2021-2022学年人教版数学八年级上册11.2.1 三角形的内角课件(共35张PPT)

(共35张PPT)
人教版 数学 八年级上册
第2节 与三角形有关的角
第1课时 三角形的内角
第十一章 三角形
1.三角形的概念和表示方法、三角形按角分类和按边分类、三角形的三边关系以及实际应用.
2.三角形的高、中线、角平分线的概念、表示方法和性质，三条高、三条中线、三条角平分线分别在三角形的位置以及它们各自交点分别在三角形的位置.
3.三角形的稳定性以及实际应用.
复习旧知
1.学习和掌握三角形的内角和定理.
2.理解三角形的内角和定理的推导、验证过程.
3.在解决实际问题时能熟练运用三角形的内角和定理.
学习目标
小学的时候我们通过测量或者剪拼已经验证过三角形的内角和等于180°，现在怎么通过推理去验证这个结论呢？
请大家在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起，得到一个平角. 在这个操作中，你能发现证明的思路吗？
导入新知
如图，∠B，∠C分别拼凑在∠A的左右两侧，三个角合起来形成一个平角，出现一条过点A的直线l. 想一想，直线l与△ABC的边BC有什么关系？由这个图，你能想出证明“三角形的内角和等于180°”的方法吗？
从位置关系和角度的大小关系可以看出，直线l与边BC是平行关系.
新知一 三角形内角和定理
合作探究
如图，已知△ABC，求证∠A+∠B+∠C=180°.
证明：过点A作直线l，使得l//BC.
∵l//BC，
∴∠2=∠B，∠3=∠C.
∵∠1、∠2、∠3构成平角，∴∠1+∠2+∠3=180°.
则∠BAC+∠B+∠C=180°.
你能想出来其他的证明方法吗？
三角形内角和定理的证明
A
C
1
2
3
l
B
方法二 证明：过点C作直线l，使得l//AB，延长BC.∵l//AB，
∴∠2=∠A， ∠3=∠B.
∵∠1、∠2、∠3构成平角，
∴∠1+∠2+∠3=180°.
则∠ACB+∠A+∠B=180°.
三角形内角和定理：三角形三个内角的和为180°
三角形内角和定理的证明
如图，已知△ABC，求证∠A+∠B+∠C=180°.
A
C
1
2
3
l
B
例1 如图，在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分线.求∠ADB的度数.
解：∵∠BAC=40°，AD是△ABC的角平分线， ∴∠BAD=20°.
∵在△ADB中，∠B=75°，
∴∠ADB=180°-∠BAD-∠B=85°.
A
D
C
B
典例精析
例2 如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向. 从B岛看A、C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是多少度
A
B
C
D
北
北
E
例2 如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向. 从B岛看A、C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是多少度
A
B
C
D
北
北
E
解：因为∠CAB=∠BAD-∠CAD=
80°-50°=30°，由AD//BE得，
∠BAD+∠ABE=180°，
所以∠ABE=180°-∠BAD=180°-
80°=100°，
例2 如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向. 从B岛看A、C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是多少度
A
B
C
D
北
北
E
∠ABC=∠ABE-∠EBC=100°-
40°=60°.
在△ABC中，∠ACB=180°-
∠ABC-∠CAB=
180°-60°-30°=90°.
例2 如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向. 从B岛看A、C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是多少度
A
B
C
D
北
北
E
答：从B岛看A，C两岛的视角
∠ABC是60度，从C岛看A，B
两岛的视角∠ACB是90度.
例3 如图，从A处观测C处的仰角∠CAD=30°，从B处观测C处的仰角∠CBD=45°，从C处观测A，B两处的视角∠ACB是多少度？
┐
A
B
D
C
解：∵∠CAD=30°，∠ADC=90°，∴∠ACD=60°.
∵∠CBD=45°，∠ADC=90°，
∴∠BCD=45°.
∴∠ACB=∠ACD-∠BCD=15°.
解：∠A+∠B=90°.
∵在直角三角形ABC中，∠C=90°，
∠A+∠B+∠C=180°，
则∠A+∠B=180°-∠C.
∴∠A+∠B=90°.
例4 在直角三角形ABC中，∠C=90°，两个锐角有什么
关系？
C
B
A
┐
新知二 直角三角形的性质与判定
合作探究
性质：直角三角形的两个锐角互余.
几何语言：在△ABC中，如果∠C=90°，那么∠A+∠B=90°.
直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形AB可以写成Rt△ABC.
注意： “Rt△”后必须紧跟表示直角三角形的三个顶点的大写字母，不能单独使用.
直角三角形的性质与判定
例5 如图，∠C=∠D=90°，AD，BC相交于点E，∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？
解：在Rt△ACE中，∠CAE=90°-∠AEC，在Rt△BDE中，∠DBE=90°-∠BED.
∵∠AEC=∠BED，
∴∠CAE=∠DBE.
A
B
C
D
E
等角的余角相等
典例精析
判定：有两个角互余的三角形是直角三角形.
几何语言：在△ABC中，由∠A+∠B=90°，得
∠C =90°，即△ABC是直角三角形.
注意：在直角三角形中，若已知一个锐角或者两个锐角之间的关系，可以直接运用两个锐角互余求解，不需要再利用三角形的内角和定理求解.
直角三角形的性质与判定
3.如图，AB//CD，∠BAE=∠DCE=45°，填空：
∵AB//CD，
∴∠1+45°+∠2+45°= ______ .
∴∠1+∠2= ______ .
∴∠E= ______ .
∴△AEC是_____________ .
A
B
D
C
E
1
2
45°
45°
180°
90°
90°
直角三角形
例6 如图，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，∠ACD与∠B有什么关系？为什么？
A
D
B
C
解：∠ACD与∠B大小相等.
在△BCD中，CD⊥AB，
∴ ∠CDB=90°，∠B+∠BCD=90°.
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，则∠ACD=∠B.
┌
例7 如图，∠C=90°，∠1=∠2，△ADE是直角三角形吗？为什么？
A
C
E
B
D
1
2
解：△ADE是直角三角形.
∵在△ABC中，∠C=90°，
∴∠A+∠2=90°.
∵∠1=∠2，
∴∠A+∠1=90°， ∴ △ADE是直角三角形.
三角形的
内角
三角形内角和定理
直角三角形的性质
直角三角形的判定
有两个角互余的三角形是直角三角形
直角三角形的
两个锐角互余
三角形的内角和为180°
归纳新知
1．如图①②③④所示的四种方法中，能成为证明三角形内角和定理思路的是(　　)
A．①②③④ B．①③
C．③④ D．①②
B
课后练习
2．在△ABC中，∠A＝35°，∠B＝80°，则∠C＝(　　)
A．85° B．75° C．65° D．55°
C
3．【2020·大连】如图，在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝40°，DE∥BC，则∠AED的度数是(　　)
A．50° B．60°
C．70° D．80°
D
4．【2020·深圳】如图，将直尺与含30°角的三角尺叠放在一起，若∠1＝40°，则∠2的大小是(　　)
A．40° B．60° C．70° D．80°
D
5．【教材P12例1变式】如图，△ABC中，∠A＝50°，∠C＝60°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是(　　)
A．85° B．80°
C．75° D．70°
A
6．若三角形三内角的度数比是2:3:4，则它是(　　)
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．钝角或直角三角形
A
7．下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是(　　)
C
8．∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角，且分别满足下列条件，求未知角的度数：
(1)∠A＝80°，∠B＝∠C；
解：设∠A＝x，则∠B＝x－16°.
由题意得x＋x－16°＋54°＝180°，
解得x＝71°.
∴∠A＝71°，∠B＝71°－16°＝55°.
(2)∠A－∠B＝16°，∠C＝54°；
解：设∠A＝3x，则∠B＝4x，∠C＝5x.
由题意得3x＋4x＋5x＝180°，
解得x＝15°.
∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°.
(3)∠A：∠B：∠C＝3：4：5.
9．如图①，线段AB与CD相交于点O，连接AD，CB.如图②，在图①的条件下，∠DAB的平分线AP和∠BCD的平分线CP相交于点P，并且AP交CD于点M，CP交AB于点N，试解答下列问题：
(1)在图①中，∠A，∠B，∠C，
∠D之间的数量关系为______________________；
∠A＋∠D＝∠B＋∠C
(2)在图②中，若∠D＝42°，
∠B＝38°，试求∠P的度数．
再 见