第3章 第6课时 幂函数-高中数学人教A版（2019）必修第一册同步试题精编（Word含答案解析）

幂函数
分层演练 综合提升
基础巩固
1.已知实数集为，集合，则（ ）．
A． B． C． D．
2.设函数，则（ ）
A．是奇函数，且在单调递增
B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增
D．是偶函数，且在单调递减
3.若，则下列函数①；②；③；④；⑤满足条件的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4.若对任意的，均有，则的取值范围是_____.
5.已知幂函数，经过点，试确定的值，并求满足条件的实数的取值范围.
能力提升
1. （多选题）下列函数中，定义域是其值域子集的有（ ）
A． B． C． D．
2.已知函数是幂函数，且.
（1）求函数的解析式；
（2）试判断是否存在实数，使得函数在区间上的最大值为6，若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由.
3.已知函数，.
（1）求方程的解集；
（2）定义：.已知定义在上的函数.求函数的解析式，在平面直角坐标系中，画出函数的简图；并写出函数的单调区间和最小值.
挑战创新
1.已知幂函数（）是偶函数，且在上单调递增．
（1）求函数的解析式；
（2）若，求的取值范围；
（3）若实数，（，）满足，求的最小值．
参考答案：
基础巩固
1.B
由题得，所以.故选：B
2.A
因为（），所以对任意，，所以是奇函数；
因为在单调递增，则在单调递减，所以在单调递增.
故选：A.
3.D
只有上凹函数或者是一次函数才满足题中条件，所以只有①②③⑤满足.
故选：D.
4.
构造函数根据幂函数的性质得到该函数为增函数，故，
所以对任意的恒成立，
所以，解得：.
5.∵幂函数经过点，∴，即
∴=.解得=或=.
又∵，∴=.
∴，则函数的定义域为，并且在定义域上为增函数.
由得解得.
∴的取值范围为.
能力提升
1. AC
A函数的定义域和值域都是R，符合题意；
B.定义域为R，因为，所以函数值域为，值域是定义域的真子集不符合题意；
C.易得定义域为，值域为，定义域是值域的真子集；
D.定义域为，值域为，两个集合只有交集；
故选：AC
2.解：因为函数是幂函数，
所以，解得或，
当时，，则，故不符题意，
当时，，则，符合题意，
所以；
（2）由（1）得 ，
函数图像开口向下，对称轴为：，
当时，函数在区间上递减，
则，解得，符合题意；
当时，函数在区间上递增，
则，解得，符合题意；
当时，，解得，不符题意，
综上所述，存在实数满足题意.
2.（1）由，得，；
（2）由已知得，
函数的图象如图实线所示：
函数的单调递减区间是，单调递增区间是，其最小值为1.
挑战创新
1.解析：（1）．，
，（）即或
在上单调递增，为偶函数,即.
（2）
，，，∴
（3）由题可知，
,
，
当且仅当，即，时等号成立．
所以的最小值是2．