2021-2022学年 人教版八年级数学上册13.4最短路径问题课件(共17张PPT)

(共17张PPT)
最短路径（将军饮马）问题
13.4 课题学习
教学内容分析：
最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段主要以“两点之间线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为基础知识进行研究，本节以“牧马人饮马” 问题为载体开展对“最短路径”的课题研究让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”。
教学目标：
能利用轴对称解决简单的最短路径问题，在探究的过中体会轴对称的桥梁作用，感悟转化的数学思想。
如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，△ABC的面积为8，BD平分∠ABC．若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
想想这个题用了什么原理求线段的最短
如图，△ABC中，AB＝16，BC＝10，AM平分∠BAC，∠BAM＝15°，点D、E分别为AM、AB的动点，则BD+DE的最小值是　 　．
一 目标复习：连接直线外一点与直线上各点的线中，垂线段最短两点的所有连线中，线段最短；
。
二 热身训练：（异侧和最小问题：“一线两点”型，一动点+两定点)
问题：两点A,B位于直线l两侧，在l上找一点C，使AC+BC最小。
根据：两点之间线段最短，连接AB交直线l与点C.
C ●
.
B
A
三 情景引入：相传，古希腊亚历山大城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边 l 饮马，然后到B地．牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
●
●
四 问题转化：同侧线段和最小值问题(“一线两点”型 一动点+两定点)
如图：两点A,B位于直线l同侧，在直线l上找一点C,使得AC+BC最小，
A ′ ●
解题思路:将两定点同侧转化为异侧问题，同热身训练即可解决;解题过程:作点A关于l的对称点A′，连接A′B与l交于点C.
C ●
∟
思考：如何验证AC+BC最短？
分析：为证明C的位置即为所求，可在直线外任取一点C ′,如图连接，证明AC+BC ﹤AC ′+BC ′。
你有什么收获？你能用一句话概括这个模型吗
五 及时训练:
1.E、F是△ABC的边AB、AC上的点，你能在BC上确定一点P是使△PEF的周长最短吗？
●
●
E′
P
∟
及时训练:
2.如图，在Rt △ABC中，AC=BC,点D是AB的中点，E是AC上任意一点，在CD上找一点P使PA+PE最小。
●
P
如图，MN是等边三角形ABC的一条对称轴，D为AC的中点，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD最小时，∠PCD的度数是（　　）
如图，等边△ABC中，BD⊥AC于D，AD＝3.5cm．点P、Q分别为AB、AD上的两个定点且BP＝AQ＝2cm，若在BD上有一动点E使PE+QE 最短，则PE+QE的最小值为　 　cm．
六 能力测试: (“一点两线型”，两动点+一定点）
1.点P是∠AOB内部一点，在OA上找一点M,在OB上找一点N, 使得△PMN周长最小。
P′
P′′
●
●
M
N
∟
∟
7．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝110°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（　　）
如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，△ABC的面积是16，AC边的垂直平分线EF分别交AC，AB边于点E，F．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为　 　．
1如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，点E，F分别是线段BC，DC上的动点．当△AEF的周长最小时，则∠EAF的度数为（　　）
2如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（　　）
3．如图，P为∠AOB内一定点，M、N分别是射线OA、OB上一点，当△PMN周长最小时，∠OPM＝40°，则∠AOB＝（　　）
能力测试(“两点两线”型，两动点+两定点）
2.如图，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径.(课本练习P93第15题）
P ●
● Q
A ′
B ′