2021-2022学年数学人教A版（2019）选择性必修第一册第二章 直线和圆的方程 综合测评卷（A卷）（Word含答案解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年数学人教A版（2019）选择性必修第一册第二章 直线和圆的方程 综合测评卷（A卷）（Word含答案解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 973.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-10-30 22:42:40 | ||
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文档简介
第二章 直线和圆的方程 综合测评卷（A卷）
一、单选题
1．图中的直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则（ ）
A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k1＜k2
C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k2
2．过点的直线l将圆分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率为（ ）
A． B． C． D．
3．下列直线方程纵截距为的选项为（ ）
A． B． C． D．
4．设，直线过定点，直线过定点，则=（ ）
A． B． C． D．1
5．已知圆，圆，，分别为圆，圆上的点，为轴上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知圆的圆心在直线上，则该圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数(且)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点、间的距离为，动点与、距离之比为，当、、不共线时，面积的最大值是（ ）.
A． B． C． D．
8．已知点，．若直线与线段相交，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知圆的一般方程为，则下列说法正确的是（ ）.
A．圆的圆心为
B．圆被轴截得的弦长为
C．圆的半径为
D．圆被轴截得的弦长为
10．瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作，，点，点，且其“欧拉线”与圆相切，则下列结论正确的是（ ）
A．的“欧拉线”方程为
B．圆上点到直线的最大距离为
C．若点在圆上，则的最小值是
D．圆与圆有公共点，则的取值范围是，
11．瑞士著名数学家欧拉在年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．若满足，顶点、，且其“欧拉线”与圆相切，则下列结论正确的是（ ）
A．圆上的点到原点的最大距离为
B．圆上存在三个点到直线的距离为
C．若点在圆上，则的最小值是
D．若圆与圆有公共点，则
12．对于直线：，下列说法错误的是（ ）
A．直线恒过定点 B．直线斜率必定存在
C．时直线的倾斜角为 D．时直线与两坐标轴围成的三角形面积为
三、填空题
13．已知圆，过点的直线交圆于不同的两点，当圆上的点到直线的距离的最大值为6时，直线的方程为______．
14．已知实数a，b，c，d满足，则的最小值为____________
15．已知点，，若点在函数的图象上，则使得的面积为2的点的个数为___________.
16．已知，为实数，代数式的最小值是______.
四、解答题
17．已知半径为5的动圆的圆心在直线：上.
（1）若动圆过点，求圆的方程.
（2）是否存在正实数，使得动圆中满足与圆：相外切的圆有且仅有一个？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.
18．已知直线与圆.
（1）判断直线是否过定点？若是，求该定点坐标；
（2）当圆截直线所得弦长最小时，求的值.
19．以三角形边，，为边向形外作正三角形，，，则，，三线共点，该点称为的正等角中心．当的每个内角都小于120 时，正等角中心点P满足以下性质：
（1）；
（2）正等角中心是到该三角形三个顶点距离之和最小的点（也即费马点）．
由以上性质求的最小值．
20．已知圆.
（1）若圆的切线在轴和轴上的截距相等，求此切线的方程；
（2）从圆外一点向该圆引一条切线，切点为，为坐标原点，若，求的最小值及使得取得最小值的点的坐标.
21．已知点，圆．
（1）若过点的直线与圆相切，求直线的方程；
（2）若直线与圆相交于A，两点，弦的长为，求的值．
22．已知的三个顶点、、.
（1）求边所在直线的方程；
（2）边上中线的方程为，且，求点A的坐标.
参考答案
1．D
【解析】由题可得，直线l1的倾斜角为钝角，
∴直线l1的斜率k1＜0，
由于l2、l3的倾斜角为锐角，且l2的倾斜角大于直线l3的倾斜角，
∴k2＞k3＞0，
∴k1＜k3＜k2，
故选：D．
2．C
【解析】圆的圆心为，
在圆内.
所以当时，劣弧所对的圆心角最小，
.
故选：C
3．B
【解析】直线的纵截距为，直线的纵截距为，直线的纵截距为，直线的纵截距为.
故选：B.
4．A
【解析】对于，当时，，即过定点，即.
对于，其方程可以写成，由，
得直线过定点，即.
所以.
故选:A
5．D
【解析】如图所示，
圆关于轴对称的圆的圆心坐标为，半径为1，圆的圆心坐标为，半径为3.设为点关于轴对称的点，由图象可知，当，，三点共线时，取得最小值，且的最小值为圆与圆的连心线的长减去两个圆的半径之和，即.
故选：D.
6．A
【解析】圆的方程可化为，其圆心为.依题意得，，解得，圆的半径为，面积为，
故选：A.
7．D
【解析】如图，以经过、的直线为轴，线段的垂直平分线为轴建系，如图：
则、，设，
∵，∴，
两边平方并整理得：，
所以圆的半径为，
∴面积的最大值是.
故选：D．
8．A
【解析】设直线过定点，则直线可写成，
令解得直线必过定点．
，．直线与线段相交，
由图象知，或，解得或，
则实数的取值范围是．
故选：A
9．ABD
【解析】由圆的一般方程，得圆的标准方程为，
故圆心为，半径为，则A选项正确、C选项错误，
令，得或，弦长为，则D选项正确，
令，得或，弦长为，则B选项正确，
故选：ABD．
10．ACD
【解析】解：，由题意可得三角形的欧拉线为的中垂线，
由，点可得的中点为，，且，
线段的中垂线方程为：，即，故正确；
三角形的“欧拉线”与圆相切，
圆心到直线的距离，
圆的方程为：，
圆心到直线的距离，
圆上点到直线的距离的最大值为，故错误；
令，，代入圆的方程，
可得，由于在圆上，有根，
则△，整理得：，解得：，
的最小值为，即的最小值为，故正确；
圆心坐标，半径为，
圆的的圆心坐标为，半径为，
要使圆与圆有公共点，则圆心距，，即圆心距，，
，
即：，解得，故正确．
故选：．
11．BD
【解析】由题意，为等腰三角形，的欧拉线即的垂直平分线，
、，的中点坐标为，直线的斜率为，
则的垂直平分线方程为，即．
由“欧拉线”与圆相切，
所以，圆心到直线的距离为，
则圆的方程为，
圆心到原点的距离为，则圆上的点到原点的最大距离为，故A错误；
圆心到直线的距离为，
圆上存在三个点到直线的距离为，故B正确；
的几何意义为圆上的点与定点连线的斜率，
设，即，则直线与圆有公共点，
由，解得，的最小值是，故C错误；
的圆心坐标，半径为，
圆的圆心坐标为，半径为，
要使圆与圆有公共点，则圆心距的范围为，
所以，,解得，故D正确．
故选：BD．
12．BC
【解析】A：由直线方程知：恒过定点，正确；
B：当时，直线斜率不存在，错误；
C：时有，即，则倾斜角为，错误；
D：时，直线，则x、y轴交点分别为，所以直线与两坐标轴围成的三角形面积为，正确；
故选：BC.
13．
【解析】由题意知，圆的圆心为，半径，
易知点在圆的内部．
设圆的圆心到直线的距离为，
则圆上的点到直线的距离的最大值为，
所以，可得．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
所以，解得，
所以直线的方程为；
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，不满足题意．
综上，直线的方程为．
故答案为：
14．
【解析】∵实数a，b，c，d满足，
∴，，
∴点在直线上，点在直线上，
∴的几何意义就是直线上的点到直线上点的距离的平方，
故所求最小值为.
故答案为：.
15．
【解析】因为点，，所以直线的方程为，即；
且，
因为的面积为2，设点到直线的距离为，
则，可得，
设点，则点到的距离，
可得，所以或，
解得：，，，，
所以使得的面积为2的点的个数为个，
故答案为：.
16．
【解析】如图所示，
构造点，，，，
，
分别作关于轴的对称点，关于轴的对称点，连接，，，，，
，
当且仅当，分别为与轴 轴的交点时，等号成立，
故答案为：.
17．（1）或；（2）存在，.
【解析】（1）依题意，可设动圆的方程为，
其中圆心满足.
又因为动圆过点，所以.
由，解得或，
故所求圆的方程为或.
（2）圆的圆心到直线的距离，
当满足时，动圆中不存在与圆：相外切的圆；
当满足时，每取一个数值，
动圆中存在两个圆与圆：相外切；
当满足，即时，
动圆中有且仅有1个圆与圆：相外切.
故当动圆中与圆相外切的圆仅有一个时，.
18．（1）过定点，定点为；（2）.
【解析】解：（1）由直线，得，
联立，解得，
则直线过定点；
（2）由圆，得，
则圆的圆心坐标为，
要使圆截直线所得弦长最小，则，
，直线的斜率.
19．
【解析】根据题意，在平面直角坐标系中，令点，，，
则表示坐标系中一点到点、、的距离之和，因为是等腰三角形，，
所以点在轴负半轴上，所以与轴重合，
令的费马点为，则在上，则，
因为是锐角三角形，由性质（1）得，所以，
所以，所以，
到、、的距离分别为，，
所以的最小值,即为费马点到点、、的距离之和，则．
20．（1）或或或；（2），点的坐标为.
【解析】（1）将圆的方程化为标准方程，为，其圆心，半径.
①当切线在两坐标轴上的截距为零时，设切线的方程为，
则圆心到切线的距离为，
即，解得.
切线方程为或.
②当切线在两坐标轴上的截距不为零时，
设切线的方程为，
则圆心到切线的距离为，
即，解得或.
切线方程为或.
综上所述，所求切线方程为或或或.
（2）∵|PO|＝|PM|，
∴＝(x1＋1)2＋(y1－2)2－2，即2x1－4y1＋3＝0，即点P在直线l：2x－4y＋3＝0上．
当|PM|取最小值时，即|OP|取得最小值，此时直线OP⊥l，
∴直线OP的方程为：2x＋y＝0，
解得方程组得，
∴P点坐标为．
21．（1）或；（2）．
【解析】解：（1）由题意知圆心的坐标为，半径，
当过点的直线斜率不存在时，方程为，
由圆心到直线的距离知，直线与圆相切，
当过点的直线存在斜率时，
设方程为，即．
由题意知，
解得，
直线的方程为．
故过点的圆的切线方程为或．
（2）圆心到直线的距离为，
，
解得．
22．（1）；（2）点A坐标为或.
【解析】解：（1）由、得边所在直线方程为，
即；
（2），
则，所以，
A到边所在直线的距离为，
所以，则或，
由于A在直线上，故或，
解得或，
所以或.
一、单选题
1．图中的直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则（ ）
A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k1＜k2
C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k2
2．过点的直线l将圆分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率为（ ）
A． B． C． D．
3．下列直线方程纵截距为的选项为（ ）
A． B． C． D．
4．设，直线过定点，直线过定点，则=（ ）
A． B． C． D．1
5．已知圆，圆，，分别为圆，圆上的点，为轴上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知圆的圆心在直线上，则该圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数(且)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点、间的距离为，动点与、距离之比为，当、、不共线时，面积的最大值是（ ）.
A． B． C． D．
8．已知点，．若直线与线段相交，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知圆的一般方程为，则下列说法正确的是（ ）.
A．圆的圆心为
B．圆被轴截得的弦长为
C．圆的半径为
D．圆被轴截得的弦长为
10．瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作，，点，点，且其“欧拉线”与圆相切，则下列结论正确的是（ ）
A．的“欧拉线”方程为
B．圆上点到直线的最大距离为
C．若点在圆上，则的最小值是
D．圆与圆有公共点，则的取值范围是，
11．瑞士著名数学家欧拉在年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．若满足，顶点、，且其“欧拉线”与圆相切，则下列结论正确的是（ ）
A．圆上的点到原点的最大距离为
B．圆上存在三个点到直线的距离为
C．若点在圆上，则的最小值是
D．若圆与圆有公共点，则
12．对于直线：，下列说法错误的是（ ）
A．直线恒过定点 B．直线斜率必定存在
C．时直线的倾斜角为 D．时直线与两坐标轴围成的三角形面积为
三、填空题
13．已知圆，过点的直线交圆于不同的两点，当圆上的点到直线的距离的最大值为6时，直线的方程为______．
14．已知实数a，b，c，d满足，则的最小值为____________
15．已知点，，若点在函数的图象上，则使得的面积为2的点的个数为___________.
16．已知，为实数，代数式的最小值是______.
四、解答题
17．已知半径为5的动圆的圆心在直线：上.
（1）若动圆过点，求圆的方程.
（2）是否存在正实数，使得动圆中满足与圆：相外切的圆有且仅有一个？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.
18．已知直线与圆.
（1）判断直线是否过定点？若是，求该定点坐标；
（2）当圆截直线所得弦长最小时，求的值.
19．以三角形边，，为边向形外作正三角形，，，则，，三线共点，该点称为的正等角中心．当的每个内角都小于120 时，正等角中心点P满足以下性质：
（1）；
（2）正等角中心是到该三角形三个顶点距离之和最小的点（也即费马点）．
由以上性质求的最小值．
20．已知圆.
（1）若圆的切线在轴和轴上的截距相等，求此切线的方程；
（2）从圆外一点向该圆引一条切线，切点为，为坐标原点，若，求的最小值及使得取得最小值的点的坐标.
21．已知点，圆．
（1）若过点的直线与圆相切，求直线的方程；
（2）若直线与圆相交于A，两点，弦的长为，求的值．
22．已知的三个顶点、、.
（1）求边所在直线的方程；
（2）边上中线的方程为，且，求点A的坐标.
参考答案
1．D
【解析】由题可得，直线l1的倾斜角为钝角，
∴直线l1的斜率k1＜0，
由于l2、l3的倾斜角为锐角，且l2的倾斜角大于直线l3的倾斜角，
∴k2＞k3＞0，
∴k1＜k3＜k2，
故选：D．
2．C
【解析】圆的圆心为，
在圆内.
所以当时，劣弧所对的圆心角最小，
.
故选：C
3．B
【解析】直线的纵截距为，直线的纵截距为，直线的纵截距为，直线的纵截距为.
故选：B.
4．A
【解析】对于，当时，，即过定点，即.
对于，其方程可以写成，由，
得直线过定点，即.
所以.
故选:A
5．D
【解析】如图所示，
圆关于轴对称的圆的圆心坐标为，半径为1，圆的圆心坐标为，半径为3.设为点关于轴对称的点，由图象可知，当，，三点共线时，取得最小值，且的最小值为圆与圆的连心线的长减去两个圆的半径之和，即.
故选：D.
6．A
【解析】圆的方程可化为，其圆心为.依题意得，，解得，圆的半径为，面积为，
故选：A.
7．D
【解析】如图，以经过、的直线为轴，线段的垂直平分线为轴建系，如图：
则、，设，
∵，∴，
两边平方并整理得：，
所以圆的半径为，
∴面积的最大值是.
故选：D．
8．A
【解析】设直线过定点，则直线可写成，
令解得直线必过定点．
，．直线与线段相交，
由图象知，或，解得或，
则实数的取值范围是．
故选：A
9．ABD
【解析】由圆的一般方程，得圆的标准方程为，
故圆心为，半径为，则A选项正确、C选项错误，
令，得或，弦长为，则D选项正确，
令，得或，弦长为，则B选项正确，
故选：ABD．
10．ACD
【解析】解：，由题意可得三角形的欧拉线为的中垂线，
由，点可得的中点为，，且，
线段的中垂线方程为：，即，故正确；
三角形的“欧拉线”与圆相切，
圆心到直线的距离，
圆的方程为：，
圆心到直线的距离，
圆上点到直线的距离的最大值为，故错误；
令，，代入圆的方程，
可得，由于在圆上，有根，
则△，整理得：，解得：，
的最小值为，即的最小值为，故正确；
圆心坐标，半径为，
圆的的圆心坐标为，半径为，
要使圆与圆有公共点，则圆心距，，即圆心距，，
，
即：，解得，故正确．
故选：．
11．BD
【解析】由题意，为等腰三角形，的欧拉线即的垂直平分线，
、，的中点坐标为，直线的斜率为，
则的垂直平分线方程为，即．
由“欧拉线”与圆相切，
所以，圆心到直线的距离为，
则圆的方程为，
圆心到原点的距离为，则圆上的点到原点的最大距离为，故A错误；
圆心到直线的距离为，
圆上存在三个点到直线的距离为，故B正确；
的几何意义为圆上的点与定点连线的斜率，
设，即，则直线与圆有公共点，
由，解得，的最小值是，故C错误；
的圆心坐标，半径为，
圆的圆心坐标为，半径为，
要使圆与圆有公共点，则圆心距的范围为，
所以，,解得，故D正确．
故选：BD．
12．BC
【解析】A：由直线方程知：恒过定点，正确；
B：当时，直线斜率不存在，错误；
C：时有，即，则倾斜角为，错误；
D：时，直线，则x、y轴交点分别为，所以直线与两坐标轴围成的三角形面积为，正确；
故选：BC.
13．
【解析】由题意知，圆的圆心为，半径，
易知点在圆的内部．
设圆的圆心到直线的距离为，
则圆上的点到直线的距离的最大值为，
所以，可得．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
所以，解得，
所以直线的方程为；
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，不满足题意．
综上，直线的方程为．
故答案为：
14．
【解析】∵实数a，b，c，d满足，
∴，，
∴点在直线上，点在直线上，
∴的几何意义就是直线上的点到直线上点的距离的平方，
故所求最小值为.
故答案为：.
15．
【解析】因为点，，所以直线的方程为，即；
且，
因为的面积为2，设点到直线的距离为，
则，可得，
设点，则点到的距离，
可得，所以或，
解得：，，，，
所以使得的面积为2的点的个数为个，
故答案为：.
16．
【解析】如图所示，
构造点，，，，
，
分别作关于轴的对称点，关于轴的对称点，连接，，，，，
，
当且仅当，分别为与轴 轴的交点时，等号成立，
故答案为：.
17．（1）或；（2）存在，.
【解析】（1）依题意，可设动圆的方程为，
其中圆心满足.
又因为动圆过点，所以.
由，解得或，
故所求圆的方程为或.
（2）圆的圆心到直线的距离，
当满足时，动圆中不存在与圆：相外切的圆；
当满足时，每取一个数值，
动圆中存在两个圆与圆：相外切；
当满足，即时，
动圆中有且仅有1个圆与圆：相外切.
故当动圆中与圆相外切的圆仅有一个时，.
18．（1）过定点，定点为；（2）.
【解析】解：（1）由直线，得，
联立，解得，
则直线过定点；
（2）由圆，得，
则圆的圆心坐标为，
要使圆截直线所得弦长最小，则，
，直线的斜率.
19．
【解析】根据题意，在平面直角坐标系中，令点，，，
则表示坐标系中一点到点、、的距离之和，因为是等腰三角形，，
所以点在轴负半轴上，所以与轴重合，
令的费马点为，则在上，则，
因为是锐角三角形，由性质（1）得，所以，
所以，所以，
到、、的距离分别为，，
所以的最小值,即为费马点到点、、的距离之和，则．
20．（1）或或或；（2），点的坐标为.
【解析】（1）将圆的方程化为标准方程，为，其圆心，半径.
①当切线在两坐标轴上的截距为零时，设切线的方程为，
则圆心到切线的距离为，
即，解得.
切线方程为或.
②当切线在两坐标轴上的截距不为零时，
设切线的方程为，
则圆心到切线的距离为，
即，解得或.
切线方程为或.
综上所述，所求切线方程为或或或.
（2）∵|PO|＝|PM|，
∴＝(x1＋1)2＋(y1－2)2－2，即2x1－4y1＋3＝0，即点P在直线l：2x－4y＋3＝0上．
当|PM|取最小值时，即|OP|取得最小值，此时直线OP⊥l，
∴直线OP的方程为：2x＋y＝0，
解得方程组得，
∴P点坐标为．
21．（1）或；（2）．
【解析】解：（1）由题意知圆心的坐标为，半径，
当过点的直线斜率不存在时，方程为，
由圆心到直线的距离知，直线与圆相切，
当过点的直线存在斜率时，
设方程为，即．
由题意知，
解得，
直线的方程为．
故过点的圆的切线方程为或．
（2）圆心到直线的距离为，
，
解得．
22．（1）；（2）点A坐标为或.
【解析】解：（1）由、得边所在直线方程为，
即；
（2），
则，所以，
A到边所在直线的距离为，
所以，则或，
由于A在直线上，故或，
解得或，
所以或.