海南省东方市琼西中学2021-2022学年高一上学期第一次月考（10月）数学试卷（PDF版含答案解析）

2021--2022学年度第一学期第一次月考
高一数学
第 I 卷（选择题）
一、单选题（共 60分，1-8是单选题，每题 5分，9-12是多选题，每题 5分，漏选得 2
分，有选错的不得分）
1．下列各选项中的对象不能构成集合的是（ ）
A．小于 5的自然数 B．著名的艺术家
C．曲线 y = x2上的点 D．不等式 2x 1 7的整数解
2．下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．M {(3,2)}， N {(2,3)} B．M {4,5}， N {5,4}
C．M (x, y) x y 1 ， N y x y 1 D．M {1,2}， N {(1,2)}
3．集合{x| 3 2x 1 3，x∈Z}等于（ ）
A．{1，2} B．{0，1，2}
C．{ 1，0，1，2} D．{0，1}
4．已知集合 A {x∣ 1 x 3}， B { 2,1,2,4}，则 B RA （ ）
A． B． 1,2 C． 2,4 D． 2,1,2
5．命题“ ， sin sin ”的否定为（ ）
A． ， sin sin B． ， sin sin
C． ， sin sin D． ， sin sin
6．王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中“攻破楼兰”
是“返回家乡”的（ ）
A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．设 a，b， c为实数且 a b，则下列不等式一定成立的是（ ）
1 1
A． B． a2 b2
a b
C． ac2 bc2 D． 2021a b 1
8．设0 a b，则下列不等式中正确的是
a b a b
A． a b ab B． a ab b
2 2
C． a ab
a b a b
b D． ab a b
2 2
试卷第 1页，共 4页
9．下面四个说法中错误的是（ ）
A．10以内的质数组成的集合是{2，3，5，7}
B．由 1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}
C．方程 x2﹣2x+1＝0的所有解组成的集合是{1，1}
D．0与{0}表示同一个集合
10．下列关系式正确的为（ ）
A． a,b b,a B． 0 C．0 0 D． 0
11．若集合 A具有以下性质：
1
（1）0∈A，1∈A； （2）若 x∈A，y∈A；则 x﹣y∈A，且 x≠0时， ∈A．
x
则称集合 A是“好集”．下列命题中正确的是（ ）
A．集合 B＝{﹣1，0，1}是“好集” B．有理数集 Q是“好集”
C．整数集 Z不是“好集” D．设集合 A是“好集”，若 x∈A，y∈A，则 x+y∈A
12．下列各命题中 P是 Q的充分不必要条件的是（ ）
A．P： x 1；Q： x2 1； B．P：a b；Q： a c b c
C．P：四边形为菱形；Q：四边形的对角线垂直； D．P： a b；Q： ac bc
第 II 卷（非选择题）
二、填空题（每题 5分，共 20分）
3
13．若 x 0，则函数 f (x) x 的最小值为____________，此时 x __________.
x
14．已知集合M a2 ,a 1 ， N 0, 1 ，若M = N ，则 a ______.
15．已知集合 A {0,1}，则集合 A的子集个数为_____________.
16．已知全集U R，集合M x Z x 1 3 ， N 4, 2,0,1,5 ，则下列 Venn图
中阴影部分的集合为___________．
五、解答题（共 6题，共 70分，解答要写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知集合 A {x N | 1 x 3} .
（1）用列举法表示集合 A；
（2）写出集合 A的所有子集.
试卷第 2页，共 4页
18 2．（12分）设全集为 Z， A x | x 2x 15 0 ，B {x | ax 1 0}．
a 1（1）若 ，求 A ZB ；5
（2）若 B A，求实数 a的取值组成的集合C .
19．已知 x 0，求 x
2
1 的最小值．
x
甲、乙两位同学的解答过程分别如下：
乙同学的解答：
甲同学的解答：
因为 x 0，
因为 x 0，
2 2
所以 x 1 x 1
所以 x 1 2 2 (x 2 1) ． x x
x x
2 2 x
2
1
上式中等号成立当且仅当 x 1 ， x
x
2 2 1．
即 x2 x 2 0，
2
上式中等号成立当且仅当 x ，
解得 x1 2, x2 1（舍）． x
即 x2 2，
2
当 x 2时， 2 (x 1) 2．
x 解得 x1 2, x2 2（舍）．
2
所以当 x 2时， x 1 的最小值为 2．
x 所以当 x 2 时， x 1
2
的最小值为
x 2 2 1
．
以上两位同学写出的结论一个正确，另一个错误．
请先指出哪位同学的结论错误，然后再指出该同学解答过程中的错误之处，并说明错误
的原因．
20．设全集U R，集合 A {x∣1 x 3}, B {x∣2x 4 x 2}．
（1）求 U (A B)；
（2）若集合C {x∣2x a 0}，且 B是 C的真子集，求实数 a的取值范围．
试卷第 3页，共 4页
1
21．求函数 y x(x 3)的最小值.
x 3
22．已知集合 A x 2 x 5 ， B x m 1 x 2m 1 ．
（1）若m 4，求 A B；
（2）若 A B ，求实数m的取值范围．
试卷第 4页，共 4页
参考答案
1．B
【分析】
由集合中元素的特性逐一对四个选项进行分析即可得解.
【详解】
依题意，A、C、D三个选项中的对象有明确的标准，满足集合中元素的特性，
而选项 B中的对象没有明确的标准，不满足确定性，故不能构成一个集合.
故选：B.
2．B
【分析】
根据集合的元素是否相同判断即可．
【详解】
解：A两个集合的元素不相同，点的坐标不同，
B两个集合的元素相同，
C中 M的元素为点，N的元素为数，
D中 M的元素为点，N的元素为数，
故 A，C，D都不对．
故选：B．
3．B
【分析】
解不等式确定 x的范围，再由 x是整数得集合中的元素．
【详解】
解：{x| 3 2x 1 3，x∈Z}={x| 2<2x≤4，x∈Z}={x| 1故选：B．
4．C
【分析】
先求出 A集合在 R中的补集，再与 B取交集.
【详解】
B RA 2,1,2,4 {x|x＜-1或 x＞3}= 2,4
故选：C.
答案第 1页，共 8页
5．C
【分析】
根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.
【详解】
由全称命题与存在性命题的关系，可得：
命题“ ， sin sin ”的否定为“ ， sin sin ”.
故选：C.
6．B
【分析】
由推出关系即可判断得到结论.
【详解】
由题意知：“攻破楼兰”未必“返回家乡”，即“攻破楼兰” “返回家乡”；
若“返回家乡”则必然“攻破楼兰”，即“返回家乡” “攻破楼兰”；
“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件.
故选：B.
7．D
【分析】
利用特殊值法可判断 AB选项，取 c = 0可判断 C选项，利用指数函数的单调性可判断 D选
项.
【详解】
1 1 1
对于 A，取 a 2，b 1，满 a b，但 1，即此时 ．所以 A错误；
2 a b
对于 B，反例： a 1，b 5，满足 a b，但不满足 a2 b2，所以 B错误；
对于 C，当 c = 0时， ac2 bc2 0，所以 C错误；
对于 D，由 a b知a b 0，所以 2021a b 1，故 D正确．
故选：D.
8．B
【分析】
利用基本不等式和不等式的传递性即可选出答案.
【详解】
答案第 2页，共 8页
a b a b b b
∵0 a b，由基本不等式得 ab 2，∴ a a ab b
2 2 2
故选：B.
9．CD
【分析】
结合集合的表示及元素与集合的基本关系分别检验各选项即可判断．
【详解】
解：10以内的质数组成的集合是{2，3，5，7}，故 A正确；
由集合中元素的无序性知{1，2，3}和{3，2，1}表示同一集合，故 B正确；
方程 x2﹣2x+1＝0的所有解组成的集合是{1}，故 C错误；
由集合的表示方法知 0不是集合，故 D错误，
故选：CD．
10．ACD
【分析】
根据任何集合是它本身的子集，即可判断 A；根据集合和空集的定义，即可判断 B；根据元
素和集合间的关系，即可判断 C；根据空集是任何集合的子集，即可判断 D，从而得出答案.
【详解】
解：对于选项 A，由于任何集合是它本身的子集，所以 a,b b,a ，故 A正确；
对于选项 B， 0 是指元素为 0的集合，而 表示空集，是指不含任何元素的集合，
所以 0 ，故 B错误；
对于选项 C， 0 是指元素为 0的集合，所以0 0 ，故 C正确；
对于选项 D，由于空集是任何集合的子集，所以 0 ，故 D正确.
故选：ACD.
11．BCD
【分析】
逐一判断给定的 3个集合，是否满足“好集”的定义，最后综合讨论结果，可得答案．
【详解】
解：对于A，假设集合 B是“好集”，因为 1 B，1 B，所以 1 1 2 B，这与 2 B矛
盾，所以集合 B不是“好集”．故A错误；
答案第 3页，共 8页
对于 B，因为0 Q，1 Q，且对任意的 x Q， y Q
1
有 x y Q，且 x 0时， Q，所以
x
有理数集Q是“好集”，故 B正确；
对于C
1
，因为 2 Z，但 Z，所以整数集 Z不是“好集”．故C正确；
2
因为集合A是“好集”，所以0 A，又 y A，所以 0 y A，即 y A，又 x A，所以
x ( y) A，即 x y A，故D正确．
故选：BCD．
12．AC
【分析】
根据题意，结合充分条件、必要条件的方法，逐项判定，即可求解.
【详解】
对于 A中，当 x 1时，可得 x2 1，即充分性成立；
反之：当 x2 1，可得 x 1，所以必要性不成立，
所以 p是q的充分不必要条件，所以 A正确；
对于 B中，当a b时，可得 a c b c，即充分性成立；
反之：当 a c b c时，可得 a b，所以必要性成立，
所以 p是q的充分必要条件，所以 B不正确；
对于 C中，由四边形为菱形，可得四边形的对角线垂直，即充分性成立；
反之：当四边形的对角线垂直，四边形不一定是菱形，所以必要性不成立，
所以 p是q的充分不必要条件，所以 C正确；
对于 D中，例如：由 a b，且 c 0时，可得 ac bc，即充分性不成立，
反之：由 ac bc，当 c 0时，可得 a b；当 c 0时，可得 a b，即必要性不成立，
所以 p是q的既不充分也不必要条件，所以 D正确.
故选：AC.
13． 2 3 3
【分析】
根据基本不等式即可求出．
【详解】
3
因为 x 0，所以 f (x) x 2 3，当且仅当 时取等号，
x x 3
答案第 4页，共 8页
即函数 f (x)
3
x 的最小值为
x 2 3
，此时 x 3．
故答案为：2 3； 3．
14．0
【分析】
根据集合相等的定义和集合中元素的互异性，即可求出 a的值.
【详解】
2
解：由题可知，M a ,a 1 ， N 0, 1 ，
因为M = N，
而 a2 0，所以 a2 0，a 1 1，则 a 0 .
故答案为：0.
15．4
【分析】
根据公式可求给定集合子集的个数.
【详解】
因为 A中元素个数为 2，故其子集的个数为 22 4，
故答案为：4.
16． 1, 2,3
【分析】
由给定条件求出集合 M，再由 Venn图中阴影部分表示的意义求解即得．
【详解】
由题意，集合M x Z x 1 3 x Z 2 x 4 1,0,1,2,3 ，
则 Venn图中阴影部分表示的集合是M RN 1, 2,3 ．
故答案为： 1, 2,3 .
17．（1） A {0,1, 2}；（2） ,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2}；
【分析】
（1）由集合 A的描述列举出所有元素，按列举法写出集合 A.
（2）根据子集的定义，由（1）所得的集合中的元素，写出所有子集
答案第 5页，共 8页
【详解】
（1）由已知集合 A可知： A {0,1, 2}；
（2）由（1）知：集合 A的所有子集有 ,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2}；
18．（1） A ZB {3} 1 1；（2）C , ,0 5 3 .
【分析】
1
（1）解一元二次方程，求出集合A，当 a ，代入求出集合 B，根据集合的补集和交集
5
的运算，即可得出 A ZB 的结果；
1
（2）根据题意，可知当 B 时， a 0，此时满足 B A；当 B 时， B a ，由子
集的含义，列式求出实数 a，从而得到集合C .
【详解】
2
解：（1） A x | x 2x 15 0 { 5,3}，
当 a
1
，则 B {x | ax 1 0} { 5}，则 A ZB {3}；5
（2）当 B 时， a 0，此时满足 B A，
1
当B 时， B ，此时若满足 B A，
a
1 5 1 1 1则 或 3，解得 a 或a ，
a a 5 3
C 1 , 1综上得： ,0

．
5 3


19．见解析
【分析】
根据基本不等式“一正二定三相等”可判断甲是错误的.
【详解】
甲同学的解答是错误的，
x 1 2 2 (x 1) 2 不对，
x x
不满足基本不等式：“一正二定三相等”中，“定”的要求，即积不是定值，不可以这样求解.
20．（1）{x∣x 2或 x 3}；（2） ( 4, ) .
【分析】
（1）解不等式求出集合 B，再求出两集合的交集，从而可求出 U (A B)，
答案第 6页，共 8页
a
（2）先求出集合 C，再由 B是 C的真子集，可得 2，从而可求出实数 a的取值范围
2
【详解】
解：（1） B {x∣2x 4 x 2} {x∣x 2}, A {x∣1 x 3}，
A B {x∣2 x 3}，
CU (A B) {x∣x 2或 x 3}；
a
（2）C {∣x2x a 0} ∣x x 2
，

B C
a
2, a 4，
2
实数 a的取值范围为 ( 4, )．
21．5
【分析】
1
式子化为 x 3 3，再利用基本不等式即可求解.
x 3
【详解】
因为 x 3，
所以 x 3 0，
1 1
所以 y x 3 3 2 (x 3) 3 5，
x 3 x 3
当且仅当 x 3
1
即 x 4时取等号，此时取得最小值 5.
x 3
22．（1） x 2 x 7 ；（2） m m 2或m 4 .
【分析】
（1）当m 4时，求出集合 B，利用并集的定义可求得集合 A B；
（2）分 B 、B 两种情况讨论，结合 A B 可得出关于实数m的不等式，综合可
求得实数m的取值范围.
【详解】
（1）当m 4时， B x 5 x 7 ，故 A B x 2 x 7 ；
（2）当m 1 2m 1时，即当m 2时， B ，则 A B ；
当m 1 2m 1时，即当m 2时， B ，
答案第 7页，共 8页
因为 A B
1
，则 2m 1 2或m 1 5，解得m 或m 4，此时有m 4 .
2
综上所述，实数m的取值范围是 m m 2或m 4 .
答案第 8页，共 8页