2018-2019学年山东省聊城外国语学校九年级（上）期中数学试卷（Word版 含解析）

2018-2019学年山东省聊城部分学校九年级（上）期中数学试卷
一、选择题
1．在Rt△ABC中，cosA＝，那么sinA的值是（　　）
A． B． C． D．
2．在平面直角坐标系中，以点（3，2）为圆心、3为半径的圆（　　）
A．与x轴相切，与y轴相切 B．与x轴相切，与y轴相交
C．与x轴相交，与y轴相切 D．与x轴相交，与y轴相交
3．已知⊙O的半径为2cm，弦AB长为cm（　　）cm．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，在△ABC中，点D，E，AC，BC上，EF∥AB．若AD＝2BD，则的值为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，圆内接四边形ABCD的BA，CD的延长线交于P，BD交于E，则图中相似三角形有（　　）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
6．如图所示，D为AB边上一点，AD：DB＝3：4，则S△BDE：S△AEC等于（　　）
A．16：21 B．3：7 C．4：7 D．4：3
7．河堤横断面如图所示，堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比为1：（　　）
A．12米 B．4米 C．5米 D．6米
8．在证明“在△ABC中至少有一个角是直角和钝角”时，第一步应假设（　　）
A．三角形至少有一个角是直角或钝角
B．三角形中至少有两个直角或钝角
C．三角形中没有直角或钝角
D．三角形中三个角都是直角或钝角
9．给出下列结论：
①有一个角是100°的两个等腰三角形相似．
②三角形的内切圆和外接圆是同心圆．
③圆心到直线上一点的距离恰好等于圆的半径，则该直线是圆的切线．
④等腰梯形既是轴对称图形，又是中心对称图形．
⑤平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两弧．
⑥过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线．
其中正确命题有（　　）个．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于点D，E（不包括端点D，E）上任一点P作⊙O的切线MN与AB，BC分别交于点M，N，则Rt△MBN的周长为（　　）
A．r B．r C．2r D．r
11．如图，已知△ABC的面积是12，BC＝6，在BC边上依次做了n个全等的小正方形DEFG，GFMN，…，则每个小正方形的边长为（　　）
A． B． C． D．
12．如图，正六边形ABCDEF是边长为2cm的螺母，点P是FA延长线上的点，一端固定在点A，握住另一端点P拉直细线（缠绕时螺母不动），则点P运动的路径长为（　　）
A．13πcm B．14πcm C．15πcm D．16πcm
二、填空题
13．已知一条弧的长是3π厘米，弧的半径是6厘米，则这条弧所对的圆心角是　 　度．
14．如图，△ABC中，AB＝12，D为AB上一点，且AD＝2DB，使以A、D、E为顶点的三角形与ABC相似，则AE等于 　 　．
15．如图，AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，连接BC，∠P＝40°　 　．
16．如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，若BD：CD＝3：2，则tanB＝　 　．
17．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，AD分别与BC，OC相交于点E，F；②∠AOC＝∠AEC；③CB平分∠ABD；⑤BD＝2OF；⑥△CEF≌△BED　 　（把你认为正确结论的序号都填上）
三、解答题
18．计算
（1）
（2）．
19．解方程：
①（x﹣1）2＝9；
②x2﹣4x+3＝0；
③3（x﹣2）2＝x（x﹣2）；
④x2﹣4x+10＝0．
20．如图，在△ABC中，∠A＝30°，AC＝2，求AB的长．
21．如图所示，有一块锐角三角形的余料ABC，它的边BC＝150mm，要把它加工成菱形零件，使菱形的一边在BC上，AC上，加工成的菱形的高ED＝51mm
22．如图．在平面直角坐标系内，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，﹣2），B（4，﹣1），C（3，﹣3）（正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度）．
（1）作出△ABC向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的△A1B1C1；
（2）以坐标原点O为位似中心，相似比为2，在第二象限内将△ABC放大2B2C2作出△A2B2C2；
（3）以坐标原点O为旋转中心，将△ABC逆时针旋转90°，得到△A3B3C3，作出△A3B3C3，并求线段AC扫过的面积．
23．如图，P是⊙O的直径AB延长线上一点，点C在⊙O上，∠ACP＝120°．
（1）求证：CP是⊙O的切线；
（2）若AB＝4cm，求图中阴影部分的面积．
24．如图，美丽的徒骇河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河大道和风景带成为我市的一道新景观．在数学课外实践活动中，B两点处，利用测角仪分别对东岸的观景台D进行了测量，∠DBC＝75°．又已知AB＝100米，求观景台D到徒骇河西岸AC的距离约为多少米（精确到1米）．（tan60°≈1.73，tan75°≈3.73）
25．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，作ED⊥EB交AB于点D，⊙O是△BED的外接圆．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）已知⊙O的半径为2.5，BE＝4，求BC
2018-2019学年山东省聊城部分学校九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．在Rt△ABC中，cosA＝，那么sinA的值是（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值即可．
【解答】解：∵Rt△ABC中，cosA＝，
∴sinA＝＝，
故选：B．
2．在平面直角坐标系中，以点（3，2）为圆心、3为半径的圆（　　）
A．与x轴相切，与y轴相切 B．与x轴相切，与y轴相交
C．与x轴相交，与y轴相切 D．与x轴相交，与y轴相交
【分析】由已知点（3，2）可求该点到x轴，y轴的距离，再与半径比较，确定圆与坐标轴的位置关系．设d为直线与圆的距离，r为圆的半径，则有若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．
【解答】解：∵点（3，2）到x轴的距离是2，
到y轴的距离是3，等于半径，
∴圆与x轴相交，与y轴相切．
3．已知⊙O的半径为2cm，弦AB长为cm（　　）cm．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】首先根据题意作图，然后由垂径定理，即可求得BC的长，在Rt△BOC中，利用勾股定理即可求得圆心到这条弦的距离．
【解答】解：根据题意得：AB＝2cm，OB＝2cm，
∴BC＝AB＝，
在Rt△BOC中，OC＝．
∴圆心到这条弦的距离为2cm．
故选：A．
4．如图，在△ABC中，点D，E，AC，BC上，EF∥AB．若AD＝2BD，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出＝＝＝2，即可得出答案．
【解答】解：∵DE∥BC，EF∥AB，
∴＝＝2，＝，
∴＝，
故选：A．
5．如图，圆内接四边形ABCD的BA，CD的延长线交于P，BD交于E，则图中相似三角形有（　　）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
【分析】根据圆周角定理及相似三角形的判定方法进行分析即可．
【解答】解：根据同弧所对的圆周角相等及相似三角形的判定定理可知图中相似三角形有4对，分别是：△ADE∽△BCE，△PAD∽△PCB．故选C．
6．如图所示，D为AB边上一点，AD：DB＝3：4，则S△BDE：S△AEC等于（　　）
A．16：21 B．3：7 C．4：7 D．4：3
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方及平行线分线段成比例，不难求得S△BDE：S△AEC
【解答】解：∵DE∥AC，
∴△BDE∽△BAC，且AD：DB＝3：4
∴BD：AB＝DE：AC＝6：7，S△BDE：S△BAC＝16：49
∴S△BDE：S四边形DECA＝16：33
∵DE：AC＝4：6，△ADE与△ACE的高相等
∴S△ADE：S△ACE＝4：7＝12：21
∴S△BDE：S△AEC＝16：21
故选：A．
7．河堤横断面如图所示，堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比为1：（　　）
A．12米 B．4米 C．5米 D．6米
【分析】根据迎水坡AB的坡比为1：，可得＝1：，即可求得AC的长度，然后根据勾股定理求得AB的长度．
【解答】解：Rt△ABC中，BC＝6米，，
∴AC＝BC×＝6，
∴AB＝＝＝12（米）．
故选：A．
8．在证明“在△ABC中至少有一个角是直角和钝角”时，第一步应假设（　　）
A．三角形至少有一个角是直角或钝角
B．三角形中至少有两个直角或钝角
C．三角形中没有直角或钝角
D．三角形中三个角都是直角或钝角
【分析】熟记反证法的步骤，直接选择得出即可．
【解答】解：在证明“在△ABC中至少有一个直角或钝角”时，应先假设：三角形中没有直角或钝角．
故选：C．
9．给出下列结论：
①有一个角是100°的两个等腰三角形相似．
②三角形的内切圆和外接圆是同心圆．
③圆心到直线上一点的距离恰好等于圆的半径，则该直线是圆的切线．
④等腰梯形既是轴对称图形，又是中心对称图形．
⑤平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两弧．
⑥过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线．
其中正确命题有（　　）个．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据圆相关知识点进行判断即可．
【解答】解：①、因为100°是钝角，则根据三角形的内角和定理，根据两角对应相等的两个三角形是相似三角形，故正确；
②、三角形的内切圆的圆心是三条角平分线的交点，只有等边三角形的内心和外心才重合；
③、应当是圆心到直线的距离而不是圆心到直线上一点的距离恰好等于圆的半径，后者是两个点之间的距离；
④、等腰梯形不是中心对称图形；
⑤、平分弦中的弦不能是直径，故错误；
⑥、本题是平行公理．
因此正确的结论是①⑥．
故选：A．
10．如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于点D，E（不包括端点D，E）上任一点P作⊙O的切线MN与AB，BC分别交于点M，N，则Rt△MBN的周长为（　　）
A．r B．r C．2r D．r
【分析】连接OD、OE，求出∠ODB＝∠DBE＝∠OEB＝90°，推出四边形ODBE是正方形，得出BD＝BE＝OD＝OE＝r，根据切线长定理得出MP＝DM，NP＝NE，代入MB+NB+MN得出BD+BE，求出即可．
【解答】解：连接OD、OE，
∵⊙O是Rt△ABC的内切圆，
∴OD⊥AB，OE⊥BC，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ODB＝∠DBE＝∠OEB＝90°，
∴四边形ODBE是矩形，
∵OD＝OE，
∴矩形ODBE是正方形，
∴BD＝BE＝OD＝OE＝r，
∵⊙O切AB于D，切BC于E，NP与NE是从一点出发的圆的两条切线，
∴MP＝DM，NP＝NE，
∴Rt△MBN的周长为：MB+NB+MN＝MB+BN+NE+DM＝BD+BE＝r+r＝2r，
故选：C．
11．如图，已知△ABC的面积是12，BC＝6，在BC边上依次做了n个全等的小正方形DEFG，GFMN，…，则每个小正方形的边长为（　　）
A． B． C． D．
【分析】设正方形的边长为x，根据正方形的性质、勾股定理和相似三角形的判定和性质，可以求出有两个正方形的边长和有三个正方形的边长，从中得到规律就可得到n个正方形的边长规律即可得到问题答案．
【解答】解：当做了1个正方形时，如图所示．
过点A作AM⊥BC，垂足为M．
∴∠AMC＝90°，
∵四边形EFGH是正方形，
∴GH∥BC，GH＝GF，
∴∠AGH＝∠B，∠ANH＝∠AMC＝90°．
∵∠GAH＝∠BAC，
∴△AGH∽△ABC．
∴AN：AM＝GH：BC，
∵△ABC的面积为12，BC为6，
∴S△ABC＝BC×AM＝，解得AM＝4．
设GH＝x，BC＝6，
∵GF＝NM＝GH，
∴AN＝AM﹣NM＝AM﹣GH＝2﹣x，
∴＝，x＝；
同理当n＝2时，根据正方形的性质得：DN＝7DE，
由（1）知：，
解得：DN＝，
以此类推…
由此，当为n个正方形时x＝，
故选：D．
12．如图，正六边形ABCDEF是边长为2cm的螺母，点P是FA延长线上的点，一端固定在点A，握住另一端点P拉直细线（缠绕时螺母不动），则点P运动的路径长为（　　）
A．13πcm B．14πcm C．15πcm D．16πcm
【分析】根据如图所示可知点P运动的路线就是图中六条扇形的弧长，扇形的圆心角为60°，半径从12cm，依次减2cm，求得六条弧的长的和即可．
【解答】解：点P运动的路径长为：+++++
＝（12+10+3+6+4+5）
＝14π（cm）．
故选：B．
二、填空题
13．已知一条弧的长是3π厘米，弧的半径是6厘米，则这条弧所对的圆心角是　90　度．
【分析】利用弧长公式计算．
【解答】解：3π＝，解得r＝90°．
14．如图，△ABC中，AB＝12，D为AB上一点，且AD＝2DB，使以A、D、E为顶点的三角形与ABC相似，则AE等于 　10或6.4　．
【分析】根据相似三角形对应边成比例得出＝或＝，再代值计算即可．
【解答】解：∵△ABC与△ADE相似，
∴＝或＝，
∵AD＝2DB，AB＝12，
∴AD＝8，
∵AC＝15，
∴＝或 ＝，
解得：AE＝10或6.2．
故答案为：10或6.4．
15．如图，AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，连接BC，∠P＝40°　25°　．
【分析】先利用切线的性质得到∠OAP＝90°，则利用互余和计算出∠AOP＝50°，再利用等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算出∠B的度数．
【解答】解：∵直线PA与⊙O相切于点A，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP＝90°，
∴∠AOPP＝90°﹣∠P＝50°，
∵∠AOP＝∠B+∠OCB，
而OB＝OC，
∴∠B＝∠AOP＝25°．
故答案为25°．
16．如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，若BD：CD＝3：2，则tanB＝　　．
【分析】首先证明△ABD∽△ACD，然后根据BD：CD＝3：2，设BD＝3x，CD＝2x，利用对应边成比例表示出AD的值，继而可得出tanB的值．
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵AD⊥BC于点D，
∴∠ADB＝∠CDA，
∵∠B+∠BAD＝90°，∠BAD+∠DAC＝90°，
∴∠B＝∠DAC，
∴△ABD∽△CAD，
∴，
∵BD：CD＝3：2，
设BD＝4x，CD＝2x，
∴AD＝＝x，
则tanB＝＝＝．
故答案为：．
17．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，AD分别与BC，OC相交于点E，F；②∠AOC＝∠AEC；③CB平分∠ABD；⑤BD＝2OF；⑥△CEF≌△BED　①③④⑤　（把你认为正确结论的序号都填上）
【分析】①由直径所对圆周角是直角，
②根据三角形外角的性质和圆周角定理可作判断，
③由平行线得到∠OCB＝∠DBC，再由同圆的半径相等得到结论判断出∠OBC＝∠DBC；
④用半径垂直于不是直径的弦，必平分弦；
⑤用三角形的中位线得到结论；
⑥得不到△CEF和△BED中对应相等的边，所以不一定全等．
【解答】解：①∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BD，
故①正确；
②∵∠AEC＝∠A+∠ABC，∠AOC＝2∠ABC，
当∠A＝∠ABC时，∠AOC＝∠AEC，
故②不正确；
③∵OC∥BD，
∴∠OCB＝∠DBC，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠OBC＝∠DBC，
∴BC平分∠ABD，
故③正确；
④∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BD，
∵OC∥BD，
∴∠AFO＝90°，
∵点O为圆心，
∴AF＝DF，
故④正确；
⑤由④有，AF＝DF，
∵点O为AB中点，
∴OF是△ABD的中位线，
∴BD＝2OF，
故⑤正确；
⑥∵△CEF和△BED中，没有相等的边，
∴△CEF与△BED不全等，
故⑥不正确；
综上可知：其中一定成立的有①③④⑤，
故答案为：①③④⑤．
三、解答题
18．计算
（1）
（2）．
【分析】（1）原式利用特殊角的三角函数值及二次根式性质，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可得到结果；
（2）原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
【解答】解：（1）原式＝|1﹣4××|﹣﹣1＝；         
（2）原式＝＝＝1．
19．解方程：
①（x﹣1）2＝9；
②x2﹣4x+3＝0；
③3（x﹣2）2＝x（x﹣2）；
④x2﹣4x+10＝0．
【分析】①把（x﹣1）看作一个整体，利用平方根的定义解答；
②利用“十字相乘法”对左边进行因式分解；
③把右边的项移到左边，用提公因式法因式分解求出方程的根；
④利用求根公式进行答题．
【解答】解：①（x﹣1）2＝7，
∴x﹣1＝3或x﹣3＝﹣3，
解得x1＝6，x2＝﹣2；
②由原方程，得
（x﹣8）（x﹣1）＝0，
解得x5＝3，x2＝6；
③3（x﹣2）8﹣x（x﹣2）＝0
（x﹣8）[3（x﹣2）﹣x]＝6
（x﹣2）（2x﹣3）＝0
x﹣2＝3或2x﹣6＝5
∴x1＝2，x5＝3；
④x2﹣2x+10＝0中a＝3，c＝10，
则Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）3﹣4×1×10＝2，
则x＝＝2±．
所以x5＝2+，x2＝2﹣．
20．如图，在△ABC中，∠A＝30°，AC＝2，求AB的长．
【分析】作CD⊥AB于D，据含30度的直角三角形三边的关系得到CD＝，AD＝3，再在Rt△BCD中根据正切的定义可计算出BD，然后把AD与BD相加即可．
【解答】解：作CD⊥AB于D，如图，
在Rt△ACD中，∠A＝30°，
∴CD＝AC＝CD＝5，
在Rt△BCD中，tanB＝，
∴，
∴BD＝2，
∴AB＝AD+BD＝3+5＝5．
21．如图所示，有一块锐角三角形的余料ABC，它的边BC＝150mm，要把它加工成菱形零件，使菱形的一边在BC上，AC上，加工成的菱形的高ED＝51mm
【分析】设菱形的边长为x，根据菱形的对边平行可得BG∥MN，然后求出△AMN和△ABC相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出x，再根据相似三角形对应高的比等于相似比列式计算即可得解．
【解答】解：设菱形的边长为x，
∵菱形对边BG∥MN，
∴△AMN∽△ABC，
∴＝，
即＝，
解得x＝60，
∵△AMN∽△ABC，
∴＝，
即＝，
解得AD＝85，
答：△ABC的高AD为85mm．
22．如图．在平面直角坐标系内，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，﹣2），B（4，﹣1），C（3，﹣3）（正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度）．
（1）作出△ABC向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的△A1B1C1；
（2）以坐标原点O为位似中心，相似比为2，在第二象限内将△ABC放大2B2C2作出△A2B2C2；
（3）以坐标原点O为旋转中心，将△ABC逆时针旋转90°，得到△A3B3C3，作出△A3B3C3，并求线段AC扫过的面积．
【分析】（1）将三顶点分别向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的对应点，顺次连接可得；
（2）根据位似图形的定义作出对应点，顺次连接可得；
（3）将三顶点分别绕点O逆时针旋转90°得到对应点，顺次连接可得，再根据扇形面积公式计算可得．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C5即为所求；
（2）如图，△A2B2C8即为所求；
（3）如图，△A3B3C7即为所求，
∵OA＝＝、OC＝，
∴线段AC扫过的面积为﹣＝π．
23．如图，P是⊙O的直径AB延长线上一点，点C在⊙O上，∠ACP＝120°．
（1）求证：CP是⊙O的切线；
（2）若AB＝4cm，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）根据等腰三角形中等边对等角即可求得∠OCP的度数，即可证得；
（2）利用扇形的面积公式，以及阴影部分的面积＝S△OCP﹣S扇形OCB即可求解．
【解答】（1）证明：连接OC．
∵∠ACP＝120°，AC＝PC，
∴∠A＝∠P＝＝30°，
∴∠COP＝2∠A＝60°，
在△OCP中，∠OCP＝180°﹣60°﹣30°＝90°．
∴OC⊥CP，
∴CP是⊙O的切线；
（2）解：AB＝7cm，
则OC＝AB＝3cm，
∵直角△OCP中，∠P＝30°，
∴OP＝2OC＝4，
∴CP＝，
∴S△OCP＝OC CP＝＝82），
S扇形OCB＝（cm2），
则阴影部分的面积＝2﹣（cm6）．
24．如图，美丽的徒骇河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河大道和风景带成为我市的一道新景观．在数学课外实践活动中，B两点处，利用测角仪分别对东岸的观景台D进行了测量，∠DBC＝75°．又已知AB＝100米，求观景台D到徒骇河西岸AC的距离约为多少米（精确到1米）．（tan60°≈1.73，tan75°≈3.73）
【分析】如图，过点D作DE⊥AC于点E．通过解Rt△EAD和Rt△EBD分别求得AE、BE的长度，然后根据图示知：AB＝AE﹣BE＝100，把相关线段的长度代入列出关于ED的方程﹣＝100．通过解该方程求得ED的长度．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AC于点E．
∵在Rt△EAD中，∠DAE＝60°，
∴tan60°＝，
∴AE＝
同理，在Rt△EBD中，
得到EB＝．
又∵AB＝100米，
∴AE﹣EB＝100米，
即﹣＝100．
则ED＝≈≈323（米）．
答：观景台D到徒骇河西岸AC的距离约为323米．
25．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，作ED⊥EB交AB于点D，⊙O是△BED的外接圆．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）已知⊙O的半径为2.5，BE＝4，求BC
【分析】（1）连接OE，由OB＝OE知∠OBE＝∠OEB、由BE平分∠ABC知∠OBE＝∠CBE，据此得∠OEB＝∠CBE，从而得出OE∥BC，进一步即可得证；
（2）证△BDE∽△BEC得＝，据此可求得BC的长度，再证△AOE∽△ABC得＝，据此可得AD的长．
【解答】解：（1）如图，连接OE，
∵ED⊥EB，
∴∠DEB＝90°，
∴BD是⊙O的直径，
∵OB＝OE，
∴∠OBE＝∠OEB，
∵BE平分∠ABC，
∴∠OBE＝∠CBE，
∴∠OEB＝∠CBE，
∴OE∥BC，
又∵∠C＝90°，
∴∠AEO＝90°，即OE⊥AC，
∴AC为⊙O的切线；
（2）∵ED⊥BE，
∴∠BED＝∠C＝90°，
又∵∠DBE＝∠EBC，
∴△BDE∽△BEC，
∴＝，即＝，
∴BC＝；
∵∠AEO＝∠C＝90°，∠A＝∠A，
∴△AOE∽△ABC，
∴＝，即＝，
解得：AD＝．