2021-2022学年人教版九年级数学上册21.3实际问题与一元二次方程 同步练习（word版含解析）

2021-2022学年人教版九年级数学上册《21.3实际问题与一元二次方程》同步练习（附答案）
一．选择题
1．如图，一块长和宽分别为30cm和20cm的矩形铁皮，要在它的四角截去四个边长相等的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，使它的侧面积为272cm2，则截去的正方形的边长是（　　）
A．4cm B．8.5cm C．4cm或8.5cm D．5cm或7.5cm
2．某公司今年销售一种产品，一月份获得利润10万元，由于产品畅销，利润逐月增加，一季度共获利36.4万元，已知2月份和3月份利润的月增长率相同．设2，3月份利润的月增长率为x，那么x满足的方程为（　　）
A．10（1+x）2＝36.4
B．10+10（1+x）2＝36.4
C．10+10（1+x）+10（1+2x）＝36.4
D．10+10（1+x）+10（1+x）2＝36.4
3．某市2021年国内生产总值（GDP）比2020年增长了12%，由于受到国际贸易的影响，预计2022年比2021年增长7%，若这两年GDP年平均增长率为x%，则x%满足的关系是（　　）
A．12%+7%＝x% B．（1+12%）（1+7%）＝（1+x%）2
C．12%+7%＝2x% D．（1+12%）（1+7%）＝2（1+x%）
二．填空题
4．给定一个边长为3的正方形，存在一个矩形，使它的周长和面积分别是这个正方形周长和面积的2倍，则这个矩形较长边的边长为　 　．
5．为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，根据题意，可列方程为　 　．
6．小明是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学，一天他在解方程x2＝﹣1时，突发奇想：x2＝﹣1在实数范围内无解，如果存在一个数i，使i2＝﹣1，那么若x2＝﹣1，则x＝±i，从而x＝±i是方程x2＝﹣1的两个根．据此可知：①i可以运算，例如：i3＝i2 i＝﹣1×i＝﹣i，则i2023＝　 　，②方程x2﹣2x+2＝0的两根为　 　（根用i表示）
三．解答题
7．为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为40万元，若每台设备售价为45万元时，平均每月能售出300台；根据市场调研发现：这种设备的售价每提高0.5万元，其销售量就将减少5台．根据相关规定，此设备的销售单价不低于45万元，且获利不高于30%．如果该公司想实现每月2500万元的利润，则该设备的销售单价应是多少万元？
8．如图，某农场要建一个面积为140平方米的矩形仓库，仓库的一边靠墙（墙长18米），另三边用木板材料围成，为了方便进出，在与墙垂直的一边上要开一扇2米宽的门，已知围建仓库的现有木板材料总长为32米，那么这个仓库的两边长分别为多少米？
9．小刚准备进行如下操作试验：把一根长为80cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．要使这两个正方形的面积之和等于272cm2，小刚该怎么剪？
10．我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克，后来经过市场调查发现，单价每降低10元，则平均每周的销售量可增加40千克，若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利41600元，请回答：
（1）每千克茶叶应降价多少元？
（2）在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
11．已知：如图，△ABC是边长为3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间t（s），解答下列各问题：
（1）经过秒时，求△PBQ的面积；
（2）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
（3）是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二？如果存在，求出t的值；不存在请说明理由．
12．某商店经销甲、乙两种商品．现有如下信息：
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）甲、乙两种商品的零售单价分别为　 　元和　 　元．（直接写出答案）
（2）该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品1200件．经调查发现，甲种商品零售单价每降0.1元，甲种商品每天可多销售100件．为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲种商品的零售单价下降m（m＞0）元．在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润共1700元？
13．有一个人患了某种流感，经过两轮传染后共有81人患了此流感．
（1）每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）两轮后，人们觉察到此病，采取预防措施，这样平均一个人一轮以少传染2人的速度递减，则第四轮后共有多少人得此流感？
14．在△ABC中，AB＝10cm，BC＝16cm，∠B＝90°，点P从点A开始沿着AB边向点B以1cm/s的速度移动（到B停止），点Q从点B开始沿着BC边向点C以2cm/s的速度移动（到C停止）．如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒钟，使△PBQ的面积是△ABC面积的？
15．西瓜经营户以2元/千克的价格购入一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可以售出200千克，为了促销减少库存，该经营户决定降价销售，经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克，该经销户想每天盈利224元，应将每千克小型西瓜的售价降多少元？
16．工人师傅用一块长为10dm，宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度不计）求长方体底面面积为12dm2时，裁掉的正方形边长多大？
17．东坡某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次（即最低档次）的产品每天生产76件，每件利润10元，调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元．
（1）若生产的某批次蛋糕每件利润为16元，此批次蛋糕属第几档次产品；
（2）由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件，若生产的某档次产品一天的总利润为1080元，该烘培店生产的是第几档次的产品？
18．应用一元二次方程解答下列问题：
（1）如图，幼儿园某教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准备挨地面正中间铺设一块面积为18m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，求四周未铺地毯的条形区域的宽度是多少？
（2）一种有机绿色农产品在开始上市时的市场价为20元/千克，据预测，该农产品的市场价格每天每千克将上涨0.5元，某公司按20元/千克的价格收购了2000千克存放入冷库中，已知冷库存放这批农产品时，每天需要支出各种费用合计为280元．而且在冷库中最多能保存60天，同时，平均每天将有8千克损坏不能出售．问将这批农产品存放多少天后出售，该公司可获得利润18000元？
19．我市某社会团体组织人员参观皇窑瓷展，主办方对团体购票实行优惠：在原定票价的基础上，每张降价40元，则按原定票价需花费6000元购买门票，现在只花了4000元．
（1）求每张门票原定的票价；
（2）在展览期间，平均每天可售出个人票2000张，现主办方决定对个人购票也采取优惠措施，发现原定票价每降低2元，平均每天可多售出个人票40张，若要使平均每天的个人票收入达到241500元，且能有效控制游览人数，则票价应降低多少元？
20．右图是某厂一间仓库的平面示意图，图中阴影部分是产品存放区，空白部分是用做运送产品的通道，东西方向的一条主干道较宽，其余道路的宽度相等，主通道的宽度为其余通道宽度的3倍．这间库房南北长30m，东西宽24m，产品存放区的总面积为320m2．现有一辆2.5m宽的集装箱货车要开进仓库主通道装货，为搬运方便货车两侧要各留1.5m宽的空间，请问仓库主通道的宽度是否足够？
21．应用一元二次方程解答下列问题：
（1）为进一步促进义务教育均衡发展，某市加大了基础教育经费的投入，已知2015年该市投入基础教育经费5000万元，2017年投入基础教育经费7200万元，求该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率．
（2）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为了扩大销售，增加盈利尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出4件，若商场平均每天盈利2100元，每件衬衫应降价多少元？
22．某电子商铺购进一批电子配件，其进价为每件40元，按每件60元出售，平均每天可售出100件，经过市场调查发现，单价每降低2元，平均每天的销售量可增加20件．现在该商铺要尽快减少库存，采取降价措施，并且平均每天获利2240元，那么每件应定价多少元？
23．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨2元，月销售量就减少20kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题：
（1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润．
（2）商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少？
24．如图，有长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料造了宽为1米的两个小门．
（1）设花圃的宽AB为x米，请你用含x的代数式表示BC的长　 　米；
（2）若此时花圃的面积刚好为45m2，求此时花圃的宽．
参考答案
1．解：设截去正方形的边长为xcm，依题意有
2x[（30﹣2x）+（20﹣2x）]＝272，
解得x1＝4，x2＝8.5．
答：截去正方形的边长是4cm或8.5cm．
故选：C．
2．解：设二、三月份的月增长率是x，依题意有
10+10（1+x）+10（1+x）2＝36.4，
故选：D．
3．解：设2021年与2022年这两年的年平均增长率为x，
由题意得，（1+12%）（1+7%）＝（1+x%）2．
故选：B．
4．解：设矩形较长边的边长为x（x＞6），则较短边的边长为（3×4﹣x），
由题意得：x（3×4﹣x）＝2×3×3，
整理得：x2﹣12x+18＝0，
解得：x1＝6+3，x2＝6﹣3（不合题意，舍去）．
故答案为：6+3．
5．解：设有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：
x（x﹣1）＝21，
故答案为：x（x﹣1）＝21．
6．解：（1）i2023＝i505×4+3＝﹣i．
（2）x2﹣2x+2＝0
（x﹣1）2＝﹣1
x﹣1＝±i
x＝1+i或x＝1﹣i．
故答案为：﹣i；1±i．
7．解：设该设备的销售单价为x万元．
由题意列方程，得，
整理，得x2﹣115x+3250＝0
解这个方程，得x1＝50，x2＝65，
∵获利不高于30%
∴
∴x≤52
∴x＝65不合题意，舍去．
∴x＝50
答：该设备的销售单价为50万元．
8．解：设仓库的边AB为x米，
由题意得：x（32﹣2x+2）＝140，
整理，得x2﹣17x+70＝0，
解，得x1＝10，x2＝7，
当x＝10时，BC＝14＜18；
当x＝7 时，BC＝20＞18，
∴x＝7不合题意，应舍去．
答：仓库的边AB为10米，BC 为14米．
9．解：设围成第一个正方形的边长为xcm，则围成第二个正方形的边长为cm，
依题意，得：x2+（）2＝272，
整理，得：x1＝4，x2＝16，
∴＝16或4，
∴4x＝64或16，80﹣4x＝16或64．
答：小刚应该将铁丝剪成16cm和64cm的两段．
10．解：（1）设每千克茶叶应降价x元，则平均每周可售出（200+）千克，
依题意，得：（400﹣240﹣x）（200+）＝41600，
整理，得：x2﹣110x+2400＝0，
解得：x1＝30，x2＝80．
答：每千克茶叶应降价30元或80元．
（2）∵为尽可能让利于顾客，
∴x＝80，
∴×10＝8．
答：该店应按原售价的八折出售．
11．解：（1）经过秒时，AP＝cm，BQ＝cm，
∵△ABC是边长为3cm的等边三角形，
∴AB＝BC＝3cm，∠B＝60°，
∴BP＝3﹣＝cm，
∴△PBQ的面积＝BP BQ sin∠B＝×××＝；
（2）设经过t秒△PBQ是直角三角形，
则AP＝tcm，BQ＝tcm，
△ABC中，AB＝BC＝3cm，∠B＝60°，
∴BP＝（3﹣t）cm，
△PBQ中，BP＝（3﹣t）cm，BQ＝tcm，若△PBQ是直角三角形，则∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°，
当∠BQP＝90°时，BQ＝BP，
即t＝（3﹣t），t＝1（秒），
当∠BPQ＝90°时，BP＝BQ，
3﹣t＝t，t＝2（秒），
答：当t＝1秒或t＝2秒时，△PBQ是直角三角形．
（3）过P作PM⊥BC于M，
△BPM中，sin∠B＝，
∴PM＝PB sin∠B＝（3﹣t），
∴S△PBQ＝BQ PM＝ t （3﹣t），
∴y＝S△ABC﹣S△PBQ＝×32×﹣×t×（3﹣t）
＝t2﹣t+，
∴y与t的关系式为y＝t2﹣t+，
假设存在某一时刻t，使得四边形APQC的面积是△ABC面积的，
则S四边形APQC＝S△ABC，
∴t2﹣t+＝××32×，
∴t2﹣3t+3＝0，
∵（﹣3）2﹣4×1×3＜0，
∴方程无解，
∴无论t取何值，四边形APQC的面积都不可能是△ABC面积的．
12．解：（1）假设甲、乙两种商品的进货单价各为x，y元，
根据题意得：，
解得：，
∴甲、乙零售单价分别为2元和3元；
故答案为：2，3；
（2）根据题意得出：
即2m2﹣m＝0，
解得m＝0.5或m＝0（舍去），
答：当m定为0.5元才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润共1700元．
13．解：（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意有
x+1+（x+1）x＝81，
解得x1＝8，x2＝﹣10（不符合题意舍去）．
答：每轮传染中平均一个人传染了8个人；
（2）81+81×（8﹣2）+[81+81×（8﹣2）]×（8﹣2﹣2）
＝81+486+[81+486]×4
＝2835（人）．
答：第四轮后共有2835人得此病．
14．解：设经过x秒钟，△PBQ的面积是△ABC面积的，
当0＜x≤8时，根据题意得：×2x （10﹣x）＝×10×16×，
整理得：x2﹣10x+24＝0，
解得：x1＝4，x2＝6；
当8＜x≤10时，×16（10﹣x）＝×10×16×，
整理得：16x﹣112＝0，
解得：x＝7（舍去）．
答：经过4秒或6秒，△PBQ的面积是△ABC面积的．
15．解：设应将每千克小型西瓜的售价降x元，则每天的销售量为（200+400x）千克，
根据题意得：（3﹣2﹣x）（200+400x）＝224，
整理得：50x2﹣25x+3＝0，
解得：x1＝0.2，x2＝0.3．
∵为了促销减少库存，
∴x＝0.3．
答：应将每千克小型西瓜的售价降0.3元．
16．解：设裁掉的正方形的边长为xdm
由题意可得（10﹣2x）（6﹣2x）＝12
即x2﹣8x+12＝0，
解得x＝2或x＝6（舍去）
答：裁掉的正方形的边长为2dm，底面积为12dm2．
17．解：（1）（16﹣10）÷2+1＝4（档次）．
答：此批次蛋糕属第4档次产品．
（2）设烘焙店生产的是第x档次的产品，
根据题意得：（2x+8）×（76+4﹣4x）＝1080，
整理得：x2﹣16x+55＝0，
解得：x1＝5，x2＝11（不合题意，舍去）．
答：该烘焙店生产的是五档次的产品．
18．解：（1）设四周未铺地毯的条形区域的宽度是xm，则地毯的长为（8﹣2x）m，宽为（5﹣2x）m，
根据题意列方程得，（8﹣2x）（5﹣2x）＝18，
解得x1＝1，x2＝5.5（不符合题意，舍去）．
答：四周未铺地毯的条形区域的宽度是1m；
（2）设将这批农产品存放x天后出售，该公司可获得利润18000元．
根据题意得：（0.5x+20）（2000﹣8x）﹣2000×20﹣280x＝18000，
整理得：x2﹣140x+4500＝0，
解得：x1＝50，x2＝90．
∵最多能保存60天，
∴x＝50．
答：将这批农产品存放50天后出售，该公司可获得利润18000元．
19．解：（1）设每张门票的原定的票价是x元，
解得，x＝120
经检验x＝120是原分式方程的解，
即每张门票的原定的票价是120元；
（2）要使平均每天的个人票收入达到241500元，且能有效控制游览人数，则票价应降低x元，
（120﹣x）（2000+×40）＝241500，
解得，x1＝5，x2＝15，
∵能有效控制游览人数，
∴x＝5时，购买的人数较少，可以较好的控制，
即要使平均每天的个人票收入达到241500元，且能有效控制游览人数，则票价应降低5元．
20．解：设主干道的宽度为3xm，则其余道路宽为xm，
依题意得：（30﹣5x）（24﹣4x）＝320，
整理，得x1＝2，x2＝10．
当x2＝10时，24﹣4x＜0，不合题意，舍去．
当x＝2米时，3x＝6米．
因为2.5+1.5+1.5＝5.5＜6
答：仓库主通道的宽度够．
21．解：（1）设该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为x，
根据题意得：5000（1+x）2＝7200，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．
答：该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为20%．
（2）设每件衬衫应降价x元，可使商场每天盈利2100元．
根据题意得（45﹣x）（20+4x）＝2100，
解得x1＝10，x2＝30．
因尽快减少库存，故x＝30．
答：每件衬衫应降价30元．
22．解：设每件应降价x元，则每件定价为（60﹣x）元，根据题意，得：
（60﹣x﹣40）（100+x×）＝2240，
化简得：x2﹣10x+24＝0，
解得x1＝4，x2＝6，
∵商铺要尽快减少库存，
∴x＝6，60﹣x＝54．
答：每件应定价54元．
23．解：（1）当销售单价定为每千克55元时，月销售量为：500﹣（55﹣50）×10＝450（千克），
所以月销售利润为：（55﹣40）×450＝6750元；
（2）由于水产品不超过10000÷40＝250kg，定价为x元，
则（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]＝8000，
解得：x1＝80，x2＝60．
当x1＝80时，进货500﹣10（80﹣50）＝200kg＜250kg，符合题意，
当x2＝60时，进货500﹣10（60﹣50）＝400kg＞250kg，舍去．
答：商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为80元．
24．解：（1）BC＝22+2﹣3x＝24﹣3x．
故答案为（24﹣3x）；
（2）x（24﹣3x）＝45，
化简得：x2﹣8x+15＝0，
解得：x1＝5，x2＝3．
当x＝5时，24﹣3x＝9＜14，符合要求；
当x＝3时，24﹣3x＝15＞14，不符合要求，舍去．
答：花圃的宽为5米．