2021-2022学年山东省菏泽市牡丹学校九年级（上）开学数学试卷（Word版 含解析）

2021-2022学年山东省菏泽市牡丹学校九年级（上）开学数学试卷
一、选择题（每小题3分）
1．（3分）下列四幅图片上呈现的是垃圾类型及标识图案，其中标识图案是中心对称图形的是（　　）
A．厨余垃圾 B．可回收物
C．其他垃圾 D．有害垃圾
2．（3分）下列等式从左到右变形，属于因式分解的是（　　）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2
C．2a﹣1＝a（2﹣） D．x2+6x+8＝x（x+6）+8
3．（3分）不等式组的解集是x＞4，那么m的取值范围是（　　）
A．m≤4 B．m≥4 C．m＜4 D．m＝4
4．（3分）自带水杯已成为人们良好的健康卫生习惯．某公司为员工购买甲、乙两种型号的水杯，用720元购买甲种水杯的数量和用540元购买乙种水杯的数量相同，已知甲种水杯的单价比乙种水杯的单价多15元．设甲种水杯的单价为x元（　　）
A． B．
C． D．
5．（3分）如图，将一副三角板在平行四边形ABCD中作如下摆放，设∠1＝30°（　　）
A．55° B．65° C．75° D．85°
6．（3分）已知，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E分别是AB，BC的中点，使得CF＝AC，则AB的长为（　　）
A．8 B． C．4 D．
7．（3分）对于实数a，b定义运算“☆”如下：a☆b＝ab2﹣ab，例如3☆2＝3×22﹣3×2＝6，则方程1☆x＝2的根的情况为（　　）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
8．（3分）如图，在 ABCD中，对角线BD⊥AD，AD＝6，O为BD的中点，直线EO交CD于点F，连接DE（　　）
A．四边形DEBF为平行四边形
B．若AE＝3.6，则四边形DEBF为矩形
C．若AE＝5，则四边形DEBF为菱形
D．若AE＝4.8，则四边形DEBF为正方形
二.填空题（每小题3分）
9．（3分）分解因式：3x3﹣3x＝　 　．
10．（3分）若关于x的分式方程有增根，则m的值为 　 　．
11．（3分）“杂交水稻之父”袁隆平为提高水稻的产量奉献了自己的一生．某村种植了杂交水稻2018年的平均亩产300千克，2020年平均亩产363千克，则此水稻亩产量的平均增长率为 　 　．
12．（3分）已知菱形ABCD的边长为6，∠A＝60°，如果点P是菱形内的一点，那么AP的长为　 　．
三.解答题
13．（10分）解下列方程．
（1）4x2+6x﹣5＝0（用配方法）；
（2）2（x﹣3）2＝x2﹣9．
14．（7分）解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来．
15．（7分）先化简，再求值：1+÷，其中m＝﹣．
16．（12分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明四边形ADCF是菱形．
17．（12分）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，日销售量增加10件．
（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，使其销售价格不超过（1）中的售价
18．（16分）如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，且PA＝PE，PE交CD于F．
（1）证明：PC＝PE；
（2）求∠CPE的度数；
（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系
2021-2022学年山东省菏泽市牡丹学校九年级（上）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分）
1．（3分）下列四幅图片上呈现的是垃圾类型及标识图案，其中标识图案是中心对称图形的是（　　）
A．厨余垃圾 B．可回收物
C．其他垃圾 D．有害垃圾
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°后与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．据此判断即可．
【解答】解：选项A、B、C均不能找到这样的一个点，所以不是中心对称图形．
选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与自身重合．
故选：D．
2．（3分）下列等式从左到右变形，属于因式分解的是（　　）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2
C．2a﹣1＝a（2﹣） D．x2+6x+8＝x（x+6）+8
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．根据定义即可进行判断．
【解答】解：A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，原变形是整式乘法，不是因式分解；
B．x7﹣2x+1＝（x﹣8）2，把一个多项式化为几个整式的积的形式，原变形是因式分解；
C．2a﹣6＝a（2﹣），不是因式分解；
D．x4+6x+8＝x（x+8）+8，等式的右边不是几个整式的积的形式，故此选项不符合题意；
故选：B．
3．（3分）不等式组的解集是x＞4，那么m的取值范围是（　　）
A．m≤4 B．m≥4 C．m＜4 D．m＝4
【分析】先求出不等式的解集，再根据不等式组的解集得出答案即可．
【解答】解：，
解不等式①得：x＞6，
∵不等式组的解集是x＞3，
∴m≤4，
故选：A．
4．（3分）自带水杯已成为人们良好的健康卫生习惯．某公司为员工购买甲、乙两种型号的水杯，用720元购买甲种水杯的数量和用540元购买乙种水杯的数量相同，已知甲种水杯的单价比乙种水杯的单价多15元．设甲种水杯的单价为x元（　　）
A． B．
C． D．
【分析】设甲种水杯的单价为x元，则乙种水杯的单价为（x﹣15）元，利用数量＝总价÷单价，结合用720元购买甲种水杯的数量和用540元购买乙种水杯的数量相同，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：设甲种水杯的单价为x元，则乙种水杯的单价为（x﹣15）元，
依题意得：＝．
故选：A．
5．（3分）如图，将一副三角板在平行四边形ABCD中作如下摆放，设∠1＝30°（　　）
A．55° B．65° C．75° D．85°
【分析】根据等腰直角三角形的性质求出∠FHE＝45°，求出∠NHB＝∠FHE＝45°，根据三角形内角和定理求出∠HNB＝105°，根据平行四边形的性质得出CD∥AB，根据平行线的性质得出∠2+∠HNB＝180°，再求出答案即可．
【解答】解：延长EH交AB于N，
∵△EFH是等腰直角三角形，
∴∠FHE＝45°，
∴∠NHB＝∠FHE＝45°，
∵∠1＝30°，
∴∠HNB＝180°﹣∠1﹣∠NHB＝105°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠8+∠HNB＝180°，
∴∠2＝75°，
故选：C．
6．（3分）已知，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E分别是AB，BC的中点，使得CF＝AC，则AB的长为（　　）
A．8 B． C．4 D．
【分析】连接CD，证明四边形CDEF是平行四边形，则CD＝EF＝4，再利用直角三角形斜边上的中线性质可求AB长．
【解答】解：连接CD，
∵点D，E分别是AB，
∴DE∥AC，DE＝．
∵延长AC到F，使得CF＝，
∴DE∥CF且DE＝CF，
∴四边形CDEF是平行四边形．
∴CD＝EF＝4．
∵∠ACB＝90°，CD为斜边AB中线，
∴AB＝5CD＝8．
故选：A．
7．（3分）对于实数a，b定义运算“☆”如下：a☆b＝ab2﹣ab，例如3☆2＝3×22﹣3×2＝6，则方程1☆x＝2的根的情况为（　　）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【分析】根据运算“☆”的定义将方程1☆x＝2转化为一般式，由根的判别式Δ＝9＞0，即可得出该方程有两个不相等的实数根．
【解答】解：∵1☆x＝2，
∴6 x2﹣1 x＝6，
∴x2﹣x﹣2＝7，
∴Δ＝（﹣1）2﹣3×1×（﹣2）＝5＞0，
∴方程1☆x＝2有两个不相等的实数根．
故选：D．
8．（3分）如图，在 ABCD中，对角线BD⊥AD，AD＝6，O为BD的中点，直线EO交CD于点F，连接DE（　　）
A．四边形DEBF为平行四边形
B．若AE＝3.6，则四边形DEBF为矩形
C．若AE＝5，则四边形DEBF为菱形
D．若AE＝4.8，则四边形DEBF为正方形
【分析】根据平行四边形的判定方法，矩形的判定方法，菱形的判定方法，正方形的判定方法解答即可．
【解答】解：∵O为BD的中点，
∴OB＝OD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠CDO＝∠EBO，∠DFO＝∠OEB，
∴△FDO≌△EBO（AAS），
∴OE＝OF，
∴四边形DEBF为平行四边形，
故A选项不符合题意，
若AE＝3.6，AD＝4，
∴，
又∵，
∴，
∵∠DAE＝∠BAD，
∴△DAE∽△BAD，
∴∠AED＝∠ADB＝90°．
∴四边形DEBF为矩形．
故B选项不符合题意，
∵AB＝10，AE＝5，
∴BE＝5，
又∵∠ADB＝90°，
∴DE＝AB＝5，
∴DE＝BE，
∴四边形DEBF为菱形．
故C选项不符合题意，
∵AE＝3.3时，四边形DEBF为矩形，四边形DEBF为菱形，
∴AE＝4.8时，四边形DEBF不可能是正方形．
故选项D符合题意．
故选：D．
二.填空题（每小题3分）
9．（3分）分解因式：3x3﹣3x＝　3x（x﹣1）（x+1）　．
【分析】首先提取公因式3x，再利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：3x3﹣4x
＝3x（x2﹣4）
＝3x（x﹣1）（x+3）．
故答案为：3x（x﹣1）（x+6）．
10．（3分）若关于x的分式方程有增根，则m的值为 　4　．
【分析】首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到x﹣2＝0，据此求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．
【解答】解：去分母，得：2x＝m+（x﹣2），
由分式方程有增根，得到x﹣7＝0，
把x＝2代入整式方程，可得：m＝8．
故答案为：4．
11．（3分）“杂交水稻之父”袁隆平为提高水稻的产量奉献了自己的一生．某村种植了杂交水稻2018年的平均亩产300千克，2020年平均亩产363千克，则此水稻亩产量的平均增长率为 　10%　．
【分析】设水稻亩产量的年平均增长率为x，根据“2018年平均亩产×1加增长率的平方＝2020年平均亩产”即可列出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：设水稻亩产量的年平均增长率为x，
根据题意得：300×（1+x）2＝363，
解得：x＝10%或x＝﹣210%（舍去）．
答：水稻亩产量的年平均增长率为10%．
故答案为：10%．
12．（3分）已知菱形ABCD的边长为6，∠A＝60°，如果点P是菱形内的一点，那么AP的长为　3+1或3﹣1　．
【分析】此题要分两种情况：当P与A在BD的异侧时；当P与A在BD的同侧时，分别计算出AP长即可．
【解答】解：当P与A在BD的异侧时：连接AP交BD于M，
∵AD＝AB，DP＝BP，
∴AP⊥BD（到线段两端距离相等的点在垂直平分线上），
在直角△ABM中，∠BAM＝30°，
∴AM＝AB cos30°＝3，BM＝AB sin30°＝3，
∴PM＝＝2，
∴AP＝AM+PM＝3+4；
当P与A在BD的同侧时：连接AP并延长AP交BD于点M
AP＝AM﹣PM＝3﹣7；
当P与M重合时，PD＝PB＝3矛盾．
AP的长为3+1或3．
故答案为3+3或3．
三.解答题
13．（10分）解下列方程．
（1）4x2+6x﹣5＝0（用配方法）；
（2）2（x﹣3）2＝x2﹣9．
【分析】（1）将常数项移到方程的右边，然后将二次项系数化为1，继而两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得；
（2）移项后利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）∵4x2+6x﹣5＝0，
移项得：8x2+6x＝8；
系数化为1得：；
配方得：；
化简得：
解得：；；
（2）∵2（x﹣3）＝（x+3）（x﹣6）；
移项：2（x﹣3）﹣（x+3）（x﹣3）＝0，
提取公因式：（x﹣3）（2x﹣6﹣x﹣6）＝0，
化简：（x﹣3）（x﹣2）＝0，
则：x﹣3＝7或x﹣9＝0，
解得：x4＝3，x2＝3．
14．（7分）解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式﹣1＜，
解不等式5x≥7x﹣3，得：x≤3，
则不等式组的解集为﹣6＜x≤3，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
15．（7分）先化简，再求值：1+÷，其中m＝﹣．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由已知等式得出m＝﹣n，代入、约分即可．
【解答】解：原式＝1+
＝1﹣
＝﹣
＝，
∵＝﹣，
∴m＝﹣n，
则原式＝＝＝﹣6．
16．（12分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明四边形ADCF是菱形．
【分析】（1）根据AAS证△AFE≌△DBE；
（2）利用（1）中全等三角形的对应边相等得到AF＝BD．结合已知条件，利用“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得到ADCF是菱形，由“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”得到AD＝DC，从而得出结论．
【解答】证明：（1）∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，
∴AE＝DE，BD＝CD，
在△AFE和△DBE中，
，
∴△AFE≌△DBE（AAS）；
（2）由（1）知，△AFE≌△DBE．
∵DB＝DC，
∴AF＝CD．
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD＝DC＝BC，
∴四边形ADCF是菱形．
17．（12分）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，日销售量增加10件．
（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，使其销售价格不超过（1）中的售价
【分析】（1）根据日利润＝每件利润×日销售量，可求出售价为60元时的原利润，设售价应定为x元，则每件的利润为（x﹣40）元，日销售量为20+＝（140﹣2x）件，根据日利润＝每件利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
（2）设该商品需要打a折销售，根据销售价格不超过50元，列出不等式求解即可．
【解答】解：（1）设售价应定为x元，则每件的利润为（x﹣40）元＝（140﹣2x）件，
依题意，得：（x﹣40）（140﹣5x）＝（60﹣40）×20，
整理，得：x2﹣110x+3000＝0，
解得：x2＝50，x2＝60（舍去）．
答：售价应定为50元；
（2）该商品需要打a折销售，
由题意，得，62.5×，
解得：a≤7，
答：该商品至少需打8折销售．
18．（16分）如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，且PA＝PE，PE交CD于F．
（1）证明：PC＝PE；
（2）求∠CPE的度数；
（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系
【分析】（1）欲证明PC＝PE，只要证明△ABP≌△CBP即可；
（2）利用“8字型”证明角相等即可解决问题；
（3）首先证明△ABP≌△CBP（SAS）推出PA＝PC，∠BAP＝∠BCP，再证明△EPC是等边三角形，可得PC＝CE，即可解决问题；
【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝BC，
∠ABP＝∠CBP＝45°，
在△ABP和△CBP中，
，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA＝PC，
∵PA＝PE，
∴PC＝PE；
（2）由（1）知，△ABP≌△CBP，
∴∠BAP＝∠BCP，
∴∠DAP＝∠DCP，
∵PA＝PE，
∴∠DAP＝∠E，
∴∠DCP＝∠E，
∵∠CFP＝∠EFD（对顶角相等），
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF＝180°﹣∠DFE﹣∠E，
即∠CPF＝∠EDF＝90°；
（3）在菱形ABCD中，AB＝BC，
在△ABP和△CBP中，
，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA＝PC，∠BAP＝∠BCP，
∵PA＝PE，∴PC＝PE，
∵PA＝PE，∴∠DAP＝∠DEP，
∵∠CFP＝∠EFD，∴∠CPF＝∠EDF
∵∠ABC＝∠ADC＝120°，
∴∠CPF＝∠EDF＝180°﹣∠ADC＝60°，
∴△EPC是等边三角形，
∴PC＝CE，
∴AP＝CE；