第2章 第2课时 基本不等式-高中数学人教A版（2019）必修第一册同步试题精编（Word含答案解析）

基本不等式
分层演练 综合提升
基础巩固
1．若，则下面结论正确的有（ ）
A． B．若，则
C．若，则 D．若，则有最大值
2．若，则的最小值等于（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．已知两个正实数，满足，则的最小值是（ ）
A． B． C．8 D．3
4．（多选）下列推导过程，正确的为 （ ）
A．因为、为正实数，所以
B．因为，所以
C．，所以
D．因为、，，所以
当且仅当时，等号成立，D选项正确.
5.已知正数、满足.
（1）求的最小值；
（2）求的最小值；
（3）求的最小值.
能力提升
1. 已知均为正实数，且，则的最小值为___________．
2.已知，，．
（1）当时，求的最小值；
（2）当时，求的最小值．
3.已知 为正数.
（1）若，证明：；
（2）若，证明：.
挑战创新
1.已知，，求的最小值.
解法如下：，
当且仅当，即，时取到等号，
则的最小值为.
应用上述解法，求解下列问题：
（1）已知，，求的最小值；
（2）已知，求的最小值；
（3）已知正数，满足.求证：.
参考答案：
基础巩固
1．B
对于选项A：若，
由基本不等式得，即，
当且仅当时取等号；所以选项A不正确；
对于选项B：若，，
，
当且仅当且，
即时取等号，所以选项B正确；
对于选项C：由，，
即，如时，，所以选项C不正确；
对于选项D：，当且仅当时取等
则有最大值，所以选项D不正确；
故选：B
2．D
因为，所以，因此,当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值等于3.
故选：D.
3．A
因为正实数满足，
则，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：．
4． AD
对于A选项，因为、为正实数，则、为正实数，
由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，A选项正确；
对于B选项，，所以，，B选项错误；
对于C选项，当时，，
当且仅当时，等号成立，C选项错误；
对于D选项，因为、，，则、均为负数，
由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立，D选项正确.
故选：AD.
5. ，即，，，，，
（1）因为、是正数，
所以，当且仅当时等号成立，
故的最小值为.
（2）因为，，所以，，
则，
当且仅当、时等号成立，
故的最小值为.
（3）因为，，，
所以
，
当且仅当、时等号成立，
故的最小值为.
能力提升
1.20
∵均为正实数，且，∴，则
，
当且仅当时取等号，则的最小值为20.
故答案为：20.
2.（1）当时，，，显然，
所以，由，得，
所以
，
当且仅当，时等号成立，
所以的最小值为.
（2）当时，由得，得，
所以，
当且仅当时，等号成立.
所以的最小值为.
3.（1）因为，变形得
所以，
当且仅当，即时，等号成立.
（2）
当且仅当时等号成立.
当且仅当时等号成立.
所以.当且仅当时等号成立.
挑战创新
1. 解（1）∵，
∴
，
当且仅当时取等号，即的最小值为9.
（2），
而
当且仅当即时取到等号，则，
∴函数的最小值为18，
（3）∵，
∴
当且仅当时取到等号，则.