2021-2022学年数学人教A版（2019）选择性必修第一册第三章 圆锥曲线的方程 综合测评卷（A卷） (Word含答案解析）

第三章 圆锥曲线的方程 综合测评卷（A卷）
一、单选题
1．以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．椭圆与(0A．长轴的长相等
B．短轴的长相等
C．离心率相等
D．焦距相等
3．已知椭圆上一点P到椭圆一个焦点的距离是3，则P点到另一个焦点的距离为（ ）
A．5 B．3 C．2 D．7
4．是任意实数，方程表示的曲线不可能是（ ）
A．圆 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线
5．已知双曲线C：的焦点F到渐近线的距离与顶点A到渐近线的距离之比为3：1，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
6．是方程表示椭圆的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”（其中，），如图所示，其中点，，是相应椭圆的焦点．若是边长为1的等边三角形，则，的值分别为（ ）
A．，1 B．，1 C．5，3 D．5，4
8．已知为坐标原点，是椭圆：（）的左焦点，分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆上一点，且轴.过点的直线与线段交于点，与轴交于点.若直线经过的中点，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．设抛物线：（）的焦点为，点在上，，若以为直径的圆过点，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
10．已知双曲线的左、右焦点分别为、，点为上的一点，且，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的离心率为
B．双曲线的渐近线方程为
C．△的周长为30
D．点在椭圆上
11．已知椭圆的左 右焦点分别为，，离心率为，椭圆的上顶点为，且，双曲线和椭圆有相同焦点，且双曲线的离心率为，为曲线与的一个公共点.若，则下列各项正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．定义：以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线．以下关于共轭双曲线的结论正确的是（ ）
A．与共轭的双曲线是
B．互为共轭的双曲线渐近线不相同
C．互为共轭的双曲线的离心率为、则
D．互为共轭的双曲线的个焦点在同一圆上
三、填空题
13．已知、是离心率为的双曲线的右顶点和右焦点，记、到直线的距离分别为、，则_________．
14．已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________．
15．已知圆：（）和：，动圆与圆，圆均相切，是的内心，且，则的值为__________.
16．已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，若双曲线上一点使，则的值为______．
四、解答题
17．已知曲线C：x2－y2＝1和直线l：y＝kx－1．
（1）若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
（2）若l与C交于A、B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值．
18．在①，②，③轴时，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．
问题：已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且______．
（1）求抛物线的标准方程．
（2）若直线与抛物线交于，两点，求的面积．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
19．如图，曲线由上半椭圆和部分抛物线连接而成，与的公共点为，，其中的离心率为.
（1）求，的值.
（2）过点的直线与，分别交于点，（均异于点，），是否存在直线，使得以为直径的圆恰好过点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
20．如图，椭圆的离心率是，短轴长为，椭圆的左 右顶点为、.过椭圆与抛物线的公共焦点的直线与椭圆相交于两点，与抛物线相交于两点，点为的中点.
（1）求椭圆和抛物线的方程；
（2）记的面积为的面积为，若，求直线在轴上截距的范围.
21．设圆的圆心为，过点且与轴不重合的直线交圆于、两点，过作的平行线交于点.
（1）证明为定值，并写出点的轨迹的方程；
（2）已知点，，过点的直线与曲线交于、两点.记与的面积分别为和，求的最大值.
22．设斜率不为的直线l与抛物线交于A，B两点，与椭圆交于C，D两点，记直线OA，OB，OC，OD的斜率分别为.
（1）若直线l过，证明：；
（2）求证：的值与直线l的斜率的大小无关.
参考答案
1．C
【解析】双曲线的焦点为，，顶点为，，
所以椭圆的焦点坐标为，，顶点为，，
所以，
所依椭圆的方程为.
故选：C
2．D
【解析】椭圆与 (0前者a2＝25，b2＝9，则c2＝16，后者a2＝25－k，b2＝9－k，则．
显然只有D正确．
故选：D
3．D
【解析】解：由题意得，，，
由椭圆的定义可知点P到椭圆的两焦点的距离和为10，
因为点P到椭圆一个焦点的距离是3，
所以点P到椭圆另一个焦点的距离为7
故选：D
4．B
【解析】当时，方程为，此方程为圆；
当时，方程表示的曲线为椭圆；
当时，方程，即，表示为两条直线；
当时，方程表示的曲线为双曲线.
故选：B
5．A
【解析】如图，可知焦点F到渐近线的距离与顶点A到渐近线的距离之比为3：1，
即，，
所以双曲线的渐近线方程为.
故选：A.
6．B
【解析】时，，，但当时，，方程表示圆．不充分，
方程表示椭圆时，，即且，是必要的．
应为必要不充分条件．
故选：B．
7．A
【解析】因为是边长为1的等边三角形，
所以，，又，
联立以上三个等式可解得，.
故选：A.
8．A
【解析】作图，由题意得、、，设，
由得，则①，
又由，得，则②，
由①②得，即，则，
故选：A.
9．BD
【解析】由可得，
设，则，则，
设以为直径的圆上任一点，
则，，
则，
所以以为直径的方程为，
将代入得：，因为，
即，解得：，
由得：，
解得：或，则方程为或，
故选：BD.
10．BCD
【解析】双曲线化为标准形式为，则，，
，故离心率，即A错误；
双曲线的渐近线方程为，即，即B正确；
由双曲线的定义知，，
，则，
△的周长为，即C正确；
对于椭圆，有，，，
，
由椭圆的定义知，点在椭圆上，即D正确，
故选：BCD.
11．BD
【解析】因为且，所以为等腰直角三角形.
设椭圆的半焦距为，则，所以.
在焦点三角形中，，设，，双曲线的实半轴长为
则，故，故，
所以，即，故，，，，
故选：BD.
12．CD
【解析】对于A选项，由共轭双曲线的定义可知，与共轭的双曲线是，A错；
对于B选项，双曲线的渐近线方程为，
双曲线的渐近线方程为，B错；
对于C选项，设，双曲线的离心率为，
双曲线的离心率为，
所以，，当且仅当时，等号成立，C对；
对于D选项，设，双曲线的焦点坐标为，
双曲线的焦点坐标为，这四个焦点都在圆上，D对.
故选：CD.
13．
【解析】由已知条件可得出，则，所以，.
故答案为：.
14．
【解析】因为为上关于坐标原点对称的两点，
且，所以四边形为矩形，
设，则，
所以，
，即四边形面积等于.
故答案为：.
15．17
【解析】因为，，，所以，
又因为动圆与圆，圆均相切，
所以动圆与圆内切，与圆外切.
设动圆，半径为，
所以，，即，
所以的轨迹为以，为焦点的椭圆，如图所示：
设椭圆为：，且，，.
因为是的内心，所以到，，的距离相等，设为.
又因为，
所以，
即，，
又，所以.
故答案为：17
16．3
【解析】解：由已知得．在中，设，则或．
当时，由余弦定理，得，解得，所以．
当时，由余弦定理，得，无解．
故．
故答案为：3.
17．（1）；（2）0，，．
【解析】（1）由，得(1－k2)x2＋2kx－2＝0．
∵直线与双曲线有两个不同的交点，
∴
解得，且，
∴k的取值范围为．
（2）结合（1），设A(x1，y1)、B(x2，y2)．
则x1＋x2＝，x1x2＝，
∴，
∵点O到直线l的距离d＝，
∴，
即，
解得或，检验符合．
故实数k的值为0，，．
18．条件选择见解析（1）；（2）．
【解析】方案一 选择条件①．
（1）由抛物线的定义可得．
因为，所以，解得．
故抛物线的标准方程为．
（2）设，，，由（1）可知．
由，得，
则，，
所以，
故．
因为点到直线的距离，
所以的面积为．
方案二 选择条件②．
（1）因为，所以，，
因为点在抛物线上，
所以，即，解得，
所以抛物线的标准方程为．
（2）设，，由（1）可知．
由，得，
则，，
所以，
故．
因为点到直线的距离，
所以的面积为．
方案三 选择条件③．
（1）当轴时，，所以．
故抛物线的标准方程为．
（2）设，，由（1）可知．
由，得，
则，，
所以，
故．
因为点到直线的距离，
所以的面积为．
19．（1），；（2）存在，方程为.
【解析】（1）在，的方程中，令，可得，
则，.
设的半焦距为，
由及，得，
∴，.
（2）存在.由（1）知，上半椭圆的方程为.
由题意知，直线与轴不重合也不垂直，
设其方程为，代入的方程，整理得，
.（*）
设点的坐标为，
∵直线过点，
∴是方程（*）的一个根.
由一元二次方程根与系数的关系得，从而，
∴点的坐标为.
同理，由，得点的坐标为，
∴，，
∵以为直径的圆恰好过点A，
∴，
∴，即.
∵，∴，解得.
经检验，符合题意.
故直线的方程为.
20．（1）椭圆，拋物线；（2）.
【解析】（1）根据题意得：，解得，，，抛物线焦点，
因此椭圆，拋物线
（2）设，联立与椭圆，
整理得：，判别式：
弦长公式：，所以
联立与抛物线，整理得：，判别式：
弦长公式：，
所以，
因为，因此，解得：
在轴上截距或，因此在轴上截距取值范围是.
21．（1）证明见解析，；（2）.
【解析】（1）因为，，
所以，
所以，
故.
又圆的标准方程为，从而
所以.
由题设得，，.
由椭圆定义可得点的轨迹方程为.
（2）当直线的斜率不存在时，直线方程为，
此时与面积相等，，
当直线的斜率存在时，设直线方程为，
、，
联立方程，得，
消去，得：，
，且，，
此时
因为，上式
（当且仅当时等号成立），
所以的最大值为.
22．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1）设直线方程为，，
由，两式相乘可得，
由可得，
则，
即，所以.
（2）设直线，，
可得，，
得；
联立，可得，
，即，，
则与直线l的斜率的大小无关，得证.