，
∴△DEG≌△CFG（ASA），
∴DE＝CF，EG＝FG，
设DE＝x，
则BF＝BC+CF＝AD+CF＝4+x+x＝8+2x，
在Rt△DEG中，EG＝＝，
∴EF＝2，
∵FH垂直平分BE，
∴BF＝EF，
∴4+2x＝4，
解得x＝3，
∴AD＝AE+DE＝8+3＝7，
∴BC＝AD＝4．
故答案为：7．
三、解答题：
17．（8分）用适当方法解下列方程
（1）3（x+2）2＝x（2+x）；
（2）2x2+3x﹣2＝0．
【分析】（1）利用提公因式法解方程即可；
（2）利用十字相乘法解方程即可．
【解答】解：（1）∵3（x+2）4＝x（2+x），
∴3（x+6）2﹣x（2+x）＝5，
∴（x+2）（3x+6﹣x）＝0，
∴x+2＝5或2x+6＝2，
∴x1＝﹣2，x5＝﹣3；
（2）∵2x3+3x﹣2＝4，
∴（x+2）（2x﹣2）＝0，
∴x+2＝7或2x﹣1＝4，
∴x1＝﹣2，x2＝．
18．（6分）把一副普通扑克牌中的4张：黑2，红3，梅4，洗匀后正面朝下放在桌面上．
（1）从中随机抽取一张牌是红心的概率是　　；
（2）从中随机抽取一张，再从剩下的牌中随机抽取另一张．请用表格或树状图表示抽取的两张牌牌面数字所有可能出现的结果，并求抽取的两张牌牌面数字之和大于7的概率．
【分析】（1）根据概率的意义，从4张扑克牌中，任选一张，是红心的概率为；
（2）用列表法表示所有可能出现的结果情况，再求相应的概率即可．
【解答】解：（1）从黑2，红3，方3这4张扑克牌中任摸一张，
故答案为：；
（2）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：
共有12种等可能出现的结果，其中和大于4的有4种，
所以抽取的两张牌牌面数字之和大于7的概率为＝．
19．（6分）如图，A、B两点被池塘隔开，小吴为了测量A，他在AB外选一点C，连接AC和BC，使CD＝AC，使CE＝BC，根据以上信息，请你求出AB的长．
【分析】根据题意结合相似三角形的判定方法得出，△ABC∽△DEC，进而求出AB的长．
【解答】解：∵CD＝ACBC，
∴＝＝，
∵∠ACB＝∠ECD，
∴△ABC∽△DEC，
∴＝＝，
∴AB＝800，
答：AB的长为800m．
20．（7分）已知矩形BEDG和矩形BNDQ中，BE＝BN，DE＝DN．
（1）将两个矩形叠合成如图10，求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若菱形ABCD的周长为20，BE＝3，求矩形BEDG的面积．
【分析】（1）作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，根据题意先证出四边形ABCD是平行四边形，再由BC＝CD得平行四边形ABCD是菱形；
（2）根据菱形的性质得出AD的长，进而得出AE的长，再利用矩形面积公式求出即可．
【解答】（1）答：四边形ABCD是菱形．
证明：作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，
由题意知：AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵矩形BEDG和矩形BNDQ中，BE＝BN，
∴两个矩形全等，
∴AR＝AS，
∵AR BC＝AS CD，
∴BC＝CD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵菱形ABCD的周长为20，
∴AD＝AB＝BC＝CD＝5，
∵BE＝3，
∴AE＝4，
∴DE＝5+4＝7，
∴矩形BEDG的面积为：3×9＝27．
21．（8分）某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元），销售量为36本；当销售单价为24元时
（1）请直接写出y与x的函数关系式　y＝﹣2x+80（20≤x≤28）　；
（2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？
【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出y与x的函数关系式；
（2）根据每周的利润＝每本的利润×每周的销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
将（22，36），32）代入y＝kx+b，
解得：，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣8x+80（20≤x≤28）．
故答案为：y＝﹣2x+80（20≤x≤28）．
（2）依题意，得：（x﹣20）（﹣2x+80）＝150，
整理，得：x6﹣60x+875＝0，
解得：x1＝25，x3＝35（不合题意，舍去）．
答：每本纪念册的销售单价是25元．
22．（8分）如图，动点P是正方形ABCD边AB上运动（不与点A．B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，连接BE、DF．
（1）求证：∠ADP＝∠EPB．
（2）若正方形ABCD边长为4，点F能否为边BC的中点？如果能，请你求出AP的长，请说明理由．
【分析】（1）根据正方形的性质可得∠A＝∠PBC＝90°，再由∠DPE＝90°，利用同角的余角相等即可证明；
（2）假设F为BC的中点，可得BF＝CF＝BC＝2，证明△ADP∽△BPF，得，根据根的判别式知方程无解，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形．
∴∠A＝∠PBC＝90°，
∴∠ADP+∠APD＝90°，
∵∠DPE＝90°，
∴∠APD+∠EPB＝90°，
∴∠ADP＝∠EPB；
（2）点F不能为边BC的中点，理由如下：
假设F为BC的中点，可得BF＝CF＝，
∵∠ADP＝∠EPB，∠A＝∠ABC＝90°，
∴△ADP∽△BPF，
∴，
∴，
整理得：AP8﹣4AP+8＝8，
∵b2﹣4ac＝16﹣32＝﹣16＜3，
∴此方程无解，
则点F不能为边BC的中点．
23．（9分）已知矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．
（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．
①求证：△OCP∽△PDA；
②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长．
（2）若图1中的点P恰好是CD边的中点，求∠OAB的度数；
（3）如图2，在（1）的条件下，擦去折痕AO，连接BP，动点M在线段AP⊥（点M与点F、A不重合），且BN＝PM，连接MN交PB于点F，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度．
【分析】（1）①根据折叠的性质得到∠APO＝∠B＝90°，根据相似三角形的判定定理证明△OCP∽△PDA；
②根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答；
（2）根据直角三角形的性质得到∠DAP＝30°，根据折叠的性质解答即可；
（3）作MQ∥AB交PB于Q，根据等腰三角形的性质和相似三角形的性质得到EF＝PB，根据勾股定理求出PB，计算即可．
【解答】解：（1）①由折叠的性质可知，∠APO＝∠B＝90°，
∴∠APD+∠OPC＝90°，又∠POC+∠OPC＝90°，
∴∠APD＝∠POC，又∠D＝∠C＝90°，
∴△OCP∽△PDA；
②∵△OCP与△PDA的面积比为1：4，
∴△OCP与△PDA的相似比为7：2，
∴PC＝AD＝4，
设AB＝x，则DC＝x，DP＝x﹣4，
在Rt△APD中，AP3＝AD2+PD2，即x2＝82+（x﹣6）2，
解得，x＝10；
（2）∵点P是CD边的中点，
∴DP＝DC，
∴DP＝AP，
∴∠DAP＝30°，
由折叠的性质可知，∠OAB＝∠OAP＝30°；
（3）EF的长度不变．
作MQ∥AB交PB于Q，
∴∠MQP＝∠ABP，
由折叠的性质可知，∠APB＝∠ABP，
∴∠MQP＝∠APB，
∴MP＝MQ，又BN＝PM，
∴MQ＝BN，
∵MQ∥AB，
∴＝，
∴QF＝FB，
∵MP＝MQ，ME⊥BP，
∴PE＝QE，
∴EF＝PB，
由（1）得，PC＝4，
∴PB＝＝4，
∴EF＝2．