2020-2021学年湖南省常德二中九年级（上）期中数学试卷（Word版 含解析）

2020-2021学年湖南省常德二中九年级（上）期中数学试卷
一．选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）
1．（3分）一元二次方程2x2+3x＝7的一般形式为（　　）
A．2x2﹣7＝﹣3x B．2x2+3x+7＝0 C．2x2+3x﹣7＝0 D．2x2＝7﹣3x
2．（3分）如图，若线段AB＝2，点C为AB的黄金分割点，则AC的长是（　　）
A． B． C．3﹣ D．4﹣
3．（3分）P1（x1，y1），P2（x2，y2）是函数y＝﹣的图象上的两点，下列说法中不正确的是（　　）
A．该函数的图象经过点（﹣4，2）
B．该函数的图象位于第二、四象限
C．当0＜x1＜x2时，则y1＜y2
D．当x1＜0＜x2时，则y1＜y2
4．（3分）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＜1 B．k≤1 C．k＜1且k≠0 D．k≤1且k≠0
5．（3分）下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（3分）某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，则可以列出的方程是（　　）
A．（3+x）（4﹣0.5x）＝15 B．（x+3）（4+0.5x）＝15
C．（x+4）（3﹣0.5x）＝15 D．（x+1）（4﹣0.5x）＝15
7．（3分）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，若S△DOE：S△COA＝1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（　　）
A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：25
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A，OA＝2，OB＝1（k＞0，x＞0）的图象经过AC的中点D，则k的值为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）
9．（3分）若，则＝　 　．
10．（3分）已知反比例函数y＝（a+1）x|a|﹣3的图象在第一、三象限，则a＝　 　．
11．（3分）如图，正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝，B两点，其中点B的横坐标为﹣2　 　．
12．（3分）如图，点A是反比例函数y＝的图象上的一点，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，则k的值是　 　．
13．（3分）如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，点A的坐标为（0，1），则点E的坐标是　 　．
14．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D，E分别在AB、AC上，将△ADE沿DE折叠，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为　 　．
15．（3分）给出一种运算：对于函数y＝xn，规定y′＝nxn﹣1．例如：若函数y＝x4，则y′＝4x3．已知函数y＝（x﹣1）3，则方程y′＝12的解是 　 　．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…和B1，B2，B3，…分别在直线y＝x+b和x轴上，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…都是等腰直角三角形，如果点A1（1，1），那么点A2020的纵坐标是　 　．
三．解答题（本大题共10小题，满分72分）
17．（5分）解方程：x（x+1）﹣2（x+1）＝0．
18．（5分）解方程：2x2﹣7x+3＝0．
19．（6分）蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流I（A）（Ω）的反比例函数，其图象经过点M（4，9）
（1）求该反比例函数的表达式．
（2）当电阻R＝10Ω时，电流I是多少？
20．（6分）如图，为估算某河的宽度，在河对岸的边上选定一个目标点A，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，并且点A，E，D在同一条直线上，EC＝20m，CD＝30m
21．（7分）受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，2017年利润为2亿元
22．（7分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，BC边上一点．
（1）求证：△ACD∽△CBD．
（2）若，求证：∠CDE＝∠BDF．
23．（8分）如图，已知一次函数y＝x+b的图象与反比例函数y＝，与y轴交于点C，且点B的坐标为（﹣3，﹣）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式及点A的坐标．
（2）若x+b＜，请直接写出x的取值范围．
（3）求△AOB的面积．
24．（8分）如图，在 ABCD中，过点A作AE⊥BC，连接DE，F为线段DE上一点
（1）求证：．
（2）若AB＝8，BC＝6，AF＝4
25．（10分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8cm．动点M从点B出发，在BA边上以3cm/s的速度向定点A运动，在CB边上以2cm/s的速度向点B运动，运动时间为ts（0＜t＜）
（1）当t为何值时，△BMN与△ABC相似？
（2）连接AN，CM，如图1所示，求t的值．
（3）当t为何值时，△BMN是等腰三角形？
26．（10分）如图1，△ABC中，AB＝AC，点E在BC上，DE＝DC
（1）求证：∠BDE＝∠ACD；
（2）若DE＝2DF，过点E作EG∥AC交AB于点G，求证：AB＝2AG；
（3）将“点D在BA的延长线上，点E在BC上”改为“点D在AB上，点E在CB的延长线上”，其它条件不变，如图2．
①求证：AB BE＝AD BC；
②若DE＝4DF，请直接写出S△ABC：S△DEC的值．
2020-2021学年湖南省常德二中九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）
1．（3分）一元二次方程2x2+3x＝7的一般形式为（　　）
A．2x2﹣7＝﹣3x B．2x2+3x+7＝0 C．2x2+3x﹣7＝0 D．2x2＝7﹣3x
【分析】方程移项，整理为一般形式即可．
【解答】解：方程2x2+6x＝7，
移项得：2x5+3x﹣7＝3．
故选：C．
2．（3分）如图，若线段AB＝2，点C为AB的黄金分割点，则AC的长是（　　）
A． B． C．3﹣ D．4﹣
【分析】根据黄金分割点的定义，知AC是较长线段，由黄金分割的公式计算即可．
【解答】解：∵线段AB＝2，点C是AB黄金分割点，
∴AC＝2×＝﹣1．
故选：A．
3．（3分）P1（x1，y1），P2（x2，y2）是函数y＝﹣的图象上的两点，下列说法中不正确的是（　　）
A．该函数的图象经过点（﹣4，2）
B．该函数的图象位于第二、四象限
C．当0＜x1＜x2时，则y1＜y2
D．当x1＜0＜x2时，则y1＜y2
【分析】根据反比例函数的性质逐一判断即可．
【解答】解：对于函数y＝﹣，
当x＝﹣4时，y＝﹣，
∴函数y＝﹣的图象经过点（﹣3，
故A正确；
∵k＝﹣8＜0，
∴函数y＝﹣的图象位于第二，
故B正确；
∵﹣8＜0，
∴在第四象限内y随x的增大而增大，
∴当5＜x1＜x2时，则y2＜y2，
故C正确；
∵函数y＝﹣的图象位于第二，
函数图象的增减性分x＞8和x＜0两种情况讨论，
故D错误，
故选：D．
4．（3分）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＜1 B．k≤1 C．k＜1且k≠0 D．k≤1且k≠0
【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式Δ＝b2﹣4ac的值的符号就可以了．关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有实数根，则Δ＝b2﹣4ac≥0．
【解答】解：∵a＝k，b＝﹣2，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×k×1＝4﹣6k≥0，k≤1，
∵k是二次项系数不能为4，k≠0，
即k≤1且k≠8．
故选：D．
5．（3分）下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】本题主要应用两三角形相似的判定定理，三边对应成比例，做题即可．
【解答】解：设单位正方形的边长为1，给出的三角形三边长分别为，4，．
A、三角形三边2，，3，故A选项错误；
B、三角形三边2，4，2，故B选项正确；
C、三角形三边2，3，，故C选项错误；
D、三角形三边，3，，故D选项错误．
故选：B．
6．（3分）某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，则可以列出的方程是（　　）
A．（3+x）（4﹣0.5x）＝15 B．（x+3）（4+0.5x）＝15
C．（x+4）（3﹣0.5x）＝15 D．（x+1）（4﹣0.5x）＝15
【分析】根据已知假设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有（x+3）株，得出平均单株盈利为（4﹣0.5x）元，由题意得（x+3）（4﹣0.5x）＝15即可．
【解答】解：设每盆应该多植x株，由题意得
（3+x）（4﹣4.5x）＝15，
故选：A．
7．（3分）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，若S△DOE：S△COA＝1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（　　）
A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：25
【分析】由DE∥AC，推出△DEO∽△CAO，可得＝（）2＝，推出DE：AC＝BE+BC＝1：5，推出BE：EC＝1：4，根据等高模型即可解决问题．
【解答】解：∵DE∥AC，
∴△DEO∽△CAO，
∴＝（）2＝，
∴DE：AC＝BE：BC＝8：5，
∴BE：EC＝1：3，
∴S△BED：S△DEC＝1：4，
故选：B．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A，OA＝2，OB＝1（k＞0，x＞0）的图象经过AC的中点D，则k的值为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
【分析】作CE⊥x轴于E，根据平行于x轴的直线上任意两点纵坐标相同，即可求得CE＝OA＝2，通过证得△AOB∽△BEC，求得BE＝4，进而得到D点坐标，代入y＝，利用待定系数法求出k．
【解答】解：作CE⊥x轴于E，
∵AC∥x轴，OA＝2，
∴OA＝CE＝2，
∵∠ABO+∠CBE＝90°＝∠OAB+∠ABO，
∴∠OAB＝∠CBE，
∵∠AOB＝∠BEC，
∴△AOB∽△BEC，
∴＝，即＝，
∴BE＝5，
∴OE＝5，
∵点D是AC的中点，
∴D（，2）．
∵反比例函数y＝（k＞0，
∴k＝×2＝8．
故选：B．
二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）
9．（3分）若，则＝　　．
【分析】把转化成﹣1，求出的值，从而得出的值．
【解答】解：∵，
∴﹣8＝，
∴＝，
∴＝．
故答案为：．
10．（3分）已知反比例函数y＝（a+1）x|a|﹣3的图象在第一、三象限，则a＝　2　．
【分析】根据反比例函数定义和性质列出a+1＞0且|a|﹣3＝﹣1，解得a＝2．
【解答】解：∵反比例函数y＝（a+1）x|a|﹣3的图象在第一、三象限，
∴a+3＞0且|a|﹣3＝﹣8，
解得a＝2，
故答案为2．
11．（3分）如图，正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝，B两点，其中点B的横坐标为﹣2　（2，1）　．
【分析】由正比例函数解析式求得B点的坐标，然后根据反比例函数的对称性，可以得出点A的坐标．
【解答】解：把x＝﹣2代入y＝得，y＝﹣1，
∴B（﹣2，﹣8），
∵点A与点B关于原点对称，
∴点A的坐标为（2，1），
故答案为：（7，1）．
12．（3分）如图，点A是反比例函数y＝的图象上的一点，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，则k的值是　﹣8　．
【分析】连接OA，如图，利用三角形面积公式得到S△OAB＝S△ABC＝4，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到|k|＝4，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值．
【解答】解：连接OA，如图，
∵AB⊥x轴，
∴OC∥AB，
∴S△OAB＝S△ABC＝4，
而S△OAB＝|k|，
∴|k|＝4，
∵k＜0，
∴k＝﹣8．
故答案为：﹣8．
13．（3分）如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，点A的坐标为（0，1），则点E的坐标是　（，）　．
【分析】由题意可得OA：OD＝1：，又由点A的坐标为（0，1），即可求得OD的长，又由正方形的性质，即可求得E点的坐标．
【解答】解：∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，
∴OA：OD＝1：，
∵点A的坐标为（0，1），
即OA＝2，
∴OD＝，
∵四边形ODEF是正方形，
∴DE＝OD＝．
∴E点的坐标为：（，）．
故答案为：（，）．
14．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D，E分别在AB、AC上，将△ADE沿DE折叠，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为　2　．
【分析】△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，可得∠DEA＝∠DEA′＝90°，AE＝A′E，所以，△ACB∽△AED，A′为CE的中点，所以，可运用相似三角形的性质求得．
【解答】解：∵△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，
∴∠DEA＝∠DEA′＝90°，AE＝A′E，
∴△ACB∽△AED，
又A′为CE的中点，
∴＝，
即＝，
∴ED＝2．
故答案为：2．
15．（3分）给出一种运算：对于函数y＝xn，规定y′＝nxn﹣1．例如：若函数y＝x4，则y′＝4x3．已知函数y＝（x﹣1）3，则方程y′＝12的解是 　x1＝﹣1，x2＝3　．
【分析】首先根据新定义求出函数y＝（x﹣1）3中的n，再由y′＝12得出：y＝（x﹣1）3＝12，用直接开平方法解方程即可．
【解答】解：由函数y＝（x﹣1）3得n＝3，则y′＝3（x﹣1）5，
∴3（x﹣1）2＝12，
∴（x﹣1）2＝3，
∴x﹣1＝±2，
∴x5＝﹣1，x2＝6，
故答案为x1＝﹣1，x7＝3．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…和B1，B2，B3，…分别在直线y＝x+b和x轴上，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…都是等腰直角三角形，如果点A1（1，1），那么点A2020的纵坐标是　（）2019　．
【分析】设点A2，A3，A4…，A2019坐标，结合函数解析式，寻找纵坐标规律，进而解题．
【解答】解：∵A1（1，2）在直线y＝，
∴b＝，
∴y＝，
设A3（x2，y2），A2（x3，y3），A2（x4，y4），…，A2020（x2020，y2020），
 则有y4＝x2+，
y5＝x6+，
…
y2020＝x2020+，
又∵△OA1B1，△B5A2B2，△B6A3B3，…都是等腰直角三角形，
∴x5＝2y1+y7，
x3＝2y8+2y2+y7，
…
x2020＝2y1+4y2+2y3+…+2y2019+y2020，
将点坐标依次代入直线解析式得到：
y2＝y1+3，
 y3＝y1+y2+1＝ y2，
 y2＝ y8，
 …
y2020＝ y2019，
又∵y5＝1，
∴y2＝，
 y3＝（ ）2，
 y6＝（ ）5，
…
y2020＝（ ）2019，
故答案为：（ ）2019．
三．解答题（本大题共10小题，满分72分）
17．（5分）解方程：x（x+1）﹣2（x+1）＝0．
【分析】利用因式分解法解方程．
【解答】解：（x+1）（x﹣2）＝6，
x+1＝0或x﹣4＝0，
所以x1＝﹣5，x2＝2．
18．（5分）解方程：2x2﹣7x+3＝0．
【分析】本题可以运用因式分解法解方程．因式分解法解一元二次方程时，应使方程的左边为两个一次因式相乘，右边为0，再分别使各一次因式等于0即可求解．
【解答】解：原方程可变形为（2x﹣1）（x﹣4）＝0
∴2x﹣4＝0或x﹣3＝7，∴．
19．（6分）蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流I（A）（Ω）的反比例函数，其图象经过点M（4，9）
（1）求该反比例函数的表达式．
（2）当电阻R＝10Ω时，电流I是多少？
【分析】（1）根据电流I（A）是电阻R（Ω）的反比例函数，设出I＝（k≠0）后把（4，9）代入求得k值即可；
（2）将R＝10Ω代入上题求得的函数关系式后求得电流的值与4比较即可．
【解答】解：（1）由电流I（A）是电阻R（Ω）的反比例函数，设I＝，
把（4，9）代入得：k＝2×9＝36，
∴I＝．
（2）当R＝10Ω时，I＝＝．
20．（6分）如图，为估算某河的宽度，在河对岸的边上选定一个目标点A，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，并且点A，E，D在同一条直线上，EC＝20m，CD＝30m
【分析】求出△ABE和△DCE相似，根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．
【解答】解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴∠ABE＝∠DCE＝90°，
又∵∠AEB＝∠DEC（对顶角相等），
∴△ABE∽△DCE，
∴＝，
即＝，
解得AB＝60m．
答：河的宽度AB为60m．
21．（7分）受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，2017年利润为2亿元
【分析】设该企业年利润的平均增长率为x，根据该企业2017年及2019年的利润，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值．
【解答】解：设该企业年利润的平均增长率为x，
依题意，得：2（1+x）5＝2.88，
解得：x1＝2.2＝20%，x2＝﹣6.2（不合题意，舍去），
答：该企业从2017年到2019年利润的年平均增长率为20%．
22．（7分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，BC边上一点．
（1）求证：△ACD∽△CBD．
（2）若，求证：∠CDE＝∠BDF．
【分析】（1）根据同角的余角相等可证∠A＝∠BCD，从而证明△ACD∽△CBD；
（2）由（1）得）△ACD∽△CBD，则，∠ACD＝∠B，可证△ECD∽△FBD，从而解决问题．
【解答】证明：（1）∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
∴∠A+∠ACD＝90°，
∵∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
又∵∠ADC＝∠BDC，
∴△ACD∽△CBD；
（2）∵△ACD∽△CBD，
∴，∠ACD＝∠B，
∵，
∴，
又∵∠ACD＝∠B，
∴△ECD∽△FBD，
∴∠CDE＝∠BDF．
23．（8分）如图，已知一次函数y＝x+b的图象与反比例函数y＝，与y轴交于点C，且点B的坐标为（﹣3，﹣）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式及点A的坐标．
（2）若x+b＜，请直接写出x的取值范围．
（3）求△AOB的面积．
【分析】（1）把B的坐标为（﹣3，﹣）分别代入y＝x+b和y＝，即可求得反比例函数和一次函数的解析式，然后解析式联立成方程组，解方程组即可求得A的坐标；
（2）根据A、B的坐标和图象，即可求出答案；
（3）求出一次函数与x轴的交点坐标，根据三角形的面积公式求出△AOC和△BOC的面积即可；
【解答】解：（1）∵次函数y＝x+b的图象与反比例函数y＝、B（﹣7，﹣）．
∴﹣＝×（﹣3）+b，﹣＝，
∴b＝，m＝4，
∴一次函数和反比例函数的表达式为y＝x+，
由解得或，
∴A（1，6）；
（2）由图象可知，当x＜﹣3或0＜x＜8时，；
（3）把y＝4代入y＝x+，
即OC＝，
S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝××（1+3）＝，
即△AOB的面积是．
24．（8分）如图，在 ABCD中，过点A作AE⊥BC，连接DE，F为线段DE上一点
（1）求证：．
（2）若AB＝8，BC＝6，AF＝4
【分析】（1）通过证明△ADF∽△DEC中，可得结论；
（2）由（1）知△ADF∽△DEC，根据相似三角形的性质：对应边的比值相等即可求出DE的长，再利用勾股定理即可求出AE的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠B+∠C＝180°，∠ADF＝∠DEC．
∵∠AFD+∠AFE＝180°，∠AFE＝∠B，
∴∠AFD＝∠C，
∴△ADF∽△DEC，
∴；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝8，
∵，
∴DE＝＝＝12．
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE＝＝．
25．（10分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8cm．动点M从点B出发，在BA边上以3cm/s的速度向定点A运动，在CB边上以2cm/s的速度向点B运动，运动时间为ts（0＜t＜）
（1）当t为何值时，△BMN与△ABC相似？
（2）连接AN，CM，如图1所示，求t的值．
（3）当t为何值时，△BMN是等腰三角形？
【分析】（1）若△BMN与△ABC相似，分∠MNB＝90°和∠NMB＝90°两种情况，根据线段比例关系得出关于t的等量关系式，分别求解即可；
（2）过M作MD⊥CB于点D，证△CAN∽△DCM，根据线段比例关系得出关于t的等量关系式，求出此时的t值即可；
（3）若△BMN是等腰三角形，则分BM＝BN，BM＝MN，BN＝MN三种情况分别求出t值即可．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝6cm，
∴AB＝＝＝10（cm），
由题意知，BM＝3tcm，
∴BN＝（8﹣2t）cm，
①当∠MNB＝90°时，△BMN∽△BAC，
∴，
即，
解得t＝；
②当∠NMB＝90°时，△BMN∽△BCA，
∴＝，
即＝，
解得t＝；
综上，当t为或时；
（2）过M作MD⊥CB于点D，
∴∠BDM＝∠ACB＝90°，
∵∠B＝∠B，
∴△BDM∽△BCA，
∴，
∵AC＝6cm，BC＝8cm，BM＝2tcm，
∴DM＝tcm cm，
∴CD＝（8﹣t）cm，
∵AN⊥CM，∠ACB＝90°，
∴∠CAN+∠ACM＝90°，∠MCD+∠ACM＝90°，
∴∠CAN＝∠MCD，
∵MD⊥CB，
∴∠MDC＝∠ACB＝90°，
∴△CAN∽△DCM，
∴＝，
即＝，
解得t＝；
（3）若△BMN是等腰三角形，可分以下三种情况：
①当BM＝BN时，
由（1）知，BM＝2tcm，
即3t＝8﹣4t，
解得t＝；
②当BN＝MN时，作NP⊥BA于P，
∴BP＝BM＝，
∵cos∠B＝＝＝，
∴BP＝ BN＝﹣t）（cm），
即﹣t＝t，
解得t＝；
③当BM＝MN时，作MQ⊥BC于Q，
∴BQ＝BN＝，
∵cos∠B＝＝，
∴BQ＝×BM＝，
即4﹣t＝t，
解得t＝；
综上，当t为或或时．
26．（10分）如图1，△ABC中，AB＝AC，点E在BC上，DE＝DC
（1）求证：∠BDE＝∠ACD；
（2）若DE＝2DF，过点E作EG∥AC交AB于点G，求证：AB＝2AG；
（3）将“点D在BA的延长线上，点E在BC上”改为“点D在AB上，点E在CB的延长线上”，其它条件不变，如图2．
①求证：AB BE＝AD BC；
②若DE＝4DF，请直接写出S△ABC：S△DEC的值．
【分析】（1）运用等腰三角形的性质及三角形的外角性质就可解决问题．
（2）如图1，证明△DCA≌△EDG（AAS），得AD＝EG，根据等腰三角形的判定得：DG＝AB，由平行线分线段成比例定理得：，由此可得结论；
（3）①如图2，作辅助线，构建三角形全等，证明△DCA≌△EDG（AAS），得DA＝EG，再证明△ACB∽△GEB，列比例式可得结论；
②如图3，作辅助线，构建△ABC和△DCE的高线，先得，设AF＝a，则EG＝AD＝4a，DG＝16a，根据AH∥PD，得＝，设PD＝3h，AH＝4h，根据EG∥AC，同理得，设BE＝y，BC＝4y，利用三角形面积公式代入可得结论．
【解答】（1）证明：∵AC＝AB，
∴∠ACB＝∠B，
∵DC＝DE，
∴∠DCE＝∠DEC，
∴∠ACD+∠ACB＝∠B+∠BDE，
∴∠BDE＝∠ACD；
（2）证明：如图1，∵EG∥AC，
∴∠DAC＝∠DGE，∠BEG＝∠ACB，
由（1）知：∠DCA＝∠BDE，
∵DC＝DE，
∴△DCA≌△EDG（AAS），
∴AD＝EG，
∵∠B＝∠ACB＝∠BEG，
∴EG＝BG＝AD，
∴DG＝AB，
∵DE＝2DF，AF∥EG，
∴，
∴DG＝2AD＝2AG，
∴AB＝DG＝7AG；
（3）解：①如图2，过点E作EG∥AC，
则有∠A＝∠G，
∵AB＝AC，CD＝DE，
∴∠ACB＝∠ABC，∠DCE＝∠DEC，
∴∠ACD+∠DCE＝∠EDG+∠DEC，
∴∠ACD＝∠EDG，
在△DCA和△EDG中，
∵，
∴△DCA≌△EDG（AAS）．
∴DA＝EG，
∵AC∥EG，
∴△ACB∽△GEB，
∴＝，
∵EG＝AD，AC＝AB，
∴AB BE＝AD BC；
②如图3，过A作AH⊥BC于H，则AH∥PD，
∵AF∥EG，
∴，
∵DE＝4DF，
∴，
设AF＝a，则EG＝AD＝3a，
∵∠ACB＝∠ABC，
∴∠GBE＝∠BEG，
∴BG＝EG＝4a，
∴BD＝12a，
∵AH∥PD，
∴＝，
设PD＝3h，AH＝4h，
∵EG∥AC，
∴，
设BE＝y，BC＝2y，
∴S△ABC＝BC AH＝＝，
S△DCE＝＝＝，
∴S△ABC：S△DEC＝8yh：yh＝16：15．